Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Первая их группа (задачи 1-17) — это примеры расчетов частных случаев в рамках квазистатической онсагеровской теории явлений переноса. Помимо упражнений на 'материал 81, рассмотрение этих простых случаев на основе самых общих физических представлений (а не только формальных соотношений онсагеровской теории) поможет понять причины роста энтропии и смысл величины Я, связывая его с тепловым эффектом, сопровождающим явления переноса (задачи 4, 5).
Несколько задач посвящено исследованию частных случаев релаксационных процессов, соответствующих рассматриваемой теоретической схеме. Вторая группа задач (задачи 18-30) развивает представления, изложенные в 83, — квазистационарная реакция системы, релаксационные процессы и т, п. Идея предложенной последовательности задач состоит в следующем: несмотря на то что восприимчивость 7г(1), вообще говоря, не известна, можно, оставаясь на уровне феноменологического подхода, выбрать структуру функции х($) (или ее фурье- образа 7Г(ы)) на основе общих к ней требований и посмотреть, к каким физическим следствиям это приводит.
Затем можно с целью улучшения этих следствий трансформировать исходную простую модель. Определенную роль при этом играют самые общие идеи теории колебаний. В последних задачах этой группы показано, что исходное предположение о зависимости отклонения энтропии ЬЯ (а следовательно, и ряда других термодинамических величин) от равновесного ее значения только от параметров С, характеризующих это отклонение, на котором основывается вся квазистатическая теория 8 1, в квазистационарной теории не всегда может быть согласовано с общими физическими представлениями о характере неравновесных процессов в статистических системах: функция ЬЯ должна зависеть также и от скоростей изменения этих параметров 4 = Х.
Наконец, в последней группе задач в качестве неравновесной (точнее, отклоненной от положения равновесия) системы рассматривается отдельный осциллятор с затуханием, Это не обязательно «маятник на нитке», естественнее представить себе, что зто отдельное собственное колебание (отдельная «мода») рассматриваемой системы. Если бы такие колебания были бы совершенно независимы друг от друга, то любое движение системы можно было бы представить как их суперпозицию.
Однако 236 П|ава 4. гериодвломечесхая лмория необрппциых лроцессов выделение и последующее рассмотрение отдельной гармоники с физической точки зрения ие всегла оправдано; «сила трения» уй — это проявление взаимодействия не просто с трущимся» о систему термостатом, а скорее следствие взаимодействия с другими колебаниями и другими видами возбуждений в данной системе. Несмотря на явную условность системы, рассмотрение ее выявляет характерные особенности всей теории $3, связанной с рассмотрением как квазистационарных явлений, так и релаксационных процессов, причем это рассмотрение оказывается в физическом отношении весьма наглядным, а в формальном отношении достаточно простым.
Согласно микроскопической теории динамическая восприимчивость Х(ы~ непосредственно выражается через так называемую запаздыааюшую функцию 1рина. Для физических моделей это — выражение, включающее сумму (в статистическом предельном случае эквивалентную интегрированию) бесконечного числа слагаемых с простыми полюсами.
Все оказывается намного сложнее, чем в условной модели с одной парой полюсов, однако ряд характерных ее особенностей сохраняется вследствие универсального характера общих идей и представлений теории колебаний. Задачи и дополнительные вопросы $1. Стационарные явления переноса и релаксационные процессы в кваэистатическом приближении Задача 1. Термодинамически однородная система с заданной теплоемкостью Судг = )т'сги и температурой В+ М соединена с большим термоствтом, имеющим постоянную температуру В, теплопроводящим элементом (длина Ьи, площадь поперечного сечения я, = ! смз) из иатериала с заданным коэффициентом удельной теялопроводности и.
Считая объемы отдельных частей системы фиксированными, определить скорость возрастания энтропии во всей системе, а также оценить время ее релаксации к равновесному состоямию. Решение. Полагая, что основной термоствт, имеющий температуру В, значительно больше остальных частей системы, т.е. полапш Ф/4 - О, учитывая, что Ь~ = -зМ, а также термодинамические соотношения получим лля отклонения энтропии ог равновесного состояния. связанного с наличием перепада температуры М та О, в случае отсутствия переноса вещества через заштрихованную систему (рис, 157) !хвмье = в(В+ мв)- Вя+ БтИт- 1!в) - Вг(е~) = !вг!1 2 1! 1 1 1 ! =- — ~-ргхв) +...=-- — — (ы) +...ш — л(м) .
