Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При уменьшении (ммсленном) параметра Й до величины, при которой Й' = 7', полюса ы, и ыг сближаются друг с другом и оказываются на мнимой оси в точке -«7. При дальнейшем Уменьшении Й (Й < 7«) полюса й! и йг Ратдвнгаютса в Разные стоРоны ваоль мнимой оси. Сг Задача 33. Для предложенной в задаче 30 модели системы определить характер зависимости восприимчивости у(1) от времени в случаях, когда реакция системы иа внешнее воздействие может проявлять свои резонансные свойства (Йг > 71) и когда оиа является чисто апериодической (Й < 71). Решение.
Ввидутого(см.предыдушую задачу),что в верхней полуплоскости комплексных значений частоты й восприимчивость д(ы) особенностей не имеет (рис. 180) и что в соответствии с леммой Жордана в интеграле, определяюшем временное предсшвление восприимчивости Рис. 180. Заиыхаиие контура интегрирования иа комплексной плоскости й а случае ! > 0 Х(!) = — ( д 'Х(ы) ю — у «й е 2е 2«г 2 „/Йг — 7« ~ы — ы! ь« — ь«г/' при 1 < 0 путь интегрирования по действительной ы-оси должен быть замкнут сверху, имеем сразу 2Г(!) = 0 при ! < О. В случае ! > 0 контур замыкается снизу, как это показано на рис. !80.
ПолагаЯ Й' > 7' и подсчитываЯ вычеты в полюсах ы! и ыг, полУчаем, УчитываЯ, что контУР обходится по часовой стрелке (множитель -2и!), 1 - ! ° Г -! /Ф- г! «чг!«г-тг!) 2~/йг 7« 8 3. 'частошные «проктеристики сисшемы с одной резонансной числ!отой 273 откуда окончательно для всех ! т(!) = В(!) е т' ап (~/Р -у~!), ,/Р:7 График этой функции представлен на рис. 18!. Рис. 181. Зависимость от времени обобщенной восприимчивости д(!) в случае Г!' > у~ Рис. 182. Зависимость от вреиенн обобщенной восприимчивости д(!) в случае Г!' < 7' Задача 34. Полагая, что рассмотренный в предыдущих задачах стационарный процесс является изотермическим, В = сопи, определить работу внешней периодической силы .е'(1) = гнув сов (йе() и увеличение энтропии всей системы за период этого процесса Те = 2хlйе Решение. Работа внешней силы, связанной с изменением величины х.
за время и! равна бй'ьнещ = Р(!) гтх = Р(!)х К!. Сама сила Г(!) связана с величиной х(!) и ее производными соотношением Р(!) = та+ 2тух+ шП'х. Так как величины ххгГ! = — гг(х), ххо! = — Нх 2 ' 2 являются полными дифференциалами, то в интеграле по периоду Ть (т.е. по полному циклу изменения величины х(!)) сохранится только работа силы трения т, то — / ВИ' = — / ВИ' = — / пт 21(х) ид Т Т Т Заметим, что в силу требования (см. б 3) конечности величины Р ! 1 Хь=/ Х(!) Вт=- — = —, < ы~ыз йз о параметр й в рассматриваемой нами модели не может быть равным нулю, й Ф О. В случае у~ > й' имеем (рис.
182) К(!) = В(!) е 'зй (~/~~ — !Зз!). ! Интересно отметить, что, в отличие от моделей К(!), рассмотренных в предыдущем цикле залач, предельный переход у — оо не приводит к появлению какой-либо 6(Г)-образности в функции т(!), т.е. рассматриваемая нами модель реакции системы не допускает перехода к варианту мгновенной реакции на внешнее воздействие.
!> 274 Зпдпчо и дополншпельные вопросы к алове 4 подставдяя сюда полученное в задаче 31 стационарное решение х(1) =Асов(й«1-2Р), полу- чаем, что гр гр йр Т, ч=пг'27/е (йг Й2 г 4 гй2 Т / = ',, ' / 5!п Й1 — Ф. о Учитывая, что среднее от квадрата синуса эа период равно 1/2, и учитывая полученное в задаче 32 выражение для мнимой части восприимчивости Х" (ы) = 1гп Х(ьг), можем записать полученный результат в виде г, 1 27Й, — ВПгр = 2 гп /р ',йг йггг 4 гйг йе 2 рХ ( о)+75 е Эта величина непосредственно связана с изменением энтропии всей системы.
Действительно, внешняя работа за период, совпадающая с работой по преодолению сил трения, превращается в тепло 2252, которое в силу условия из«терм нчности В = сонм целиком передается термостату (состояние рассматриваемой системы полностью воспроизводится за цикл Тр), прнволя к увеличению его термодинамической энтропии па величину газ гд — — 2122/В = 21212' /В. В 4 3, рассматривая изотермические стационарные процессы, мы обозначали Я = ВЯтд.
Поэтому гр го — Э/ Я(1)гй = — Э/ Вэргр = -Рр ° йоХ (Йо), То/ 25,/ 2 р о что полностью соответствует полученному в б 3 результату. г> Задача Зб. Приведем одну характерную задачу, непосредственно связывающую изложенный выше материал с известной задачей классической оптики (теории дисперсии), в которой коэффициент преломления оптической среды и связывается с динамической диэлектрической проницаемостью с(ш) = 1+ 4яа(ш) соотношением п(ш) = 2/с(ы).
