Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Используя эти свойства 71'(ы) и згн(ы), можно записать соотношения Крамерса — Кронига в несколько ином виве: Оч чч о а Необходимо отметить, что полученные выше дисперсионные соотношения для обобщенной восприимчивости являются прямым следствием сформулированного нами несколько ранее общефизического принципа причинности (в рассматриваемом случае — для восприимчивости 1г(1) и несколько далее — лля формальных коэффициентов переноса Ь(1)), который в частотном варианте получил свое спектральное выражение в исхслной интегральной форме для динамической восприимчивости т(й) или в виде формул Крамерса — Кронига, связывающих ее действительную и мнимую части.
Упомянем еше об используемых в литературе вариантах спектральной плотности восприимчивости К(1) и терминологии: Х(ы) — обобщенная восприимчивость (тензор восприимчивости); я (гн) = -1ыу(ы) — обобщенный алмиттанс; 1 Я(ы) = — — обобщенный импеланс системы. Цм) 228 Вава 4, Термодинамическая пморил необратимых процессов Переходя к обобщению онсагеровской теории, условимся записывать выражения для токов и другие соотношения в символическом виде (как будто для случая, когда имеется только одно значение я = 1) .Ть = Ч~; ЪмХ, .Т = Т,Х. Ь Соответствующее обобщение этой формулы на случай зависимости коэффициента Т от предыстории системы имеет вид Т(1) = Ь(1 — 1')Х(1') Ж' = В(1п)Т(си)Х(Ю вЂ” Юп) д1", и мы должны, по существу заменяя лишь обозначения я,Т, Х Ь, Р - Х, повторить все рассуждения, приведенные ранее по отношению к восприимчивости.
Связь спектральных плотностей тока и обобщенной силы имеет вид ,Т(ы) = Ь(ь2) Х(ы), где,Т(ы), Х(ы) и Ь(ы)/(2я) являются фурье-образами функций.Т(1), Х(1) и В(1)Т(1) соответственно. повторяя аналогичное проведенному выше лля восприимчивости 2с(й) иссле- дование аналитических свойств функции Т(й), приходим к выводу, что особенности этой функции могут быть расположены только в нижней полунлоскости комплекс- ной частоты й.
Так как для реальных физических процессов Ь'(1) = Ь(1), Ь'(ы) = Ь(-ы), то, представляя функцию Т(ы) в виде суммы действительной и мнимой частей, Т,(и) = Т'(ы) + 1Ьп(ы), можно представить общее дисперсиолное соогяно2иеиие для коэффициентов пере- носа Ь(ы) Т(й) = — — Р ( — ди2 Т Т(ы) я,/ ы — й в виде Т(й)= — Р д = — Р ды, 1 г Ьп(ы) 2 г ыТп(ы) ы — Й я ы2-Й2 1 Т Т (ы) 2 Т ЙТ'(ы) Ьп(й) = -- Р у — ды = -- Р ~ — ды. я / ы — й я,/ы2 — йз (Ю о Связь этой величины с обобщенной восприимчивостью устанавливается довольно просто. Действительно, если я(1) — это вызванное внешним полем Р(1) отклонение во временной шкале, сглаживающей случайные флуктуации этой величины, то в этой же временной шкале производная й(1) является тем током, который фигурирует в онсагеровской теории (и который вызывается той же обобщенной силой Р(1) = Х(1)), Т(Ф) = й(1) 5 3.
Обобщенная вослряиичяяосшь и сяеявряльнмя разломеяяя 229 В терминах фурье-компонент эта связь приобретает вид .7(а) = — Ыя, и так как = Х( )Е' =Х(ы)х(ы), то величина Ь(ы) оказывается равной обобщенному апмитгансу системы у(ы) = гыХ(м) При попытке обратить зту формулу, т. е. выразить Х(ы) через Ь(ы), мы встре- чаемся с трудностью в точке м = О. Действительно, учитывая, что ыд(и) = О, имеем при произвольной величине константы А Ь(ы) = -Ы(Х(ы) — Аб(ы)), поэтому, поделив на й |, получаем, что Х(ы) восстанавливается из з (ы) с некоторым произволом в точке ы = 0 Х(ы) = У вЂ” + Аб(и) = —, + (А — яЬ(0))б(ы).
.Ь(и) И(и) И ы+1е Так как функция Ь(ы) (как и Х(ы)) не должна иметь особенностей на действи- тельной оси ы и в верхней полуплоскости й, то первое слагаемое удовлетворяет этому условию и при переходе к г-предсгавлению содержит общий множитель р(г). Второе же слагаемое в точке ы = 0 сингулярно, а в $-представлении оно дает константу:-~;-(-~, что не согласуется с физическим смыслом величины Х($).
Един- ственная возможность сохранить для Х(и) необходимые аналитические свойства— зто выбрать А = яЬ(0). Тогда мы получаем . Ь(ы) Х( )=г —,. ы+за В связи с формулами, связывающими Ь(м) и Х(ы), заметим, что соотношения взаимности ОнсагеРа, котоРые по отношению к матРице Ь = 'ОДьО можно записать как т( ° (верхний значок означает операцию транспонирования), автоматически переносятся на обобщенную восприимчивость Х(ы) Х(ы) = Х Ь'). Запишем теперь в этом варианте теории выражения для отклонения энтропии Агб и величины скорости ее возрастания Я.
