Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Во-вторых, в силу уравнений лвижения в форме уравнений 1амильтона б3т -мерная дивергенпия «скорости» ф равна нулю. 291 р 1, Мокросколнческое соспзоякие состемы Сделаем по поводу полученных выше результатов несколько общих замечаний. а) Полученное уравнение является следствием уравнений движения классической механики, и эволюцию системы ЛГ тел оно описывает хотя и с помощью функции распределения то(о, р,1), но тоже в понимании механического движения.
Если бы мы захотели решать его стандартным методом, то сначала необходимо было бы решить 6Ф уравнений для характеристик: коэффициент при дто/др; приравнять — р;, при дто/дгз соответственно -г, (при этом, как нетрудно заметить, мы вновь вернулись бы к системе уравнений Гамильтона), затем выразить все 6Ф констант, возникающих при интегрировании этих уравнений, через 9, р и 1, с; = с,(т,р,1) и составить произвольную функцию этих комбинаций.
Это и будет решением уравнения Л нувнлля: т (Ч,р,1) = (сЫр,1)."' ьлй,р.1)). Для полного определения функции тл необходимо располагать еще дополнительными сведениями о ней (например, в задаче с начальными условиями эту функцию 6Ф аргументов можно задать в некоторый момент времени 1о, см. задачу 1). Конечно, для физически интересных случаев это фантастически сложная задача (в разделе задач мы рассмотрим всю эту процедуру на примере олномерной системы нз невзаимодействующих друг с другом частиц).
Но нам такое общее решение, включающее сведения о траекториях (в обычном пространстве) каждой из гтг частиц системы (напомним, что ЛГ ° 1Озз), и не требуется — это слишком большая информация о системе, которую необходимо еше как-то доработать (усреднить, «сгладнть» и т. п.), чтобы довести до уровня, позволяющего сопоставлять теоретические выводы с экспериментом. б) Помимо технических трудностей выявляется еше и общая проблема, касающаяся описания системы с помощью функции то(д, р,1). Мы показали, что вдоль траектории движения точки в фазовом пространстве в(о, р,1) = О, и плотность функции распределения является константой, то(х(1, хо), 1) = то(хп„О) = сопвс, и наша «программа» описывать эволюцию статистической системы со всеми характерными дпя нее релаксационными процессами с помощью функции то(д, р, 1) как бы повисает в воздухе.
И здесь, как и в главах 2 и 3, существенным моментом вновь оказывается огрубление чисто механического рассмотрения системы. Эту процедуру можно представить в разных вариантах. Мы остановимся здесь только на одном примере, в котором это огрубление предстает наиболее наглядно. Ьр О Ьо д О Ьд Ч Рис,191. Схема рвзмеаиввнил в фазовом пространстве области й1» с течением времени 292 П)ава 5. Кинеяшчесяце уравнения в пяяягосгличесной нечанихе Пусть в момент времени гч — — 0 функция «я(9,р,б) всюду была равна нулю, кроме области Я)„в которой она имела постоянное значение гяе = 1/г (на рис. 191 эта плотность обозначена равномерной штриховкой). Выберем некоторый элемент фазового пространства Ьх = (зр(зд, для определенности нахадяшнйся внутри Я)» (можно и вне), и будем интересоваться, как меняется вероятность х)5'(1) обнаружить систему в данном Ья с течением времени, ()))г(0~ )'.)а) =»ячЬргзд, ЬЩС ~ (зх) = ййдрги(9,р,г).
(д») С течением времени область Ф» деформируется, происходит своеобразное разчеии- еание области в фазовом пространстве и, несмотря на то, что плотность»я-жидкости в ней все время остается постоянной и равной»ас, количество этой «жидкости» в ЬрЬ9 меняется (на рис. 191 уменьшается). Этот процесс можно описать с помо- шью отрубленной функции распределения гс (часто не вполне удачно называемой «крупнозернистой»): (5,1»'(1 )»»х) = (я(я, р, 1 ! Ья) 1»риф Эта функция будет описывать эволюцию смешанного состояния уже не по механическим законам (не в «механической шкале»), производная по времени от нее, указывающая скорость изменения количества гя-жидкости в данном фиксированном Ьр(»9, в общем случае уже не равна нулю: Г б (й,рг) 1 Г Ф= — ~у й '' = — /у (и,), (),Рй)9,)' 01 сЬ / (да де) (Ь») информация о деталях движения внутри Ья вообще теряется и т.д., но в этом огрубленном описании появляется возможность рассматривать релаксационные процессы.
