Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 64
Текст из файла (страница 64)
При исследовании уравнения Больцмана мы покажем, что в ряле простейших случаев этот параметр имеет порядок среднего времени свободного проб Конкретные приложения уравнения с релаксационным членом отнесены к разделу задач и дополнительных вопросов, а 4. Цепочка уравнений Боголюбова для кннетическик функций распределения Вернемся к обшик~ идеям Р 2 построения кинетических уравнений, исходя из классического уравнения Лиувилля лля 2ч-частичной функции распрелелення вн(гц..., гн, рн.,., рч, г). Ввелем не одну функцию распределения Р(1, г, р), а, следуя Боголюбову, последовательность корреляционных функций дд йр Р~(1, гц р~) г»ил —, йг~ др~ г г' ечдр Рз(с г~ гмр~ Рз) = г / гин 4г~ йгз йр~ йрг (обратим внимание, что функция Р(~,г, р), введенная в б 2, отличается от Р~ множителем, Р~(а,г,р) = еР(г, г, р), и нормировкой).
Если мы произвелем, как и в $ 2, почленное интегрирование уравнение Лиувилля по переменным всех частиц. в 4. Целочко уравнений Боголюбово для кинеглическик функций распределения 299 кроме первой, н, в отличие от 52, сохраним второе слагаемое в производной гамильтониана по г~ .. дН дгз(г,) ~~- дф(!г~ — гу!) дг1 дг! 2 дг! то получим (слагаемые в правой части уравнения Лиувилля с з = 2, 3,..., ззГ по- прежнему обратятся в нуль) дР~(1, гн р~) р1 И'~ дб' др' д1 т дг~ дг~ др~ В правой части этого точного уравнения мы так расположили последовательность операций, чтобы в конструкции, заключенной в большие скобки, сразу бы угады- валась двухчастичная функция Рз(1, гь г,, р,, р,).
Сумма по у (все ззг — 1 слагаемых отличаются друг от друга только обозначением переменных интегрирования) бе- рется, возникаюший прн этом множитель (11à — 1)/1г в предельном статистическом случае равен и = 1/и, н мы получаем уравнение дЩ, г, р) р дг'1 дУ дР~ 1 Г дФ(1г — г'!) доз(Е, г, г', р, р') + — / ° йг Ир, д1 т дг дг др и,/ дг др являющееся первым уравнением цепочки Боголюбова (1946) для кинетических функций распределения. Хотя для наших дальнейших исследований оно и будет основным, посмотрим, как строятся уравнения для корреляционных функций более высокого ранга (общий вид цепочки Боголюбова см.
в задаче 28). Для получения уравнения лля функции лз на уравнение Лиувилля необходимо подействовать интегральной операцией " йгз" бгнбрз" йрн «в живых» в правой части останутся члены с з = ! и з = 2„сумма пО у > 3 снова возьмется, причем в статистически предельном случае (1з/ — 2)/гг = 1/и, и мы полу- чим, не раскрывая дифференциальных операций, предусмотренных классическими скобками Пуассона, доз(1, гь гг, Рь Рз) ~ 37~ рз д! ( 2т 2гл — + — + У(г,) + У(гз) + Ф(!г, — гг1), Ез + 1 Г + — / ~(Ф(!г, — гз!)+ Ф(!гз — гз!)) Ез~ бгз йрз. Таким образом, мы получили как следствие уравнения Лнувилля (т. е. уравнений механики) цепочку зацепляюшихся через интегральный член линейныждифферен- циальных в левых своих частях уравнений для послепредельных в статистическом смысле фУнкций РаспРеделениЯ лз, Рз, и т.д., Б~(Е1) = Ф~(И, Тг(Рз) = Фз(рз) и т.д.
Однако не все решения этих уравнений имеют физический смысл. Первой (точнес, исходной) задачей кинетической теории является построение замкнутого уравнения зоо Глава 5. Кинетические уровнения в плотистической механике (в отличие от написанных выше — уже приближенного), например, для ааночастич- ной функции Ры Ь,(Р,) = Ф(Р,), в котором интеграл столкновений Ф(Р~) должен обеспечивать соответствующий статистической системе релаксационный характер эволюции (см.
э" 2). При построении этого уравнения принципиально важную роль играет яринцил ослабления корреляций Боголюбова, накладываюший нелинейные связи на кинетические функции распределения Ры Рз и т.д. в случаях, когда расстояние между частицами (или группами частиц) превышает некоторый корреляционный радиус. Для двухчастичной функции распределения этот принцип выглядит как Рз(Г, гп гм рп рз)~, - Р~(Г, гн р~)Р~(Г, гм рз) и имеет (как и для Р, при в > 2) характер дополнительного условия (типа граничного) к уравнениям цепочки. Следует заметить, что эти нелинейные «граничные» условия, используемые при построении замкнутых кинетических уравнений (т.
е, в процедуре динамического расцепления цепочки уравнений Ь,(Р,) = Ф,(Рз) — Ф(Р,) и т.д.), провоцируют и нелинейную относительно Р~ структуру функционала Ф(Р,), а следовательно, и получаемого в результате этого расцепления кинетического уравнения для функции распределения Рп Использование этого принципа в соединении с идеей Боголюбова об иерархии релаксационных процессов в статистических системах, приводящих к относительно быстрой релаксации функции Рз к мультипликативной структуре в системах, еше далеких от равновесия, позволило Боголюбову не только получить кинетическое уравнение Больцмана, но и сформулировать процедуру его дальнейшего уточнения.
