Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2 р пр Зтот результат является частным (соотвстствуюшим М = 0) случаем формулы лля скорости роста энтропии в замкнутой системе, связанного с диссипативными процессами в ней, которую мы получилн в 92-б), п. У) с помощью формального использования онсагсроаской теории. Согласно физическим соображениям каждая частица, уходяшая из 2" через капилляр, уносит в срелнем некоторую энергию (1'. Разделив зту энергию для часпш, заполняюшнх весь капилляр Х = сГ*йГ = 21'пг нв интервал времени 1, мы лолжны получить поток этой энергии, Задачи и дополнишельные вопросы к алове 4 с величины В до В-ЬВ в соответствии с формулой двя дифференциального эффекта джоуля— Томсонш 1 [ (вр) (вр) ~ УУ( вр) условие гзе = 0 означает, что от заштрихованной системы, через которую диффундируег газ, в термастат отводится тепло (в расчете на число частиц Хн = К = РЬп, ежесекундно проходящих через перегородку) »Е=»» ьь»»=»» [-.ф) -ВЯ) 1)»р /(-ф .
Это тепло, поступая в термастат («поступая» — чисто условно, так как величина эффекта Джоуля — Томсона может быть любого знака нли даже равняться нулю — на кривой инверсии или, например, лля идеального газа, см. щвачу 9), повышает его энтропию на величину А-г = Ьд/В. У (Ьр)» = ( — ) ° с»п = ( — — ) получим, что общее изменение энтропии за секунду, связанное с процессом иютермнческого расширения газа и отводом тепла от заштрихованной части трубки в термастат, равно е ~ вр~ (г),п)' В= А +А-т = -(- — ) 2).
в ~ ва~» п' Этот результат совпавает с приведенным в условии щдачи ввиду известных соотношений др = -е бе+ е ор, п = 1/е. Задача 6. Оценить энергию П', выносимую в среднем каждой частицей равновесного классического газа через маленькое отверстие в стенке сосуда в случае, когда этаг газ можно считать идеальным.
. Решение. Поток числа частиц через отверстие в стенке (рис. 1б 1) совпадает с выражением двя среднего числа частиц, падающих на участок стенки, по площади равный плошали отвеРстия. Полапщ зту площадь равной 1 см, имеем дхя плотности патока числа частиц пб Хн»» / г)тле,м(т) = —, 1»„>0) где м(т) — нормированное трехмерное распределение Максвелла, е =,/8В/(хгп) — среднее значение модуля скорости частиц газа. Платность потока энергии вьиетающих через отверстие частиц идеального газа равен пге пб ,7» = / Вт — пе,м(т) = 2д —, 2 * 4' (»»е) Рис.
2бз. й расчету потоков ОтКУДа ДЛЯ ИСКОМОЙ ВЕЛИЧИНЫ ГГ' ПОЛУЧаЕМ числа частиц и энергии ° 2» 1Г' ы — ы 2В. Заметим, что эта энергия больше средней энергии идеального классического газа в расчете нв одну чаапгцу, которая равна 1) в, Задача 7. Оценить величину термомеханического коэффициента М для идеального одиоатомиого классическоп) газа. 243 й 1.
Ьпоццонорные явления перенося Решение. Полагая рэ = В, сгл = 3/2 (одноатомнмй газ) н воспользовавшись полученным выше результатом У' = 2В, имеем для удельной энтальпии 5 Л=е+ре= — В, 2 1р Ли 1 1р — = — = — = — — = М'. ЬВ Ве 2е 2 В Если к полученному соотношению отнестись как к дифференциальному уравнению 1р 1 ВВ р 2 В' то мы сразу приходим к так называемому соотношению Кнудсена (М.
Кппдэеп,,1910) Задача 8. Оценить термомеханический коэффициент М для жидкого гелия ниже температуры Л-перехода (Вз = 2,19 К), полагая, что при прохождении гелия через нижний конец капилляра (рис. 162) в установке для наблюдения эффекта фонтанирования (см. 9 2-6), и. Т)) происходит превращение части сверхтекучей компоненты в нормальную. Решенне, Лвухжидкостная модель Тиссы-Ландау (1 .
Тига, 1938; Л. Д. Ландау, 1941) возникла как удобная и достаточно эффективная форма интерпретации ряда совершенно специфических, дхя Не-П (жидкий Не" при В < Вз) явлений. Лля наших целей достаточно воспользоваться лишь отдельными фрагментами этих представлений. Полагаем, что Не-П представляет собой дае растворенные дуг в друге жидкости — сверхтекучую (е) и нормальную (и): дг=ЛГ«+Жс, уямА+у», первая из которых не несет энтропии Пу з, =О. Я=/У«е«+ДГ„е„=/У„а„ ов и не облааает вязкостью. Капилляр предполагается очень узким (например, 10 з-1О ~ см) (чем тоньше капилляр, тем «строже» объяснение и сильней эффект), так что при возникновении в нем температурного отклонения Гзр нормальная компонента в силу ко- рис.