Например, если движение системы в фазовом пространстве финитно, скажем, ограничено некоторой областью Ф с обьемом Р, изображенной на рис. 191 пунктиром (это вполне реалистическое предположение, так как изменение всех г; ограничено 3-мерным сосудом, в который помешена система, а область р; ограничена заданием обшей ее энергии »)„и процесс размешивания будет все время продолжаться, то будет существовать и предельное значение отрубленной плотности вероятности й(йр,г!х1 Н, „-= чч г' (несмотря на то, что плотность первоначальной и-жидкости все время остается постоянной и равной «ие). Естественно, что от высказанной выше «идеи» до конструктивного подхода еше очень далеко.
Возникает рда вопросов: всегда ли происходит размешивание гя-жидкости и распространяется ли оно на всю область Ф или только на ее часть; как выбрать масштаб огрубления Ья, имеются ли какие-либо динамические причины для этого, заложенные в самой системе, или огрубление навязывается извне с помошью «наблюдателя» с его макроскопическими приборами; как связано это огрубление с переходом к описанию по более грубой шкале времени, с динамическим принципом ослабления корреляции и т.д, Эти вопросы в какой-то мере остаются дискуссионными, они далеко выходят за рамки нашего курса, и мы ограничимся только сделанными выше замечаниями. Небольшая модельная задача (достаточно примитивная с физической точки зрения), посвященная проблеме размешивания, приведена с иллюстративной целью в разделе задач (задача 4).
293 5 2. 06«гая одру«гяура «инетичесного уравнения в) Сделанные выше замечания в идейном отношении не чувствительны к тому, по классическим или квантовым законам совершается механическое движение системы. Мы проиллюстрировали их применительно к классическим системам, так как это оказалось достаточно наглядным и не потребовало использования дополнительных и не всегла простых математических методов квантовой теории. 5 2.
Общая структура кинетического уравнения для одночастичной функции распределения Рассмотрим для простоты однокомпонентную классическую систему частиц с парным взаимодействием их друг с другом: у рз 1~~~(д).~ ~, м — гь !<~дн 2тп 1<1<зал С помощью введенной в предыдущем параграфе йГ-частичной функции распределения г«н(с, р, 1) можно, произведя соответствующие свертки, построить частные распределения по переменным только одной, только двух и т.
д. частиц, которые в системе одинаковых частиц, когда конкретный индекс частицы у оставшегося аргумента становится уже несущественным, приобретают смысл функций распрелелення (корреляционных функций), аналогичных тем равновесным одно-, двухи т.д. частичным функциям распределения, которыми мы пользовались в главе 1, $1. В этом параграфе рассмотрим только первую из этих функций, определив ее так, чтобы она была нормирована не на единицу, а на полное число частиц: Р(йгмр~) =Ф вндгз...вгнйрз...урн, Р($,г,р)дгдр=Ф.
Тогда величина Р(йг, р) Игор имеет смысл среднего числа частиц, находящихся в 6-мерном объемчнке (г, г+ дг; р, р+ др) в момент времени г (если бы функция Р(С г;, р ) была нормирована на единицу, то такая же комбинация определяла бы вероятность обнаружить только одну 1-ю частицу в дг Ир в момент т).
С функцией Р(С г, р) связан целый ряд физических характеристик системы, прежде всего локальная плотность числа частиц п(С г) = Р(1, г, р) вр, а также средние типа гг, ) Ф(,в1=) М,ФЮ,,«ВДУВ, .ИФ из которых мы отметим локальные величины средней скорости упорядоченного движения частиц в(йг), потока энергии й(1, г) и локальную температуру р(С г) определяемые с помощью соотношений в(кг) ° п((,г) = à — Р(г,г,р) вр, Гр а(е,г) п(1,г) =! — — Р(1,г,р) др, lр р' / пз2ш — й(г,г).п(г,т) = — ( 1 — — в(1,г)) Р(г,г,р)др.
2 ' ' 2 /1тд 294 Глава 5. Клиеяточескяе уроакекоя в пполщппцческоб механике Интерес к этим величинам не случаен; они входят в уравнения гндродинамики, которые уже на макроскопнческом уровне управляют динамикой системы типа газа. Таким образом, уже одночастичная функция Р(г,г,р) содержит достаточно важную информацию о системе (позволяет даже перейти к макроскопическому ее описанию), но, конечно, не всю, которую бы хотелось. Например, для определения величин типа внутренней энергии (а также полной величины потока й) или локального значения удельной свободной энергии необходимо знать среднее от части гамильтониана Ны а для этого надо иметь в распоряжении уже двухчастичную неравновесную функцию Рт(т, г), Рп гг Рг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