В системах с кулоновским взаимодействием зти идеи позволили обосновать приближение самосогласованного поля и указать пути учета на фоне коллективных явлений также и эффектов, связанных со столкновениями частиц плазмы. С формальной точки зрения указанные выше две физические программы связаны с исследованием»крайних случаев»; уравнение Больцмана соответствует приближению низкой плотности (или короткодействия), Воз/о «1 (Лч — радиус корреляции, имеюший порядок радиуса взаимодействия в случае низкой плотности); уравнение Власова (приближение самосогласоваиного поля) — случаю дальнодействия, Воз/в > 1 (яго порядка дебаевского радиуса экранирования). Как уже отмечалось во введении, вопросы, возникающие при выводе и исследовании кинетических уравнений, очень сложны. Мы остановимся только на самых простых проблемах и начнем рассмотрение, нарушая традицию, с уравнения для систем с дальнодействием, оставив уравнение Больцма , как самое сложное во всем этом разделе, на конец главы.
5 5. Кинетическое уравнение Власова а) Приближение самосогласоаанного йоля Рассмотрим систему частиц с кулоновскнм взаимодействием их друг с другом: е2 Ф(Н) = ~ —. л Система в целом считается электрически нейтральной. Характерная особенность этого взаимодействия — бесконечный радиус его действия Гса = со, приводит к тому. что каждая частица постоянно взаимодействует сразу со всеми частицами системы. 5 5. Конелшческое уравнение Власова 3О1 т.е. время 1, фигурирующее как динамическая величина в теории, в отличие от случая нейтральных частиц, значительно меньше времени взаимодействия частиц друг с другом (времени «столкновения«), 1 Г 1„.
И наоборот, все частицы действуют на данную, создавая в точке ее нахождения общее поле, индивидуальные вклады в которое от частицы 1 и какой-то еще частицы 2 пренебрежимо малы по сравнению с вкладом от всех (1« — 2) частиц. Этот коллективный эффект связывают с понятием самосогласованного поли (достаточно распространенного в различных разделах физики), описываемым формулами (или величинами), не чувствительными к нумерации частиц, причем индивидуальная корреляция частицы 1 с какой-то 2 на фоне ее взаимодействия с этим коллективным полем пренебрежимо мала. С точки зрения статистических функций распределения, если представить парную корреляционную функцию Гз в виде Гг(1, г, г, р, р ) = Г~(1, г, р) Р~(1, г, Р ) + Сз(1> г, г, Р, Р ), то концепция главенствующего значения самосогласованного поля будет означать, что вклады и физические характеристики системы, связанные с учетом индивидуальных корреляций См пренебрежимо малы по сравнению с эффектами, обусловленными главным членом тз = Р, .
Р,. Конкретную конструкцию характерного для описанной ситуации малого параметра несложно усмотреть из общих соображений. Электростатическое взаимодействие экранируемо в принципе, причем величина радиуса экранировки тп оценивается в рамках равновесной теории (см. т. 2, гл. 3, 5 1-д) — мы сделаем независимый расчет в п. в) настоящего параграфа) и определяется известной формулой Дебая (Р !ЗеЬуе, 1923) 1 2яез Уе Так какдля реализации самосогласованного поля внутри сферы радиуса тр необходимо участие большого числа частиц, то среднее расстояние между ними а = (У/йГ) цч должно удовлетворять неравенству а<то. Возводя его в третью степень и учитывая, что а' = в, получаем 6 — < 1.
то з Эта величина как параметр разложения фигурирует в цепочке уравнений Боголюбова, конкретизированной на случай систем с далы4одействием (см. задачу 30). Возводя же его во вторую степень, получим 3 ез -ЮЪ вЂ”, 2 а' т. е. средняя кинетическая энергия частиц должна значительно превышать среднюю энергию кулоновского их взаимодействия, и в этом смысле система оказывается слабонеидеальной. Далее, чтобы представление о коллективном самосогласованном поле не разрушалось сильными индивидуальными корреляциями, возникающими на расстояниях, соизмеримых с размерами частиц а' = 2тр (т. е.
при настоящем «столкновении» ионов), необходимо предположить, что 2та «к а, т. е. с этой точки зрения плазма должна быть достаточно разреженной. 3О2 Глава 5. Кннекшческне уравнення в слголгнспаческод меканоке Наконец, временной масштаб, характеризующий процесс образования самого самосогласованного поля. Для того чтобы частица участвовала в его создании, она должна нахоаиться в сфере радиуса гр достаточное время по сравнению со средним временем ее свободного пролета г, тр дэ хпг 1 4хез т= == — — —, гле ыэ — —— Я 4хе 8д ыо эпэ — квадрат плазменной частоты или частоты Ленгмюра (!. !дпйшо1г, 1..
Топ8э, 1929), формулу для которой мы получим в п. 6) настоящего параграфа. Таким образом, соответствующие физическому смыслу приближения самосогласованного поля вре- менные интервалы должны быть порядка или больше периода ленгмюровских осцилляций, ! > 1/ыэ. Итак, ограничимся основным членом в Еэ (т.е. нулевым приближением по па- раметру и(г~р) и подставим его в первое уравнение цепочки Боголюбова (оно сразу становится замкнутым относительно функции Р~).
Имеем в правой его части 1 Г,, дФ(!г — г'~),, дР!(1, г, р) дй(1, г) дЩ, г, р) Ф1(гэ) = — у Ыг'др' Р1(1, ', р') 6 дг др дг др где величина й(1, г) = — Ф(! — 'щ(1, г', р') 4г'4р' имеет совершенно четкий физический смысл: так как — 1 Р~ (1, г', р') Нр' = п(1, г') У / представляет собой плотность числа частиц в окрестности точки г', то й(1, г) = Нг п(1, г )Ф()г — г'!) является потенциалом того самосогласованного поля, которое создается всеми час- тицами (распределенными в пространстве в соответствии с плотностью п(1„г')) в точке г в момент времени !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
