Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 53
Текст из файла (страница 53)
ио это для дальнейшего рассмотрения не существенно). Поэтому, учитывая, что коэффициент внутреннего трения (см, гл. 5, задача!7) О = тие = грр, т. е. тоже не зависит от э. мы можем э соответствии со стоксояскнми представлениями о ламинарном течении вязкой среды считать, что поперечная скорость на уровне г = Л уменьшается с ростом и по линейному закону. Длина трубки делается такой, чтобы эта скорость к ее концу бьоа бы максимально погашена (даже ставят для этгяо а конце трубки крестовину), я саязн с чем мы будем 'полагать (что также для дальнейшего рассмотрения не сушестаенно), что ы(Ь) = О при э = Ь, т.е. ы(я, Л) = ы(я) ° Л = ые (1 —— ь/ Относительно движения газа в трубке примем следующую упрощенную схему.
а) Частицы газа в области г Л (не рассматривая пограничных зффектоа„будем пренебрегать трением газа о янугреннюю поверхность трубки) двигаются по раскручиаающейся спирали (см. Рнс.!65) с убыяаюшей угловой скоростью от ые — — ые/л до нуля и со стационарной скоростью адель оси х а направлении к приоткрытому диффузору. Температура этих порций гаэз вслелстаие постоянного вдоль я отрицательного по величине гралнента поперечной скорости Лом(я)/оя и анугреннего трения между вертикальными слоями газа монотонно растет от первоначального значения Ве до температуры торможения шые шые 2 в(ь,л) ~в,+ — ~в,+ — =в 2ср 7 (мы приняли а качестве оценки дяя даухатомного классического газа значения с, = 1/(7-!) = 5/2; ср = у/(7 — 1) = 7/2, где 7 = ср/с,).
б) Так как а области я М Ь газ почти неподвижен, то его параметры, и я частности давление л направлении к оси трубки, оказываются лыравненными, р(ь, г) = р(ь, л), л то ярема как л областях с вращающимся газом (а частности, в начальной части трубки и О, где угловая скорость ыр ве/Л максимальна) давление а области оси трубки г О значительно меньше Рр = р(и, Л), что вызывает обратный поток не лышсашего через дроссель газа вдоль осн трубки к ее началу с постепенным его переходом а областы Л, Таким образом, весь газ а трубке совершает, грубо говоря, даа движения: лрашательное поперечное движение с падающей вдоль оси э угловой скоростью и продольное стационарное движение я противоположных по я напраалениях, замыкающееся а аытянутый слоль оси я т р(О,Л) (Ь,Л) (Ь,О) (О,О) (О,Л). я) По отношению к «поперечному» (от г = О к г = Л и наоборот) движению газа я каялом из аращаюшихся с угловой скоростью ы(я) газовых дисков толщины ях будем исходить из тех же положений, что и принимаемые при качестаенном объяснении сушестеояания температурного градиента атмосферы (см.
упомянутую выше задачу 49, т. !): ввиду малой величины коэффициента теплопроаодности газа изменение его состояния вследствие движения алоль г э каазистатическом и гидростатическом приближениях можно считать алиабятическнм. Изложенная выше схема происхолящих л яихреаой трубке процессов позволяет уже на элементарном уровне рассмотреть лсе ее термодинамические характеристики яо всех янугренннх ее областях. В качестве рабочего тела мы принимаем модель идеального классического лаухатомного газа, уравнение состояния которого р = р(В, и), где и = !/е — плотность числа частиц, и уравнение аднабаты а каждой локальной области системы определяется изаестнымн выражениями па Р=сопз!'и сопя! 'В Т= сд ср се+1.
Рассмотрим вращающийся с угловой скоростью ы = ы(я) газоаый писк толщины ое и каазистатическое алиабатическое движение среды а нем в поле центробежной силы Р„е = ты г з (см. рис. 1бб). Имеем, обозначая р(г+ар) — Р(р ) = ар, в каазигидростатическом приближении 248 Задачи и дополнительные вопросы « главе 4 для элемента этого диска, расположенного на расстоянии г от центра и имеющего «высоту» Иг и толщину дх, хр = г Вр в!х Вр = Г„~ = ты~гвг 612 Вх Вг, откуда следует дифференциальная связь координаты г с давлением и темпе й раруро г(г Ир= впгьв ганг = — вВВ, 7 7 — 1 РазРешаа котоРое с гРаничным Условием В(0, 72) = Ве и восстнавливаЯ аргументы г и х, фиксируюшие расположение области внутри трубки, получаем основной результат лля распределения температуры 7- ! тю1(х) / В(, )««В(,71)- — — ~! — — /1 = рз /' =в,в — 2'(г- (:*) (г- — ",)), Рис 266 й расчезу а таКжс РаСПРЕДЕЛЕННЕ СтатиЧЕСКОГО ДаВЛЕНИЯ В тРУбКЕ поперечного градмеп- р(х, ) В(х, ) та температуры араагаюиегося газа амх- р(,22) ~В(, й)) ревев труб ю« где тмо В(х, 21) = Ва+ — ~1 — ~ — ) ~ и р(х, В) = р«, ~ 6 )~ и распределение плотности числа частиц где в(0,22) = р«/В« — — в«, в(х,71) = ре/В(х,22) и где мы учли, что 7/(7- 1) = ср — — 7/2 н 1/(т — 1) = с = 5/2.
