Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Перенеся этот член в левую часть, получим И',(1, г, р) р Щ Э(!Г+ й(1, г)) дг, + — О. д! пг дг дг д!» Это и есть кинетическое уравнение в приближении самосогласованного поля, по- лученное и исследованное А.А. Власовым в 1938 г. Сделаем несколько замечаний по поводу этого важного во всей кинетической теории результата.
1. Уравнение условно. Оно, по существу, представляет лишь идею. На са- мом леле олнокомпонентных электрически нейтральных систем заряженных частиц нс бывает, должно быть как минимум два сорта ионов, а, значит, не одно, а система уравнений Власова. С этой многокомпонентностью связаны характерные эффекты, один из которых мы обсудим в задаче 35. 2. Уравнение написано относительно функции распределения г1. Отклонения ее значений в локальных областях системы от равномерного распределения приводит к возникновению движущихся объемных зарядов, возникают поля Е и Н, в связи с чем в кинетическую теорию органически включаются уравнения Максвелла (част- ный пример такого рода см, в задаче 32) и резко расширяется круг рассматриваемых физических залач (магнитогидродинамические эффекты в плазме).
ЗО3 б 5, Кинетическое уравнение Власова 3. Уравнение Власова в чистом виде не учитывает эффекты ст)злкновения ионов друг с другом, поэтому называется иногда уравнением для «бесстолкновительной» плазмы, Оно обратимо во времени (замена 1 -+ — г и р — — р не меняет его), но подобная ситуация в теоретической физике не является исключением: уравнения Максвелла тоже обратимы, но не исключают запаздываюших, опережающих и комбинированных решений. Так и здесь существуют различного типа решения, причем для выбора физически осмысленного решения удобно будет хотя бы чисто символически включить бесконечно слабый релаксационный механизм, нарушающий эту симметрию по времени. Мы сделаем это на примере частной залачи в и, б).
4. Уравнение Власова — это уравнение нулевого приближения. Система уравнений для Р~ и корреляционной части бм обеспечивающая первый порядок по параметру и/го, приведена в задаче 30. Это очень сложные уравнения. И дело не только в математических трудностях. Всякое улучшение уравнения Власова, связанное с учетом столкновений ионов, — это в физическом смысле обьединение двух противоположных тенденций, дальнсдействия (кулоновское взаимодействие)' и близкодействия (столкновение твердых сфер), характеризующихся противоположными по отношению друг к другу «малыми» параметрами. Даже чистый кулоновский потенциал при этих улучшениях не всегда является удобной моделью, и, чтобы придать тем или иным выражениям разумное значение, его приходится модифицировать, обрезать (см. залачу 44) и т.д.
5. Уравнение Власова и без поправок достаточно сложное нелинейное интегральное уравнение. Решить его в общем случае не удается. В и. б) и в) мы рассмотрим две частные залачи, уклалываюшиеся в схему линеаризованного уравнения и выявляющие два характерных для плазмы коллективных эффекта: плазменные колебания и свойство экранировки. б) Линеаризованное уравнение Власова и проблема собственных колебаний системы Чтобы сохранить однокомпонентную структуру уравнения Власова, использу- ем следующую модель: положительные ионы (очень тяжелые и малоподвижные по сравнению с электронами) будем считать не только неподвижными и равномерно распределенными, но и равномерно размазанными (модель «желе»), и на фоне этого положительного заряда двигаются электроны, газ которых будет считаться невырожденным.
Одночастичную функцию электронного газа г1 представим в виде Р~ ($, г, р) = Рр(г, р) + у(1, г, р), где Ро(г, р) — равновесная функция распределения (по р — максвелловское, по г— однородное распределение). Плотность положительного заряда фона можно фор- мально выразить через эту функцию Р = Рв =оп / моор»»еп. Поэтому величина электростатического потенциала поля, создаваемого положитель- ным фоном в точке г, будет равна -е2 ст(г) = и —, Ра(г, р ) Ир Иг, ,г ~г — г'| самосогласованный же потенциал, создаваемый в этой точке другими электронами, имеет вид ез О(ь,г) =и/ — К,(Ю,г',р')Вр'Вг'.
