Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ь Задача еО. Рассмотреть поставленные в условии предыдущей задачи вопросы в пред- положении йг < уг (ангарнонический режим), решение. Обозначая и = ~у~ — йг (заметим сразу, что и < 7), имеем й' х(1) = хее г ( сй (нг) + — зй (иг), В(1) = -хзе тг — зй (и1). и / и Поэтому для днсснпацнн энергии за время (О, 1) получаем ! тйг. ' шйгхг т(В)г гХИ',з(1) = / 2пг7(х) Вг = — — — — — = 2 2 2 а — 1+ е т — ! — — с)г (2иг) — — зй (2иг)) ~. шйхе( -гый г 7 Р7 2 ~ из 1, йг йг Для температуры системы, как и в предыдущей задаче, имеем 1 В(1) = В, + — АИгм(1). Аналогично для скорости образования энтропии н для нее самой получаем шхо —, е зй (И) г27й в З„(1) = В,(1+ — Дгр (1)) св~ лЯтд(1) ю /г стл(1 ) Вг С 1и ( 1 + г31игз(1) ) Св е н наконец, в приближения гйг св > —, о 2 как н в предыдущей задаче, имеем Вогззтл = гзВ = гзгго(1) 282 Задачи и дополношельныв вопросы л главе 4 В отличие от залвчн 39 (ср.
рнс. 1В7 н рнс. 1ВВ) здесь реакпня системы н поведение ее терыолннвмнческих характеристик носит явно внгврыоннческнй характер. Если сравнить вклады в гвя(х, х) от традиционного члена --, Ах н токового члена -- ра, то в случае 2 ° 2 сильной внгврмоннчностн, когда 7' Ъ й~ (нвпоынны, что Й ге О), токовый член оказывается в Й /(7' — Й ) гд (Й/7)' рвз меньшим первого, н ны можно пренебречь, перейдя таким образом к квазнствтическому варианту теории.
Ь в) Некоторые итоги рассмотрения системы типа гармонического осциллятора с затуханием (задачи 31-40) 1) Несмотря на предположение о существовании у функции Л(ог) только одной пары полюсов (или, что то же, одной резонансной частоты), исследуемая модельная 'система оказалась вполне «физической», и отдельные моменты ее рассмотрения допускали наглядную интерпретацию.
2) Полученная формула для динамической восприимчивости Л(ы) удовлетворяет всем общим требованиям, включая принцип причинности, однако она не обобщается на случай мгновенной (по времени д(1)-образной) реакции системы на воздействие х (с). 3) Рост энтропии в замкнутой системе связывается с тем теплом, которое выделяется в системе вследствие имеющегося в системе «тренив», Микроскопический механизм этого процесса в феноменологической теории не вскрывается. Это тепло может передаваться термостату (тогда д,„= сопи), может идти на иагревание самой системы (дгд(С) ~ 0).
4) Рассмотренная модель достаточно убедительно показывает, что исходное выражение (см. В1) для квазистатического отклонения энтропии «за = -~тат в случае, когда в системе возможны колебательные процессы, явно недостаточно: зта величина определяется не только заданием «координат» С, но и значениями соответствующих нм токов,у = С, ы = -- л(' — — /ьг, г 2 2 причем для величин Л и р были получены выражения, связывающие их с параметрами, характеризующими собственную частоту Й и свойство инерции (анвлог массы гп) отклонения данного типа. В рамках феноменологического подхода, однако, не ясно, как обобщить весь формализм, предложенный в В 1, на случай, когда тли зависит не только от с, но также и от .Г.
«Опадывание» цугей такого обобщения на полуфеноменологическом уровне вряд ли целесообразно, так как имеется вполне естественный и технически разработанный выход, основанный на использовании микроскопической теории, в частности, метода двухвременных статистических функций Грина, непосредственно связанных с соответствующими обобщенными восприимчивостями Л(ы). Глава 5 Кинетические уравнения в статистической механике Микроскопическая теория неравновесных статистических систем является одним из самых сложных разделов теоретической и математической физики. Даже если оставить в стороне прикладные проблемы (как всегда многочисленные и переполненные техническими трудностями), все равно в этой теории останется целый ряд до сих пор не до конца выясненных вопросов теоретического плана и не полностью доказанных положений. История кинетической теории началась более ста лет назад, когда Людвиг Больцман написал свое знаменитое кинетическое уравнение и получил с его помощью некоторые общие следствия, касающиеся эволюции системы в целом.