Полагая, что атомы среды под действием проходящего через нее электромагнитного излучения поляризуются (т. е. у каждого атома возникает дипольный момент е х(1)) и что силу «лучистого трения» можно по традиции аппроксимировать членои, пропорциональным первой производной (вместо третьей) по времени от дипольного момента, получить выражения для действительной и мнимой частей я(ы) = с'(ы) +ге»(ы) и показать, что мнимая часть проницаемости (или поляризуемости а, так как са(ы) = 4яа"(ы)) представляет собой отношение потерь на рассеяние света одним кубическим сантиметром среды за период падающего излучения к плотности энергии этого излучения. Плотность числа атомов среды Ф/)г = 1/и считается заданной, температура — постоянной.
Решение. Уравнение лвнження для отклонения х(1), приводящего к возникновению липольного момента р(1) = е х(1) атома под действием внешнего периодического поля с электрн'ге«- кой компонентой сер соз (йрг), в классической теории имеет тот же вид, что н рассмотренный в аче 31 зад 2 гпй+ 2гпух+ гпй х = еЕр сов(йрг). Отличие — только в коэффициенте пРн соз (йег), в свЯзи с чем заметим, что е /о = — Ео гп н что спектраяьная плотность отклонения х„ е хр = Х(ы) ' / = Х(ьг) Ер.
т Так как поляризация Р = аЕ является днпольным моментом единицы объема среды, то в частотном представлении для нее имеем 1 Рр = — ех« = а(ьг) Е„ 83. Частотные характеристики системы с однай резонансной чаопотой 275 гле о(ы) — динамическая поляризуемость среды, откуда для последней получаем ответ ег о(ы) = — д(ы). Выражение для восприимчивости гг(ы) получено в задаче 31. Для динамической диэлектрической проницаемости отсюда имеем хорошо известные в оптике формулы е' йг — ыг Ке е(ы) = е (ы) = 1 + 4гг— ти (й' — ыг)г+47гы" 27м 1т е(ы) = е" (ы) = 4 г— щ„(йг „,г)г + 4 г„,г ' Графики их приведены на рис. 183 (максимум е'(ы) лежит в области ы х»»йг — 7г). частота папаюшего излучения как частота внешнего воздействия у нас обозначалась йе (т.е.
ы = йю). Учитывая результат задачи 34 лля диссипативных потерь за период Та = 2к/йе стационарного процесса, имеем в нашем случае лля потерь в единиие объема среды ( 1/е дилолей в !ем ) за период Рис. 163. Частотная зависимость дей- пеительиой и мнимой частей дина- мической диэлектрической проницае- мости ! п~~о 27йо то г е 2 е (йг — йег) + 47гйег откуда и следует известная связь мнимой части динамической диэлектрической проницае- мости еа(ы) (или восприимчивости а"(ы) = г"(ы)/(4к)) с плотностью диссипативных потерь энергии тг Ег хиг=-/ „»»гг( —;).
о Задача Зб. Для рассматриваемой в этом разделе системы (см. задачу 32), полагая, что установившийся под действием внешней силы колебательным процесс является изотерническим, определить, как меняются во времени внутренняя энергия системы, энтропия системы и энтропия термостата. Решение. С целью упрошения окончательных формул будем отсчитывать время от того момента, когда х(1) имеет максимальной значение. Тогда Г(1) = ге соз(йзг+ Эг), х(1) = А сиз (йзе), х(1) = -Айе51п (йД и т.л., где го й' — й', А= сиз у» = „Чаг-' НГ~ ччч' ЛП вЂ” Йт» ч Н' Работа внешней силы против трения за интервал (О,1) равна гзИ»г»(1) = / т 27(х(1)) гд ю т27А йо / з1п (йот) ит. 276 Зодочо и дополнительные вопроси к главе 4 й(0) тО, х(0) =хе, сразу имеем для изменения внутренней энергии системы е(Г) согласно формуле Гнббса— )Вльмгольца дэ3 9г ьв(г) = ьвх-в — = др пьх (Э) ггьй х (1) тй хе 2 2 2 нли хэ йэх' ВЯ=Й + — + — = 2 2 (э(йэ+1)з) у йэ йз т8~ + ~1+ — ', соэ(2йог)), *=о 4 ь йэ+йо Рис.
1В4. Зэопюцня характеристик системы е термостате, находящейся под воздействием гармонической силы, е режиме стационарных колебаний: а) — анеюияя сила Р(1); 6)— реакция системы х(1); в) — скорость возрастания энтропии терноствта о(1) (пунктирная линия — средняя эа период скорость роста энтропии); г) — энтропия териостата; д) — внутренняя энергия снстеиы дпя случаев й' > йеэ, йз = йзе и йэ ( йеэ (графики 1, 2 и 3 соответственно) я=э в то время как изменения энтропии системы в рассматриваемом режиме вынужденных колебаний не происходит: дйх' э«д= —  — =О, В= Ы дд (по поводу этого результата см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