162. Схема установнечной вязкости атиснутьсяв него практически не может. Сверхте- ки для наблюдения зфкучая же компонента при прохо:каении сеетопоглошающей поРи- феата фонтанироаання а стой пробки превращается в и-компоненту. Так как потоком Х, эн- жидком гелии-П тропик из основного объема жидкости ие выносится„то 8з — — сопи.
В силу постановочных упрошаюших предположений (см. $2-б)) тогда и В~ = сонм, н мы получаем (учитывая, что К = сонм; Рз = сонм) для каждой из подсистем (Л = 1, 2) ВР,=ВВВ,-РЛ„+Р,ВЛГ, =Р„ВЛ„, Так как у нас всегда Ьм = -ЬВ1 и ЬлГ, = -ЬДГ„то получаем, что Р~ = Рз, т.е. Р(В+ /ЬВ, р+ /Ьр) = р(В, р) — «изо-Р» перетекание, или Ь| = — 3В+с,лр=О, откуда для термомеханического коэффициента М» для «двухжидкостного» Не-П сразу получаем /ЛР е» вЂ” еп — сип» вЂ” М «»В е Задачи и дополниглельныв вопросы и главе 4 Ь-сг' р и — сГ' М= — = — + —, де е де мы вилим, что он соответствует случаю, когда формально сг' = и, т. е.
энергия, выносимая из иэотермической системы в среднем каждой покидающей ее частицей, совпадает с химическим потенциалом. гр Задача В. В переменных д, р определить в приведенных координатах кривые инверсии эффекта Джоуля-Томсона для газа Ван двр Ваальса и газа Дитеричн. Решение, Определяя дяя газа Ван дер Ваальса (Ю. цап бег Ьчаа!з, 1873) д а Р= -Ь ез значения критических параметров с помощью уравнений (д) О' (дз) получаем Ва а е =ЗЬ, д = —, р "Р 27Ь ' "Р 27Ьг Уравнение Ван дер Вавльса в приведенных координатах р е 3'= р рш —, Рю ерр т=— д.
приобретает вид 8т 3 Зр — 1 !рз Подставляя значения производных давления по температуре и объему в уравнение кривой инверсии ($2-б), п. б)) т( — ) +зр( — ) = О, получаем, что вдоль этой кривой (уравнение кривой инверсии на (р, т)-плоскосги) рю (3- — тд) Полставляя это значение р в приведенное уравнение, получаем кривую инверсии в к — г переменных к = 24тгЗ г д — ! 2т — 27.
Для уравнения Дитеричи (С. О!егепс1, 1898) (а — параметр, величина которого порядка 1,27) д а р= — ехр (- — ) критические значения объема, температуры и давления равны др — -( — ), р, =( — ) — е, е„р — — 26, где мы положили н„= гг„/р, в = (йг,ь, + йг„в„)/М и учли, что рр = О. Практически эффект фонтанировзния Не-П оказывается действительно эффектным: если верхний конец трубки короче гЗР, высота фонтана достигает 14 ем. Сравнивая полученный для Мр результат со станваргным 245 $1. 0пационарпые явления переноса н приведенное уравнение Дитеричи имеет вид и= — ехр ) 2 — — ), Вдоль кривой инверсии имеем 5 2(п+ 1) У= 4(п+ 1) — г' ' 3 откуда после исключения р из уравнения Дитеричи следует уравнение кривой инверсии в (и, г)-координатах 0 5 10 15 я = —,]4(о+1) -т']ехр 1(в Рис.
163. Кривые инверсии газа Ван дер Ваальса и газа Дитеричи Сравнима экспериментально установленные точки кривых инверсии (на рис. 163 кружочки— СОы звездочки — Мг) с полученными нами (сплошные кривые), обнаруживаем, что кривая инверсии геээ Дитеричи довольно хорошо соответствует реальной ситуании. Напомним, что идеальный пз ре = д не обнаруживает эффекта Джоуля — Томсона вообще, твк как соотношение соотвстствуянлее пулевому эффекту, выполняется для него всюду. Задача 10.
Показать, что выбор в качестве исходного состояния газа точки, лежащей на кривой инверсии, является наивыгоднейшим при использовании на практике интегрального эффекта Джоуля-Томсона в холодильных установках. Решение. Эффект Джоуля — Томсона используется на практике для получения низких температур (сжижение газов и т.д.). При этом, олнако. перепад давления Ьр = рз — р, и изменение температуры Ье = ег - д~ не являются малыми: в этом случае имеет место интегральный эффект Джоуля — Томсона 9 7 ура~ ЬЕ=Е,-Е,= г ~ — ~~ ар, У ~бр) в, и Исходная температура холодильной установки Е~ (или ее отдельного каскада) и конечное давление рз обычно задаются (например, рз = 1 ат). Выбор наивыгодней- Оз щего значения р~ определяется из условия экстремума Вье — =О, о р рр~ что эквивалентно условию Рис.