Это уравнение явилось не только первым кинетическим уравнением, оно и по сей лень остается одним из самых сложных в математическом отношении уравнений кинетической теории. Свой физический анализ молекулярно-кинетических явлений и идеи теоретического подхода к их исследованию Больцман обобщил в монографии Лекции по теории газов» (1896), которая до снх пор не потеряла своей научной значимости. Эти идеи не были восприняты современниками, даже больше, встретили непонимание (поэтому Больцман, сознавая свое «бессилие пред лицом мнения, разделяемого большинством», и относился к упомянутой монографии, по существу, как к своему научному завещанию).
Дело даже не в том, что во второй половине прошлого века развитие молекулярно-кинетических представлений в кругах «официальной физики» считалось бесплодным и почти ненаучным занятием, просто, как показала история, высказанные Больцманом идеи кинетической теории значительно опередили свое время. Напомним, что второй крупнейший шаг в становлении статистической физики как науки — формулировка всей равновесной статистической механики Джосайей П«ббсом — произошел только в начале ХХ в., т.
е. почти 30 лет после основополагающих работ Больцмана по кинетической теории. Третьим этапным моментом становления современной статистической механики, который пришелся уже на середину ХХ в., явились работы академика Н. Н. Боголюбова (в частности, его непревзойденная по емкости работа «Проблемы динамической теории в статистической физике», 1946), который поднял статистическую теорию на совсем иной уровень, соединив высокую математическую технику проводимых исследований с последовательной физической идеологией.
Все последующее развитие статистической механики неравновесных систем основывается на идеях Боголюбова (в тех или иных модификациях) как в классической области, так и при исследовании квантовых статистических систем. В связи со сказанным выше становятся понятными те трудности, которые встают перед нами в данной главе. И дело здесь даже не только в богатой истории.
С одной стороны, хочется сохранить обязательную для учебного курса логику идей, с другой — не перегружать изложение математическими «сложностями», за которыми 284 Глава 5. Кннетяческне уравнения а статистячаской механике могут полностью скрыться те даже не всегда очень сложные физические представления, которые используются в каком-либо конкретном исследовании.
Поэтому мы отберем только самые доступные (а потому и достаточно распространенные) методы и задачи кинетической теории, ограничимся рассмотрением только низших приближений и в некоторых (немногих) случаях качественными пояснениями заменим математические расчеты. Исходным уровнем принимаемого нами динамического подхода к кинетической теории является механика с ее законами движения (этому будет посвящен э 1 настоящей главы). Затем, используя идеи Боголюбова об иерархии релаксационных процессов в системах многих тел, мы перейдем к более грубому описанию системы в кинетической (а затем и гидродинамической) шкале времени.
Идея последовательного огрубления шкалы времени нам уже знакома, она оправдала себя при рассмотрении брауновского движения в гл. 2. Однако следует сразу оговориться, что теперь речь будет идти о совсем других временных и пространственных масштабах: они будут характеризовать не особенности брауновского движения, а ту «среду», которая в гл. 2 окружала крупную брауновскую частицу, воздейспювала на нее случайным образом, но сама при этом считалась уже равновесной. При этом для характеристики молекулярной среды нам нужно было знать о ней до чрезвычайности мало: помимо ее температуры только коэффициент вязкости и, т. е.