Оставаясь в рамках квазистатического приближения (т.е. полагая, что с точки зрения термодинамических критериев изменение состояния системы или ее частей во времени происходит квазистатически), мы, как и в полуфеноменологической теории флуктуаций, будем полаппь, что . отклонение энтропии от равновесного значения в момент времени 1 определяется квадратичной формой относительно параметров С, взятых в этот же момент времени, 1 ьл(г) = --р)лр). 2 Тогда и производство энтропии будет выражаться прежней формулой Я = М = — 4($) = х($).7($). ВЬЮ(г) Ж(г) ' з 3. Вбобщеннвл вослриинчивоопь и сленнунгльнмв разложения 231 естественно, воспользуемся, по существу, специально приготовленными для этого случая частотными представлениями.
Итак, пустьдля простоты внешнее возлействие содержит только одну гармонику: 1 Х(1) = Хь сов(йо1) = -Хо(е ""+ е ™), 2 или в ы-прелставлении Х(ы) = — / б1 Х(1)е = -Хо(б(ы — йо) +б(ы+ Йо)). 1 Г ... 1 2в,/ 2 -00 Вызываемое этим полем отклонение системы от равновесия х(1) целиком определяется характером восприимчивости зг(1). Эта связь в частотном представлении имеет вид (мы учитываем, что у(-йо) = у'(Йо)): ! х„= Х(ы)Х(ы) = -Хо (Х(йе)б(ьг — Йо) + Х (Йо)б(ы+ Йо)) 2 или пв 1 в-1 ю *. ' =-ь (х(ьь ~+х(ььг ').
2 -ьэ Выделяя в динамической восприимчивости действительную и мнимую части х(ы) = Х'(ы) + ьун(ы), получаем Х(1) = ХО(Х (ЙО) СОЗ (ЙО1) + Хн(ЙО) З1П (ЙЕ1)) = ХО~Х(ЙЕ) ~ СОЗ (ЙО — у) где 1Х(йеН = Х'(йе) + Х"(йе), соз р = Й ) з1п р = (Й ) . Для обобшенного потока .7, учитывая Ь(-йе) = Ь'(йе), получаем аналогичные формулы: 1 .Т(ы) = Ъ(и)Х(ы) = -Хе ' (Ь(йо)б(ы — йе) + Ь (йе)б(ы+ йе)), 2 ль=1ь' л) ' =-х. ~ца,~ ""~гуль""). 2 -СО Для выяснения вопроса об энтропийных соотношениях обратимся еше раз к первому и второму началам термодинамики. Мы считаем, что система н внешний по отношению к ней термостат каждые в отдельности изменяют свои состояния в термодинамическом смысле квазистатнчески, поэтому, например, для системы Жьист = В бЯсим = ббсист + б И' Ограничиваясь динамическим вариантом внешнего воздействия на систему, мы будем полагать, что система находится в термостате в самом прямом понимании: температура системы и температура термостата совпадают лля любого момента времени, поэтому, используя величину энтропии Я, отличаюшуюся от тсрчодинамической Ягв множителем В, будем иметь бьг = В бЯм = а1ибм) = ЯЯ.
2Зг П1ава 4. Термодинамическая теория необратимых лроцессов Внешняя сила Х(1) производит работу над системой бйг,„, = -овт, которая по смыслу своему является работой не только по изменению состояния системы, но и по преодолению сил сопротивления типа трения. Выделяющееся при этом тепло й~ (так называемая диссипация энергии внешнего поля) тут же (в нашем квазистатическом варианте — «мгновенно») передается в термостат (нначе бы возросла температура системы) бЯ, = -бЯ,„, энтропия которого вследствие этого возрастает за промежуток времени (О, 1) на величину Г~г9т = 21врвнвш ло' = 0~В а скорость возрастания энтропии определяется как баланс энергетической мощности внешнего возмущения и скорости изменения внутренней энергии системы: ш (в) — 14Гвнвш (в) Внутренняя энергия системы Ф определяется в нашем варианте, как в ква- зистатической термодинамике, по уравнениям состояния системы как функция квазистатически меняющихся параметров х, вГ = о(х(1)), причем в этой функции мы в соответствии с исходным ограничением для энтропии системы квадратичной формой должны также сохранить члены не выше второй степени: К(я) = о(0) + вв" (0)х+ -ФЯ(0)х~.
2 Выражение для работы внешнего поля по традиции записывается как произве- дение обобщенной силы Х($) на соответствующее ей смещение: бЮ,„,~ = Х(1) йх = Х(8)й(1) 41 = Х(1) °,7(1) й. Таким образом, мы получаем В(1) = Х(1) ° .У(1) — (г'(0) + гн(0)я(1)) .У(1), или, подставляя выражение для Х и,У, Я($) = -Хю'(Й(Оо)+Х Яо)+ЪЯо)е ' ""+Ь (11о)е' "") Хо-(Ф (О)+8 (0)я(1)) У(1) 4 Если теперь подсчитать среднее производство энтропии за период квазистаци- онарного процесса Тв —— 2я/йв, то все периодические слагаемые в этой формуле, включая слагаемое, содержащее производные от внутренней энергии системы, ис- чезнут, и мы получим, воспользовавшись соотношением Ь(ы) = — выХ(ы), 2н/йв йо /, 1 1 Йо — зг Я(1)Ж = -Хо'(Ь(йо)+Т:(йо)) 'Хо= -Хо' —.(Х(По) — Х*(йо)) 'Хо 2 / 4 4 в' о Обозначая штрихом и двум штрихами соответственно действительную и мнимую части. функций Ь и Х, получаем окончательно т, — у Я(С) ~Ы = -Хо Ь(йо)Хо = -Хо йот (йо) Хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