Полученные результаты, которые в силу применяемых модельных представлений, естественно, мажорируют величины реальных эффектов, изображены в виде поверхностей состояния на тройном рис. 167. Согласно этим результатам максимальная температура на выходе из дросселя не может превышать температуры торможения поступаюшего через тангенциальные сопла газа (иначе это привело бы к нарушению уже 1 начала термодинамики), пире тме 2 1 В =В(Ь,22) =В,+ — =В,+ — =В 2с 7 а температура выходящего через «диафрюму ° охяажаенного газа — не ниже минимальной тюе 2 тюо 1 В и ««В(0, О) т В - — т В« — —.
2с 7 Так как величину скорости поступающего тза ые делают возможно более высокой, то разность температур газов, выходящих с противоположных концов вихревой трубки, может достигать достаточно больших значений (без какого-либо нарушения 11 начала термодинамики) трао 2тюо 2 2 0 „— В 2ср 7 Усовершенствование теоретического рассмотрения процессов, происходящих в простейшей вихревой трубке, изображенной на рис. 165, связано с отказом от сделанных выше упрощающих предположений, т.
е. это учет пристеночных эффектов, неидеальности поступающего газа (с.появлением допоянительного к вихревому эффекта дросселирования), учет й 1. Слтоццонорлме явления переносе п(л,т) пв = ВО Рв б(в,т ) е, ()ккн В Рис. 1бу, Распределение внутри вихревой трубки значений плотности и(е, и), давления р(л, и) и теипературы д(л, г) неалиабатичности изменения состояния газа при его квазистатическом двицении вдоль и и, наконец, поеная гидродинамизацил описательной стороны процесса с учетом всех явлений переноса и оценкой величины выходяшего через дроссель потока (и его соотношением с потоком через диаФрагму), необходимой лля срыва свободного вихревого процесса и его Зодпчл и дополнительные аапрасы н главе 4 преобразование в твердотельное вращение в кюкдом поперечном сечении трубки. Все зто, конечно, неимоверно усложнит и запутает рассмотрение в целом любопытного, но все же целиком макроскопического эффекта (аналогично тому, как простая и физически осмысленная модель адиабатической атмосферы превращается в нерешаемую, но зато более реалистическую газодинамнчсскую модель).
Задача 12. Используя полученные в предыдущей задаче результаты, определить иинииальную величину сечения выпускающего холодный газ сопла, необходимую для возникновения в трубке, изображенной на рис.165, вихревого эффекта, и оценить величины потоков выходящих холодного и горячего газо!Ь полагая все данные о поступающем в трубку газе заданными. Решению В качестве основного параметра, характеризующего процесс, используем величину ппио 1 шо 1 2 1 2 г «х 1 т= — = — ~ — ) = — Мо =-Мо, 2срео 2с, ~с ) 2с, 5 где с' = ув/т, мо = тио/с . согласно решению предыдущей задачи плотности газа на входе в трубку и на выходе из нее соответственно равны Ро п(0, 22) = но = —, в ' п(в., В) = — = — —, р ро 1 в(ь,22) в 1+ ' р, | в(о о) ~ '"' 0 р, п(0, 0) = — ~ — ') = — (1 — т)П!" '!.
по ~В(0, 22) ) Во Потоки входящего,уо и выходящих мрячсго /, и холодного /„ газов пропорциональны этим плотностям, сечениям во, в„и в„входного и выходного каналов и скоростям прохолящим через эти каналы газов, юо — на входе и ю„и н„— на выходе из трубки уо — — вооиопо, 1 /, = в,ю,п(Ь, 22) = в,ю,по —, !+ т о„= в„ю,п(0, 0) = в„ю„по(! — т) ~!т !!. Исходными положениями при рассмотрении поставленной задачи являются закон сохранения количества газа н закон сохранения энергии го = У«+У« ( шыо з, ппи,х . зх щю« !« „в, + — «] го = '( свв(ъ, и) + — 'г] /н + ( свв(о, о) + —" ) /„, гле све — удельная энтальпия д = в + ри = с В покоящемся идеаеьного газа.
Введем относительные величины потоков 1, = —, =а„— —, 2„= — = а„— (1 — т) дт 1, 4 =2„+1„= 1, ' /«ти«1 /«ти«1 ! яо «юо 1+т /о "оио где а„= в,/во, а„= в„/во, и исключим величины 1+ . 1 / ! ~ !1(т-«! 2« = 1 — А*, ти« - -тио — ~"«я!« = тво- ~ — г] Х* а«~1-т) из уравнения баланса энтяльпии. Получим уравнение для потока 2„ ~„=]1„„(о «!'")]о-х,„], „(«.' ( ' ) )]х, 251 й !. Сшоцианорные явления переноса или 2 2 2 ! Г ! ~здт-Л (1 — 1„) = — '1„— — ' ~ — ) 1„' = а1„- ЬХ„', (!+ .)г " оз (1+т)г'! ! т/ и исследуем его графически с целью получения приближенного решения. На рис. !68 изображена ситуация, когда графики левой и правой час!ей этого кубического уравнения имеют точку пересечения в области О < 1„< 1, а это возможно только в случае, когда правая часть уравнения обращается в нуль в точке ьга/Ь, расположенной правее единицы, т/а/Ь > 1, что определяет предельное условие на относительный размер плошади сопла, ~ и!т-о о = — "> — — =(о) ее 2 1 — 'г~ 1-Й ~в/Ь формальное решение кубического уравнения, выходящее из области О < Х„< 1 (нли даже комплексное) лишает физического смысла исходные уравнения, поэтому в сдучаях о„< (о„)„и вихревой эффект образоваться не может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