характеристику, возникающую на послелнем, гидродинамическом этапе ее эволюции как самостоятельной системы. Мы же в этой главе будем рассматривать и более ранние этапы ее эволюции. Наконец, рассматривая кинетику статистической системы, мы ограничимся в основном исследованием классического случая. Во-первых, это технически менее сложно, чем рассмотрение общего квантового случая; во-вторых, все системы типа жидкости или газа из молекул являются практически невырожденными, и классический подход является для них хорошим приближением (исключенне в этом смысле составляют такие физические системы, как жидкий Не-П, — единственная существенно квантовая бозе-система из частиц, и электронный газ в металлах, некоторые проблемы для которого нам все же удастся рассмотреть); и, в-третьих, классические системы лостаточно «наглядны*, что тоже немаловажно (особенно если это касается учебного курса).
5 1. Микроскопическое состояние системы и его эвояюция а) Общий случай ОбРатимся сначала к обшей схеме квантовой механики. Согласно принятым представлениям микроскопическое состояние й считается заданным, если задана соответствующая ему волновая функция Фк(х, 1) Рапи наглядности будем полагать, что в случае системы йГ тел условный аргумент волновой функции Фк представляет собой совокупность координат гп..., гн (или импульсов рн..., рн) и спиновых индексов гг,,..., пн (если частицы, составляющие систему, имеют спин, не равный нулю). Введем систему ««'-частичных базисных функций (Ф„(х)) и представим волновую функцию а-го состояния системы в виде разложения Фк(х, г) = ~~, Фь(п, г) «з (э). « Совокупность .коэффициентов разложения Фь(8) = (Фк(п,г)) определяет вектор с компонентами Фк(п, 1) в бесконечном гильбертовом пространстве, характеризую- э" ) .
Микроскопическое сос(ловкие системы 285 ший данное й-е состояние системы. Способ фиксации микроскопического состояния системы с помощью волновой функции (или, что то же, вектора состояния) называют заланием состояния как «чистого» квантовомеханического состояния. Среднее значение какой-либо динамической величины Р, которое сопоставляется с наблюдаемым значением величины Р в случае, когда система находится в заданном состоянии я, выражается как квантовомеханическое среднее (й)Р!Ф) ьв (Фь. РФ«) = ~~) Ф«(х, Г)РФ«(х, 3) = ~~) Ф«(п,$)Фь(п',()(п)Р)п), (*) ««' где матрица (п'!Р!п? ьв (Ф,', Ру).) = ~~ ,'Ф'(х)РР,(х) («) определяет оператор Р в п-представлении.
Эволюция системы (т.е. эволюция волновой функции, описывающей состояние системы) определяется уравнением Шредингера (Е. Зспгбб(пйег, Г926), которое по отношению к вектору состояния Ф«(с) можно записать вместе с его формальным решением как й д --, — Ф„(с) = ЙФ,(г); «дг Ф«(й) = ехр — - Й«Фз(0) й где Й вЂ” оператор Гамильтона системы.
Эта запись условна, но для наших целей она весьма удобна. По отношению к компонентам векгора Фк($) это «одно«уравнение превращается в бесконечную систему линейных уравнений й д --, — Фь(п, $) = ~~~ (п!Н~п')Фз(п', Ф). ( И «' Введем теперь дяя описания того же чистого состояния )«системы оператор рь, определяя его с помощью матричного представления (п)рь(п ) — Фь(п, й)Фз(п, с). Каждый элемент этой в общем случае бесконечной квадратной (если «квадрат» вообще может быть «бесконечным«) матрицы можно представить как результат умножения п-го элемента столбца из компонент Фь(г) = (Ф«(п", $)) на п'-й элемент строки Фь+(с) = (Ф'„(п", ()), а сам оператор можно представить в виде своеобразного «прямого» произведения вектора Ф«(Г) на эрмитово ему сопряженный Ф+(8): р«(«) = Фк(«) 8 К(«), Тогда в соответствии с формальным решением уравнения Шредингера лля Фе(г), эволюция оператора р«(1) булет определяться соотношением р«(() = ехр — -НГ~ФЩ чэФ~з(0) ехр ~ - НГ) = ехр ~ — - НЬ) р«(0) ехр ((-НФ7, откуда сразу (достаточно продифференцировать рз(Г) по времени) следует и уравне- ние движения, замкнутое относительно оператора рь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
