Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 61
Текст из файла (страница 61)
й д —. — рь(г) = Йре(г) — р (г) Й. ( д( Во избежание недоразумений сразу отметим, что оно является уравнением движения лля оператора рь(() в шредингеровском представлении, хотя внешне и напоминает 286 Глава 5. Кинетические уравнения в ппотистичвской не»анапе (знак не тот) уравнение движения для оператора динамической величины, записанного в представлении Гейзенберга (оператор р»(1) не является оператором динамической величины, он определяет состояние системы, а в математическом отношении является проекционным оператором специального типа).
Средние значения сразу определяются с помощью р» и соответствующих сверток: (Л(Р~Й) — ~~~ ~~(п~р»(п )(и (Р|п) — ~(п~р»Р~п) — Бр(р»Р) пи' и (операция Бр от конкретного выбора и-представления уже не зависит). Оператор р» называется оператором матрона плотности лля чистого квантовомеханического состояния й.
Он был введен фон Нейманом (У. Мешпапп, Г927). Формализмы, связанные с использованием волновой функции или оператора р», в квантовой механике чистых состояний полностью эквивалентны (мы ввели р» с помощью векторов Ф» и Ф», читатели могут самостоятельно произвести обратный переход, «восстановив» по Р» вектор Ф» с точностью до несущественного фазового множителя). Однако Нейман развил свои представления дальше, показав, что микроскопическое состояние квантовой системы можно определить как смешанное состояние. Его определение реализуется следующим образом: а) задается набор (Ф») чистых состояний, в которых может находиться данная система; б) задается набор вероятностей (»о»), 2 ,'»о» = 1, таких, что каждое в~» определяет » вероятность обнаружить систему в й-м чистом состоянии.
Если микроскопическое состояние задано указанным выше способом, то срелнее значение динамической величины Р, которому соответствует ее наблюдаемая величина, определяется как среднее от квантовомеханических средних: Р = ~~>»о»(Л|Р/Л). Если определить по Нейману матрицу плотности р лля смешанного состояния (или статистический оператор р) как Р = ~~' ш»Ры то среднее Й запишется в виде Р = 8Р ( ~~' «л»Р»Р) = 8Р(РР).
Эволюция системы в том же шредингеровском представлении определяется (мы счи- таем величины «л» не зависящими от 1) эволюцией каждого из операторов Р». йд / йд -- — р = ~~> го» ~ — — — р») = ~~> т»(ЙР» — р»Й), а, », и ) й д --, — р = Йр — рй, р(1) = ехр ~ — — Й1~ р(0) ехр ~ — Й$~. » д~ й )' '(д э 1. Иокроскопическое сосгполное гиопеиы 287 Это уравнение часто называют квантовым уравнением Лиувилля (хотя сам Лиувилль, живший за сто лет до появления квантовой механики, к ней прямого отношения не имел; см. п.
б) настоящего параграфа) и записывают в виде Ор Йр- рй = (Н Р)к» ьз д1 ' 1й Лриведем олин частный, но принципиально важный пример структуры смешанного состояния. Имея дело со статистическими системами, мы должны помнить, что в число обязательных лля них признаков входит существование равиовесиого состояния. В соответствии с нулевым началом термодинамики это состояние является предельным для эволюционного процесса, в котором участвует статистическая система.
Уравнение Лиувилля справедливо и для нетермодинамических систем (еше раз напомним, что оно является уравнением механики). Если мы положим в нем др/И = О (этому условию удовлетворяют не только равновесное, но и любые стационарные состояния системы), то получим [Й, р! = О. Этому «уравнению» удовлетворяет любая функция от гамильтониана Й и всех коммутирующих с ним операторов динамических величин (т. е.
любая функция интегралов движения, характерных для данной системы). Но нам не надо «гадать», что это за функция; мы знаем наперед, что равновесному состоянию статистической системы соответствует гиббсовская структура смешанного состояния. Полагая, что индекс п соответствует энергетическому представлению, т.е. Йф»(х) = Е»»)„(х), (п'1Н1п) = Е»Я„', ф„) = Е„сХ(п - и'), имеем где статистическая сумма Я=~> е " »»~ь (п1е ~ )и)=Бр(е ~ ). Так как распределение Гиббса задает распределение по состояниям п, то естественно в качестве набора (Фь(х)) выбрать в равновесном случае совокупность собственных функций оператора Гамильтона (ф»(х)).
Тогда коэффициенты разложения функций Фь(в) (т.е. каждой из Ф„.(х)) по базисным (Ф„(х)) будут равны в силу их ортонормированности Ф„. (п) = (Фь(х), Ф„(я)) = (Ф» (я), ф„(х)) = Ь(и — п ), и мы получим лля матричного элемента равновесного статистического оператора ра в соответствии с обшими формулами, что в энергетическом представлении он является диагональным, (п(ра1п ) = ~~~ »и».Ф» (п)Ф„'.(и) = ~~> и». Ь(п — и»)Ь(п' - и») = »" и" = в„Ь(п — и) = и — е и Ь(п — п), Я 288 Глава 5. Кнненгвчесхне урааненол е снгатиапнчесной механике откуда (уже в операторной форме, ие зависящей от выбора базиса (ф„(х))) имеем достаточно компактную формулу е а!в бр (е «ге) представляющую собой операторную запись канонического распределения Гиббса.
