Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 55
Текст из файла (страница 55)
— В(„1„+ Н(н(ЬВ, — 133 21В„. Рассмотрим теперь частные (и при этом простейшие) случаи реализации термомагнитнык эффектов в плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю. Коэффициенты, характернзуюшие отдельные термоэлектромагнитные эффекты, будем обозначать, как и в б 2, греческими буквами. .(, = -(ЗЗЬВ„ а) Случай 1, = 1„м О, Ьвэ =О. Имеем сразу Е* = -(ззЬВ*, .Е„= Н(44226, ,1„= Н( (зе,. 256 3одочо о дополлошелеяие вопроси л мове е Зто уже опрелеленные физлческие эффектм: 2««т,з, )Ч =1н, и =1п, и» = — Н1и. — термоЭДС (Т.
ВесЬесх, 1821), — эффект Нернсга (Ъ!! Мегпзг, ! 88б), — теплопроаодность (1. гоог1ег, 1822), — «поперечная» теплоироводность, дтт« = -е, м е дв, Л„= НН Дв, 1, = -нДВ, ,т„= — дв, ту) С«учао дв, = дв„= О, 1„= О. Имеем еще четыре явления переноса; Н« =!от„Н„=Н1, 1„ или в более привычных обозначениях ,т, = -В1, т„,т„= вн1, 1, 1 р= — =то, е ! Р1* = о НХ1, — закон Ома (О.
ОЬп, 1826), — эффект Холла (Е. НаП, 1879), — перенос энергии током (1. Увй1ег, 1834), — «поперечный» перенос энергии током, Х=1п, П = -Втсп П ««Вн)г«. пт П»1« ') = Нг1, ! — ~ДВ, = -2„ДВ, !зз Нг1ы1г« 1»+ —, 133 ( Н1„1„~ и!ы- — ~дв, =нм дв, 1зз 11з!и !и 1м "( = Нтйз -!зз — — ~дв, =- дв, тгз — «адиабвтическея» термоЗДС, — «адиабатический» эффект Нернста, — теплопроводность при условии адиабатнческой изоляции граней кубика, перпендикулярных оси р, Нгтг н««««1п + !зз 7) Случило 1, = 1„= 0; 1» ««О («ааивбвтический» аналог случая а), когда вместо ° изотермического» условия ДВ„О взято условие отсу!стеня теплового потока 1„= О). Оставшиеся соотношения оказываются уже более сложными: Ь» «« -1~»ДВ« — НтнДВ»«Ж» = Н!мДВ« -!|зДВ» ,т -! дв, — Н1 дв„, о =н1 дв — ! дв„.
Из четвертого соотношения (1 = 0) имеем Н1 тм дв„— дв, нлдв„л = —. 1п 1зз Явление возникновения поперечной разности температур (при 1« ««0) называется эффектом Ледшка-Риги ($. т.евое, А. Щ01, 1887). Из нервых трех соотношейий, исключив ДВ, следует 8 1. Сшацианарные яяленая переноса б) Сзучяй лр, = О, 1„= О, 1, = О («адиабатический» аналог случая )5), вместо услоаня зарх «» О взято услоане .7, = О). Имеем Ез = Н!ц1, — !зззлр„, О = Вн!з«1, — !ззЬВ Е, = !и1, — Н!з«збзрг, 1 =-В! 1,— Н! ЬВ Из последнего соотношения получаем ЬВ„= — 1, = НЕ1, вН! !зз в!з Е= —. !зз явление возникновения разности температур !ьег а указанных условиях наэыаается эффектом Эттннтекауэсиа (А. Е111айэйаааса, 1886).
