Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 59
Текст из файла (страница 59)
также запачу 37). Графики всех полученных характеристик приведены на рис.! 84. Зта энергия выделяется в виде тепла, которое в силу изотермичности процесса отводится в термостат. Учитывая выражение для «"(и), полученное в эалаче 32, и беря интеграл по времени, получаем гхйс (1)=М (Г)тр(дтд(1)-В (О)),= з е Ып(2йог) = Бт Я вЂ” Вт(0) = -Рэо«е(йо)йо ~1- 2 2й, Для скорости образования энтропии отсюда имеем величину, положительную при всех и 8(1) = — СьдтЯ = — Во«(йо) йо 2згп Яог) 41 2 Оствльная часть работы внешней силы наа системой в изотермическом режиме ыр(1) = гни (г) — мр (1) = Ф Ггпх'Я тйэхз(г)1 = ~(тх'+ тй х)х дг = ~ + 2 2 э в соответствии с обшими положениями термодинамики связана с изменением свободной энерпэн системм ЬВ'(Г) = г3(В(1) — ВВ л(1)), откуда, полагая, что параметр й не зависит то температуры В (так же, как и т), и учитывая, что в соответствии со сделанным выбором момента г = 0 83.
Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 277 Задача 37. Определить, как изменится энтропия комнаты, если привязанный к ее полу воздушный шарик оторвался и поднялся к потолку (рис. 185). Всю систему считать изолированной, барометрическим распределением плотности воздуха пренебречы объем комнаты считать значительно большим объема шарика )г, плотности воздуха и водорода заданы (весом оболочки пренебречь), шарик после отрыва поднимается на высоту й. Решение. Подъемная архимедова сила г = (Р а — Риг)КУ = ОРЛУ в данном случае является внешней силой.
Так квк в конечном состоянии 2 шарик также покоится, то работа этой силы Рис.185. Схема условия равная изменению потенциальной энергии шарика прн его подь- задачи Зз еме на высоту й, целиком уходит на преололенис сил трения, т.е. превращается в тепло, которое передастся газу комнаты, играющему роль термостата (7„' „Ъ У; Е ш совы). Поэтому для изменения энтропии газа комнаты имеем гзэг = а(~аута)т = гзсзт = гзркуд. У газа шарика термодинамические характеристики (температура, объем и т.д.) не меняются, атак как ЬЯ = О, тоне изменяется него энтропия, ЬЯ = О нлн о = сошп Зв счет изменения потенциальной энергии шарика произойдет в соответствии с первым началом термодинамики только изменение его внутренней энергии, А,=А;-ДреУЛ. В идейном отношении зтн результаты, разумеется, полностью соответствуют результатам более сложной предылушей задачи.
ш Задача ЗВ. Считая, в отличие от условия задачи Зб, что рассматриваемая в этом разделе система сама является изолированной, определить, как изменяется ее температура д(1) = де + 239(1), энтропия и внутренняя энергия, если, как и в задаче Зб, считать, что реакция системы на внешнее териодинамическое возмущение стала стационарной. Теплоемкость С (при всех фиксированных термодинамических параметрах, кроне х) считается заданной и в рассматриваемом диапазоне температуры не зависящей от ее величины. Решение. Как н в задаче 16, начало отсчета времени 1 выберем нз соображений удобства так, чтобы г(С)=ресоз(ПГ+Р), х(1)=Асов(Пес). Обозначая 2 — го Х (Йо)йч = т7А Йь = ш, имеем для энергии, теряемой на преодоление сил трения за время Г н переходящей в тепло ЬС)(Г), которое, в отличие от задачи 36, уже термостату нс передается, /' ...
г' яп (2йвс) Х ~~()= 7 ь'М)"= ~ — ) =~7() о Так как в случае С = сопя это тепло Ья(1) = СЬа(1), то лля изменения температуры системы имеем ш У 2 яп(Пес)1 зла(с) =в(г) — в, = — (с— С 1 2йа 278 Зодочо и дополноглельные вопросы к алове 4 С другой стороны, согласно второму началу термоди- намики дд= ыю =) в(У') ввод(Р) =) (во+ ад(У))дтл(б) вс'.
о о Дифференцируя по верхнему пределу, получаем лля скорости возрастания термодинамической энтропии ш 2 зги (йот) ш г' згп(2йос)) С 2й ж 2ж йос Интегрируя по времени, получаем отсюда для изме- нения самой энтропии аог Г,, 1 ш Г жп(2йоз) Ц ЬБ(т)=~'Б(1)ВВ=С1п~1+ — (1- ' ) ~. Сдо ~ 2йо ) о Для внутренней энергии получаем ответ, отличаю- щийся от результата задачи 36 только членом, свв- занным с изменением температуры (величины й и по считаются константами), 4(1) = г( + стад(1) + — + — = тйзх т(й) *=о 2 2 .*=о 51п (2йот) ~ опуо (11о+ й') ( 2й / (йз йз)2+Ц зйз йо 1+ з, соз(2йос)). й + о йог Рис. 166.
Эволюция изолированной си- стемы, находящейся под воздействием гармонической силы, в режиме стацио- нарных колебаний При сравнении результатов задачи 36 и 38 мы видим (см. рис. 184 и 186), что отказ от условия д = сопя требует дополнительных сведений о самой системе, в частности необхолимо задание каяорического уравнения состояния С = С(д). Мы выбрали здесь простейшую возможность С = сопи для упрощения результатов. Если бы в задаче 36 термостат был конечным по отношению к той системе, на которую действует вынуждающая сила Р(т), то лля решения поставленной задачи необходимо было бы задать также и его калорические характеристики, б) Релансационный процесс в системе с одной резонансной частотой Задача 39.