ЗМ~В) "' гВ С, "' г Полагая б = с!ет, лля соответствующего такому выбору б термодинамической силы имеем согласно б ! рассиатрнваемоя в задаче ! Связывая поток энергии 1, = гает с козффнпиентом теплопроводиости соединяющего две каазнравновесные сисшмы элемента ва й=н ° —, Ьс' где н — табличное значение коэффициента тсплопроаодности, .т< = ух, = -н ° гхв, получим для скорости возрастания энтропии н, гвв 1' 239 5!. бпационарные явления переноса Если теплопроводность и всюду одинакова, то, полагая Ве = В,, приходим к результату, полученному в предмдушей задаче Задача 3.
Определить скорость возрастания энтропии, связанную со стационарными патоками числа частиц газа,ун и переносимой этими частицами энергии .7» через систему, помещенную иежду термостатами, обеспечивающими на ее концах значемня температур В м В+ ЬВ н плотности газа и м и+ Ьн. Определить условия, которым должны удовлетворять коэффициенты переноса, обеспечивающме устойчивость системы по отношению к этим явлениям переноса. решение. Система бмлв подробно рассмотрена в й 2-а). Для расчета скорости возрастания энтропии Я во всей системе (обя термостате и система) воспользуемся соотношением В = дн ул + А уо где, как мы выяснили в $2 (обозначим а = ртд) х =-( —,) м-( — ") ь, х,=- — „, а потоки выряжаются с помощью коэффициентов диффузии Р, термодиффузии Ре тепло- емкости и и диффузионного переноса тепла и„: .Ь=-Р Гь — Р г~м, э, =-н Ь — нь ГЬ .
Учитывая, что в сагу соотношения взаимности Ьн, = Ь,н получаем, исключая и„ В= ~ —,+Р,( — ) ] (ЬВ)' Ю,( — ") ДВ~ +Р( — ') Ь '. Напомним, что условие положительной определенности кввлрятичной формы аяг+ 2аяу+ су > 0 налагает на коэффициенты а, Ь, с следующие требования: а>0, ас — Ь~>0. Отметим, что ввиду известного термолинамического соотношения Вр= — ВВ+едр и условия устойчивзсти равновесного состояния термодинвмической системы для велмчн- (др!д ), Величину (до/ВВ)„можно представить квк где а = р+ Вв — удельная энтальпия. Учитывая эти замечания, мы можем записать условия устойчивости системы по отношению к явлениям переноса числа частиц и энергии в виле неравенств рг Р>0, — ~ -В(др") ~Р,>Р' '(-др) > . 240 Задачи и дополнительные еопросы х главе 4 Задача 4.
Через трубку длиной 1 н радиуса В под действием созданного перепада давления Ьр недленмо протекает несжимаемая жидкость с нзвестныи коэффициентом внутреннего трения г) и плотноаъю числа частиц н. Полагая теипературу Р системы всюду одинаковой, определить баланс энергии н энтропии в системе, включающей насос, яоддерживающнй постоянное значение гьр, Решение. Создадим дяя рассматриваемого капилляра «внсшнис атрибуты» в виде тсрмоствтов Т н Т', например, как это изображено на рис.159. В силу Ьб = 0 и Ьр = сопц рсаеизуется случай, рассмотренный в $2-б), п. а). Явления переноса связаны с наличием двух потоком числа частиц Хл и выносимой ими энергии Х„ д» = -«др, б, = и*.Ъл = -и'«ГЗР, тле для трубки круглого сечения е соотвстствим с известной формулой Пуазсйля Рис.
159. Схема перетекания исследуемого в эвдвче 4 в 21«п К= —, 8211 ' а 11" представляет термодинамнческнй коэффициент, равный энергии, выносимой из Т' в Т в среднем каждой частицей жидкости. Механическая работа по продааяиванню из Т' в Т объема несжимаемой жидкости, равного обьему капилляра, рвана (У'п2г г = — = и*«др, ЭР м гэр Я'1 = гэрр. Твк как средняя скорость движения жидкости по капилляру (.Ул( «Ьр им — °вЂ” и в'«2 яи)22 опрелсляст то время, за которое совершается рабств тт, 1 нк22 пг 1= - = — = —, и Кбьр Кбгр' то мощность механической работы по прааввливанию жидкости через капилляр оказывается равной »эру К 1 Ф= — = — (Ьр) . 1 н Эту работу совершает подасрживаюший 2ьр = сопзг Насос, возвращающий по ДРугой трубке жидкость обратно из Т в Т'.
В капилляре же эта работа совершается против сил внутреннего трения, она превращается в тепло, которое (в силу р = сопзг) отводится через стенки в тсрмостат Т. Получая это тепло как бы от внешнего источника, термастат Т в соответствии с формулой бг2 = б Юз увеличивает свою энтропию. Скорость роста энтропии равна 3 = — Ф = — (бьр) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