ИСКЛЮЧая З)збг ИЗ ПЕРВЫХ трЕХ ураВНЕНИй, ПОЛуЧаЕМ ВН'!' 'з Е, = (!и — — ы~ 1, = р„1, зз — «алиабатическая» проводимость, 1 Внз1за« рм = е,«!зз Вн!зз!з ~ Ер -- (Н!зз — )1, = НХ„1, — «адиабатический» эффект Холла, зз в!и!, Х м!и- —, !зз Вн'!м1,~ 1» = (-В!зз — — )1, =Н.,1, — поток энергии, вызываемый током, !зз ВН'!и!„ ц =-в1, !зз Можно рассмотреть и другие частные случаи (это предастаяляется читателям). Выберем теперь шесть коэффициентах, через которые аыраэим асс остаяьные.
Это можно сделать различными способами. Наиболее рациональный из иих следуюший: 1 !и=р= —, !п=Х, !зз=к, !зз=Н, !зз=зг, !м»»кА, У' ! епс т. е. а качестве асноаных коэффициентах взяты удельное сопратиаление (или, проаодимасть) и коэффициенты Холла, термоЭНС, Нернста, теплопроаодности и Ледюка„Заметим, что асс эти коэффициенты яаляюгся функциями термодинамических переменных (температуры, плотности и т.д.) и четными функциями напря.кенности магнитного полл Н, кОторые (к примеру, для удельного сапротиалення) можно прелстааить а виде р(Н) = р»+рзн'+".
и (аеличина р, называется магнетосопротиалением). В феноменологической теории лсе эти коэффициенты считаются заданными или апрааеленнымн с помошыо соотаетстауюших экспернментоа. В рамках кинетической теории эти коэффициенты рассчитыааются теоретически (а глаае 5 мы произаелем оценки лля зг, и и Е). Коэффициент Холла Х, можно оцепить и без испольэоаания кинетического уравнения: у-компонента силы Лоренца (1!с) (т х Н) (см. рис, 1б9) должна быть скомпепсироаана у-компонентой внешнего поля Е, Полагая е = 1,)(еп), где и — платность носителей тока, получаем сразу изаестный резуяьтат 258 Задо«и и дополниглельные вопросы к главе 4 Для других коэффициентов, характеризуюших рассмотренные в случаях о)-б) эффекты, получаем В1Ч нз - --Ннд, П = — Вг, Пз ы ВН1Ч, Е = —, н р =р — ВН1Ч =р — ННЕ, вгн н 1ч =!и — гл, г„=г+н 1чл, и„= и — вн'1чл = -вг — вн'1чл = -вг„.
Систему динамических уравнений можно представить в матричной записи в виле р -нх -г НХ р Н1Ч -Вг -ВН1Ч -и 1, 1т х рьв, Нь Нз 1„ -нил ВНЫ -Вг Ннд -и 5 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости и модельные примеры систем с памятью Задача 1о. Определить динамическую обобщенную восприимчивость Х(ы) и проверить соотношение Крамерса — Кронига для случая простейшей, зкспоненциальной (е Н') модели функции памяти, полагая Х1(!) = В(!) Ха7 е и Хз(!) = В(!) . Ха7 е " сов(ьгб), где 1/7 — эффективное время «памяти» среды. решение.
заметим сразу, что модели для х(т) выбраны так, что в случае т со (илн т = 1/7 -~ О) те тй 1В(à — Га) - б(Г -Га), и поэтому реакция системы *(Г) на динамическое воздействие Р(Г) в этом пределе оказывается квазистатической: э(Г) = ~ Х(à — ")Р(Г') дс Хар(1). расчет функции Х1(ы) элементарен: 1 7 7 Х~(ы) = Ха7 г! е 41 = Ха —. = Ха — + аХа —. ы+»7 ыз+7' ыз+ у' а 1!ля получения Х,(ы) достаточно вспомнить формулу Эйлера: сов(ыаь) = — (е'" + е "~), 2 Для скорости возникновения энтропии получаем такое же выражение, что и в й 2-в): Я = Ч~~ Х~1г — — Р1 + и — (зГВ), В Вт где 1 = 1з + 1з; (згВ) = гав~ + Ьвз, т. е.