Полагая, что в момент 1 = О постоянная внешняя сила Р, поддерживавшая при 1 ( О постоянное значение отклонения от нуля величины х(1) = хо, выключается, определить, как меняется при Ф > О состояние системы, рассматриваемой в данном цикле задач (сн. задачу 31 и далее), и ее термодинамические характеристики в случае йз > тз (колебательный режим). Теплоемкость системы считать не зависящей от температуры системы.
Решение. Уравнение движения для х(1) при г > 0 в данном случае (см, задачу 31) имеет внд х+ 2Тх+ й'х = О, х(0) = хо, х(0) = О. 5 3. Частотные характеростокц системы с одной резонансной частотой 279 Обозначая 7 м =+з/Й -7з, 51пр =, соз!ю= —, й' й* имеем известное решение этой частной задачи теории колебаний х(!) = -хю — е ' мп (ы!). йз ы х(!) =໠— е ' соа(ы! — !ю), -« М/ Работа силы трения (диссипация энергии) за время ! равна уйз ' ( )з~ й'*' йз ' хз ЬВ;(!)=/пз ° 27х ха!= — /т4( + )= 2 ? з' 2 2 2 Подставляя выражения лля *(!) и й(!), имеем окончательно Ьюг (!) = — ~1 — е — (! — — мп (?ы! — Р))1 .
тхюзйг Г «йз ~ й Зта энергия целиком преврашается в тепло, зз»г,„(!) = Ьг2(!); а так как система сама работы не производит, то согласно первому началу термодинамики эта же величина совпадает с изменением внутренней энергии й'хз тйтх' пзх' ю 2 2 2 С другой стороны, зная теплоемкость системы (у нас С = сопв!), можно сразу опрелелить и изменение ее температуры, так как гзСЗ = Сгзд(!), В(!) = Вю+ Ьд(!) х Вю+ — ЬИ', (!).
! С Согласно торому началу термодинамики В!2 = В г!Ятд, и поэтому аС)(!) = ~(де + дд(!))йд(!) а!' = / т. 27(х)' а!', откуда, дифференцируя по верхнему пределу, сразу получаем для скорости роста термодина- мической энтропии системы 27йю пюхю ' г ' е '5!и (ы!) Вю ( ! + — ~! — е з« вЂ”, ( ! — — яп (2ы! — Р) ) ~ ~ Интегрируя по г, получаем (см. аналогичную операцию в задаче 38) двя энтропии системы сздтд =С!и ~!+ —, ~! — е —,(! — — зт(?ы! — !ю))~~. 2Сдю ~ ыз г, й Все полученные результаты графически прелставлены на рис.
?37. Представляет особый интерес частный случай, когда ' пзхз йз св >в 2 Мело не только атом, что в этом случае процесс становится изотермическим, д(!) ы Вю = сапы, и теплоемкость системы С выпадает из рассмотрения, а главным образом в том, что этот случай соответствует всему нашему подходу, исходяшему из «малых» отклонений от состояния 280 Задачи и дополнительные вопросы к алове 4 равновесия, т.е. основывающемуся на низших членах разаожения по степеням х(2). В этом случае имеем '1д=веЬсг = — ~1-е — ~) — — з!п(2ые — р))~, гпхзО2 ( ()2~ 2 ~ из~ или, возвращаясь к величинам х(С) и й(С), щ()зхез тС)зхз гп(х)2 С2о = — ' — — — —, 2 2 2 Эта формула соответствует разложению отклонения энтропии от равновесного значения по степеням самого отклонения и его производной Я(С, а, х) ю Я(0) — — Ах — — )гй . 2 ~ 2 2 2 Таким образом, мы в явном виде получили не только член хз, но н токовый член х ° 2 с коэффициентами А = щй н р = щ, причем если в каазистатической теории токовый член -й(с) Я(0) Я(с) -Я(0) Рис.
1ВУ. Релаксация карактеристнк снстеим после снятия постоянного возмущения а слу- чае й' ) 7~ (колебательная релаксация) Рис. 1ВВ. Релаксация характеристик снпе- иы после снятия постоянного еозиущення е случае Й ( 7 0 л Я(2) 0 (у+к) у (у-т) 0 Я(е)- 2 2 С 5 3. Чосаотние корокшерисглики спалены с овнов резонансной чосшошой 281 отбрасывается, то туг он дает вклад гн(х) гнй хз — = — е гг — з1п ( /йг-7гг) 2 2 йг 7г имеющий тот же порядок, что н первый член тй'х~/2, так как йг/(й — уг) > 1. Отметим, что, несмотря на колебательны й харакюр релакса ц нонн ого процесса, энтропия системы о(1) меняется только в сторону возрастания, Я > 0 (т. е. энтропня не имеет чннерцниз, чтобы самой заколебаться).
Эта же ситуацня наблюдалась н в стационарных задачах. Интересно в связи с этим вспомнить замечание, саеланное к задаче 30. Если полученную выше формулу для гзя, пользуясь очевидным соотношеннем ы~ ю йг — 7г, записать в виде 138= — ~х + — (В) ), йг / ы +7 то получим в точностн то вырывание„которое ввели (чнсто эврнстнческн) в задаче 30 лля моделя восприимчивости у(1) = 2я7е тг соз(й1), исхода из требования Я > 0 (в залаче 30 буква й использована вместо нрннятой в данном разделе ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