б) Классическая система Х тел С помощью общих формул можно, конечно, с использованием квазиклассического приближения перейти к классическому варианту теории. Но это, во-первых, ловольио сложная процедура, а во-вторых, это долго. Если не интересоваться квазиклассическими поправками, то проще сразу рассмотреть классическую систему (как это, естественно, и делалось в доквантовую эпоху). р Чистое механическое состояние системы Н тел (К материальных точек) дяя наших целей удобно представить как точку х в 6К-мерном пространстве координат и импульсов Ф вЂ” (д,Р) = (гп...,гн, 'Р~ Рн) (Ф1 ° ° .
~хбн), которое иазывают фаиовын лроелгранснгваи. На рис. 189 оио по техническим причинам» условно изображено О как двумерное. Эволюция системы будет отображать- ся двигающейся в фазовом пространстве точкой х(1). Рис,189. Фвзовое пвострвнсгво для определения этой траектории (каждая точка которой, напомним еще раз, фиксирует координаты и импульсы всех Н частиц в момент времени 1) иеобходимо решить дифференциальные уравнения ньютоновской механики, которые иам удобнее будет представлять в форме уравнений Гамильтоиа (%. Наш!!гоп, ! 834) дН дН Ч= Р=-— др' де' где Н = Н(г1, р) — классическая функция Гамильтона системы.
Это система 6!т уравнений (каждая координата и импульс в этой условной записи должна нести индекс частицы г = 1, 2, ..., К и индекс компоненты а = (х, у, х)), которая решается в редких простейших случаях. Для нас сейчас будет важно то, что решение х(!) этих уравнений существует и что оио при заданном начальном условии х(!в) = Фе единственно. В наглядной интерпретации это означает, что траектории х(1; хв) движения точек в фазовом пространстве, соответствующие разным начальным условиям хв, не пересекаются ни при каких значениях !.
Смешанное состояние в классическом случае задается непрерывной функцией распределения ге(х, 1) такой, что величина гн(Ф, !) вэ определяет вероятность обнаружить микроскопическое состояние системы к = (е,р) в 6Н-мерном бесконечно малом кубике (д, д+ б!д; р, р+ вр) (условно обозначаемом как вх = йд вр) в момент времени !. Прежде чем исследовать вопрос о характере эволюции плотиости вероятности ге(х,1), напомним вспомогательную лля нас теорему классической механики— теорему Лиувилля (3.
! !оцт!!!е, 1838), сформулировав,ее в наиболее рациональной лля наших целей форме: если Згв — объем некоторой фиксированной в момент !в = 0 области О3, фазового пространства (е, р), то с течением времени фазовые точки, 289 0 1. Мояросяоппчесяое состояние с>сатаны образуюшие ее поверхность (рис. 190), двигаются в соответствии с эволюцией данной системы так, что объем, ограниченный этой поверхностью, все время сохраняет свою величину, т. е. =~ *=и=/ю. Я со« Эту известную теорему проще доказать, чем разыскивать в учебниках по механике.
Отметим сначала, что каждая точка хо = (оо, ро) из области 03» к моменту времени 1 переходит в 03, хо — я(1, хо), причем это соответствие однозначно. Это позволяет произвести замену переменной интегрирования х — яо. Определив якобиан этого преобразования как Рис.звб. Движение области 03 в фа- эовон пространстве, происходящее в соответствии с эволвэцией расснатри- ваеной неханичесяой снесены .7(1) = ' = бес ~ †, ~, ,7(0) = д(т7, р) ( даю ( д(0о, ро) д(по,)ч) ~ д,1о1 ~ ' д(о,, ро) т=1 Наконец, выпишем 7, взяв производную от сложной функции и учитывая, что зависимость от хо входит через зависимость х = х($, хо): '=Х; —,' =е дг д '; д.7 М; див 3 7 (з7, где 7' = 1,..., 63т7, — одна из компонент хо — — (оо, ро)), мы можем записать (о1 объем 37 в виде интеграла по исходным переменным ио.
$' = .7(1) Нхо. ат» Для доказательства творе»ты достаточно показать, что 7(1) = сола (тогда ,7(Ф) = 7(0) = 1 и автоматически $г = 3~~), или что тоже самое, показать, что полная его производная по времени .7(1) = О. Для этого, во-первых, заметим, что якобиан .7 обладает свойством дг дхв э д — о ~3 Действительно, так как детерминант является линейной функцией элементов какой- либо из своих строк, то в случае в = й, дифференцируя его по элементам строки, умножая на них же и суммируя по всей строке, мы полностью восстановим структуру якобиана, а в случае в ~ й «восстановленным» окажется летерминант с двумя одинаковыми строчками (а он всегда равен нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