164. К определении иаивы- годнейиего режима работы холовв1 / дильиой установки ,— 1 ~ О. т. е. исходное состояние выгоднее всего выбрать так, чтобы оно лежало на верхней ветви кривой инверсии данного газа (рис. 164). К рассмотренным выше функционирующим устройствам со стационарно протекающим через ннх газом примыкает эффект разделения даигаюшсйся с большой скоростью газовой струи нв две, горячую н холодную, прн ее прохождении через адиабатически изолированное устройство, называемое вихревой трубкой. Как Задачи и дополнишельные вопросы к главе 4 мы убедимся на основе материала следуюшей задачи, исследование этого эффекта в простейшем варианте не требует привлечения аппарата неравновесной термодинамики и совершенно так же, как для эффектов дросселнрования и адиабатического расширения газа, может быть проведено целиком на квазистатическом уровне.
Задача 11, Рассмотреть в идеализированном варианте процессы, происходящие при прохождении струи газа через вихревую трубку. Решение. Эффект разаевения стационарной высокоскоростной струн газа на горячую и холодную бмл обнаружен случайно при экспериментальных разработках конструкций вихревых форсунок. Воспринимаемый первоначально чуть ли не как опровержение Г начала термодинамики, он после технических доработок нашел свое применение не только в качестве генератора холодопронзводства (что в практическом плане сблизило его с эффектом дросселнроввния, рассмотренным нами в 62-6), п. б) этой главы), но также лля вьшелення конденснруюшихся компонент гаювых смесей, дяя эффективного разделения газов с близкими физическими характеристиками (как это и должно происходить во вращающейся системе, см.
изотермический вариант этого явления, т. 1, задача 20) и т.д. Не занимаясь заесь усовершенствованием деталей конструктивного устройства прибора и каким-либо вариантом его газодинамического расчета (из всех существующих, вплоть до эюотическнх, названий его и производимого им эффекта остановимся на самом простом варианте — вихревая мрубке и вихревой эффект), рассмотрим максимально упрощенную н явно идеализированную схему происходящих в упомянутой трубке процессов, позволяющую на элементарном квазистатнческом уровне дать качественное объяснение возникновения данного эффекта. В этом моделировании мы существенно будем опираться на общепризнанную кмзистатическую же модель эднабатической атмосферы (см.
т. 1, зелача 49), объяснившую без привлечения строгого газодинамнческого рассмотрения существование высотного градиента температуры (в также на известное истолкование, почему после размешнвання чаинки в стакане собираются в центре его донышка). Ое~ юе Оо «ио Ро О Рис.збб. Схема прямой адиабагически изолированной вихревой трубки я возникающих в яей газовых потоков лрн поступлении в нее высокоскоростной поперечной таягеяцяальяой струи газа Схема самого простого варианта вихревой трубки с ааиабатическими стенками представлена на рис. 165. Газ с параметрами Вь, ре с большой скоростью м» подается по касательной перпендикулярно оси трубки в районе в = О, г = В и выходят через регулируемый дроссель в ее конце и = Ь, г = 22 более горячим и через диафрагму (и И О, г М 0) охлажденным. Чтобы избавиться от сопутствующего данному явлению эффекта дросселнрования (Джоуля— Томсона, см.
гл.4, $2-6), п. б)), будем полагать газ идеальным: Ре = сопи, с„= сольц гэ = с»+ 1 н однокомпонентным (чтобы не рассматривать также попутно возникающий эффект разделения) . Если дроссель закрыт, то трубка превращается в центробежную форсунку, в которой устанавливается нормальный вихрь с увеличивающейся к центру вследствие выполнения закона сохранения момента количества движения угловой скоростью, и весь газ выбрасывается веером через околоосевую диафрагму.
С открытием дросселя в трубке возникает стационарный поток вдоль оси е, и при определенном значении выходящего через дроссель потока газа «свободный» вихрь преобразуется в «вынужденный», имеющий в кажном поперечном сечении и характер твердотельного вращения с постоянной моль г угловой скоростью ы(е). й!. Опайаонарные яалення переноса Так как рассматриааемый процесс яаляется стационарным, то естественно прсдполохппь, что статическое давление на уровне г = Л постоянно вдоль я, т.е. Р(я, Л) =' р(О, Л) — рэ (на самом деле оно вследствие трения газа о стенку трубки несколько спаиает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