~г — г'! 304 Глава 5. Кинвнгичвсние уравнения в опатиопичвсной нвханикв Вводя напряженность действующего на электрон (заряд д = -е) электростатичес- кого поля Е(Ф, г) (вектор индукции), можем написать е2 — — (У + 27) = ( — е)Е (2, г) = — — п / (гч2(2, г', р') — РВ(г', р')) Й' йр'. дг дг !г — г'~ Сократим на -е, учтем Р, — Х~ = /, подействуем слева и справа операцией о2ч, учтем, что В2 г!!чйгаб = чу =— дг2 и что (хорошо знакомая задача о потенциале точечного единичного заряда) дг 1 — - — = -4я б(г — г), дг' !г — г') получаем для Е не что иное, как одно из уравнений Максвелла 42ч Е(2,г) = — 4теп / Я,г,р) бр. Предположим теперь, что система слабонеравновесна и для любого ! н г /(2, г, р) Рв(г, р) Тогда, производя линеаризацию уравнения Власова, сохраняя для градиента сум- марного потенциала введенное выше обозначение (заметим, что Е и / одинакового порядка малости) и переходя к переменной ч = р/т (мы„как и везде в подобных случаях, не будем вводить нового обозначения для функций от скоростей, полагая /(Ф,г ч) =т /(г,гр), 1ь(ч) = тзРв(р) ит д), получаемсистемууравненийдля / не д/(2, г, ч) В/ еЕ дР~ +ч — — — — =О, В! дг т д г)!чЕ = — 4тпе / /(2,г, ч) г2ч (опушен член второго порядка -(еЕ/т) ° (д//дч)), где Напомним еше раз о приближениях, которые привели нас к этому линейному уравнению: !) опустили парные корреляции (бесстолкновительное приближение); 2) положили / сс, Рр (слабонеравновесный случай); 3) ограничились электростатическим приближением (нерелятнвистское приближение).
Обрашает на себя внимание, что если приближения 2) и 3) имеют характер «технических» упрощений (которые можно изменить или вовсе не делать), то !)— зто потеря качества (см. и. 3 обсуждения в предьигушем разделе этого параграфа). Естественно. в этой схеме учитывать столкновения мы не собираемся, но нарушить 306 Глава 5. Кинептичесние уравнения в спгагпиапичесной неханике / ~ ° ( ) и, — (ы/й) — (зс/Гг) 7 и, — (ы/й) 2 тч й/ Ф(и,), т(ив = * ' гГив + — 2ят Ф Рис.
193. Расположение полюса подынтегральнод функции дисперсионнога уравнения Рис, 194. Пояснение к процедуре вы- деления интеграла в смысле главного значения Подставляя сюда в нашем случае функцию и, ~' пзи т 21 Ф(и,) = — — ехр й ( 2й)' получаем для дисперсионного уравнения 1 — г (й, ы) + тХ(гт, ы) = О, где воз беря производную по и, и обозначая 4пезп/пз = ьгез, получим дисперсионное уравнение для ы = ы(й) в виде Обратим внимание, что особенность подынтегральной функции (полюс в точке и, = ог/1с+ зе/гс) смещена в верхнюю полуплоскость и, на бесконечно малую величину (рис.
193), что позволяет сразу использовать для подынтегрального выражения известную символическую формулу 1 Р = — ~ тя б(я), е~(е я где Р— операция последующего взятия интеграла в смысле главного значения. Напомним, что это такое. Рассмотрим интеграл от той же функции по пути, изображенному на рис. 194 (он эквивалентен нашему), и разобьем этот путь (и соответственно интеграл) на два; по действительной оси и, с бесконечно малым перерывом около точки и, = ы/й (так называемый интеграл в смысле главного значения) и по бесконечно малой полуокружности, замыкающей этот перерыв.
Так как интеграл по полуокружности, проходимой против часовой стрелки, равен половине вычета подынтегральной функции в точке о, = оз/гг, умноженного как всегда на 2пз', то 307 Э 5. Конеогочесное уравненое Власова К сожалению, интеграл о(я,ы) не берется. Поэтому ограничимся рассмотрением частного (но важного) случая малых я (т.е. длинных волн, так как В = 2я/Л). Представим подынтегральную функцию (без максвелловской экспоненты) в виде о, 1 О« 3 О« 4 О« 5 4 5 6 — В+ — й+ — В Ю4 ог5 446 О«, ' 1 — — В М о«9« г +— „,г з В+ — В + О« мз Это не разложение в ряд Тейлора, а точная формула, с помощью которой мы получим для о(й, ог) лиШь первые члены асимптотического разложения по Й (целиком интеграл Х(14, ы) в виде бесконечного степенного ряда по /4 не выражается — довольно распространенная в задачах статистической физики ситуация).
Это «разложение* надо усреднить по максвелловскому распределению. Имеем вг о« т' т т' е« = о, = о, = О, — — 5 — 0 и уравнение для ы(14) приобретает вид 1 6 1 1 + В + 4 В 1 + 5 1 ( В ы ) О ыо Г ЗВ г гп 41 о г ~ г В4 11 (В/)„ (Й вЂ”;7)г Йг Йг ' Й и сохраним только главные члены в действительной и мнимой частях уравнения (при этом 1(й, Й вЂ” 57) й 1(14, Й)): 1 — — 1 1 + — В +.../1 — 5 — — (1 +...) + 11(й, Й) + .
= О. ыо / ЗВ, ~,ого 27 Йг1, Й "'/ Й Й В длинноволновом приближении, когла Вг « пинг/В, можно сохранить в круглых скобках второго слагаемого только первые два (или даже только первое) слагаемые, опустив поправки порядка й« и выше, включая и непредставимые в виде разложения по степеням йг. Уравнение становится уже приближенным. Приступая к решению этого трансцендентного уравнения относительно ьг(гг), сразу замечаем, что в силу 1(ьчаз) Ф 0 оно не имеет действительных решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