рост энтропии, как и ранее, связан с выделением джоулева тепла и процессом теплопроводности. 92. Общие шребоаонля л сшрулшуре обобщенной восприцмчивосши 259 Тогда получим Задача 19. Исследовать возможность экспоненциального характера релаксвциоиного процесса в случае Ь = Ье1 е ". Определить скорость роста энтропии Я и ее изменение за конечный интервал времени. Решение.
В качестве исходных формул имеем ЬЯ(1) = -- б(1)Л1(1), Х(1) = — = -Лб(1), .7(1) = У Ь(1 — 1')Х(1') дг. дгЛЯ 2 ' дб Учитывая, что 7(1) = Г(1), приходим к линейному интегральному уравнению ((1) =- /'Г,(гв)Л((1-1")41". е Подставив под знак интеграла функцию 7(1") = Ьеге ' ищем решение релаксационного типа Г(1) = б(0) е "г. Тогда для величины и, уловлстворяюшей условию 1>и)0, получим квадратное уравнение 2 Рис.
170. График зависимости г — 1и + ЬеЛ1 = О, величины и от параметра 1 Из двух решений этого уравнения, существующих, как это видно из рис.!70, при условии 4Хел < 1 выберем то, которое в пределе 1 оз, т. е. в случае, когда 7(1) = б(1) (1) = Х(1) перехолит в полученное в 9 1, и. г) решение и = Тел. Оно имеет вид .=-,'( — / -" ). Помимо полученного решения для б(1) имеем о 1 Х(1) = -Лс(0)е "~, .1(1) = -ис(0)е "~, откуда лля скорости возрастании энтропии получаем б = Х(1),т«) = пб(О)Л1(О)-'"'. Увеличение энтропии за конечный интервал времени с учетом величины начального откло- нения с)г = ((0) равно (рис.
171) б(1') 41' = — Г(О)Л((О) (1 — е-'и), 2 Рис. 171. График изменения энтропии системы ао времени 1 хг(м) = -(х ( — й)+х ( +й)). 2 Так как полюса этих функций (см. рис. 154, с. 226) оказываются в нижней полуплоскостн комплексной частоты м, то автоматически х( ) ьг — й+ ге что обеспечивает выполнение соотношений Крамерса — Кроннга (см.
9 3). Задачи и дололнишюгьные вопросы к алове ч При ! - оо (! Ъ 1/(2и)) приходим к естественному результату для полного роста энтропии: З(!') И' = -' б(О)Лб(О) = -ДЗ(О). 2 о Несмотря на разумный характер полученных выше результатов, нельзя не заметить, что исходная форма для функции Ь(1) не может быть согласована со всеми требованиями, предъявляемыми к теории с учетом памяти среды.
Действительно. определяя фурье-образ функции Ь(1): Ь(ы) = ~бей(!)Ьц!е ве ~ =ус!— ы+ г! и восстанавливая по этой функции динамическую восприимчивость т(ы), соответствующую воздействию Х(1) на систему: , Й(ы) 1 Х(ы) = ! —. = ЙФ ы+!е (и+И)(и+)е) убеждаемся в том, что она не уловлетворяет необходимому требованию Х(ы)!„„,=Х« < обеспечивающему конечную реакцию системы на статическое (или кваэистатическое) на нее воздействие, в(!) = теХ(1), что проявляется также и в самой форме дкя Х(1): -2ч! Х(1)= — I бые ', . =Р(Г).уч(1 — е и), 2я / (ы+ !!)(ы+ !е) «« соответствуюшей наличию у среды бесконечно лолгой «памяти«о действовавшем на нее возмущении.
Для устранения этого недостатка предкоженной в условии задачи математической модели лля Ь(1) нам достаточно в соответствии с доказанной в задаче 21 теоремой о повелении функции 2(ы) в области ы = О исправить ее так, чтобы Х(ы)~, = О, положив для этого, к примеру, У(ы) = Ь(ы) — Ье. Задача 20. Исходя из заданного вида обобщенной восприимчивости Х(!) = О(!) Хате "', определить характер релвксационных процессов в системе, если начальные значения отклонений 4(0) = 4е и Лов = — 2 беЛ4е считаются известными. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
