Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Подобная ситуация встречается довольно часто в теории колебаний и в квантовой механике и послужила основой лля введения представления о квазистационарных уровнях. Полагая ы = Й вЂ” 57 (при этом колебания е+г ' приобретают характер уже затухающих, е '"' "), попробуем найти решения для частоты колебаний Й и их затухания 7 в случае 7/Й « 1, когда в системе действительно реализуется колебательный процесс. С формальной точки зрения введение частоты ы = Й вЂ” 4'У означает ее аналитическое продолжение на комплексную плоскостыи, но при этом необходимо сохранить выбранный нами выше способ обхода полюса о, = ы/В снизу, сохраняя тем самым и выбор типа дисперсионного уравнения.
Откладывая более подробный анализ этого уравнения до задачи 38, найдем его корень ы = Й вЂ” 57, соответствуюший случаю 7 « Й, положим 308 Глава 5. Кинетические уравнения а статистической механике Приравнивая нулю действительную часть, имеем 1+ з Го +"' откуда„извлекая из обеих частей 'квадратмый корень и произведя итерацию по решению в нулевом приближении Й1л о = иго, получаем в первом приближении 3 В йз Й=мг 1+-.— —,+" 2 т игоз Таким образом, в мулевом прмближении по йз частота собственных колебаний плаз- а ° «и — «От'Г, ~,ь ° Р г прибавляется слабый квадратичный члем (А, А.
Власов, 1938). Заметим (рис. 195), что групповая скорость плазменных волн и, = дй/дй Я при й — О обращается в нуль (что-то вроде стоя- чих колебамий), а фазовая' ие„= Й/Гс расходится ! (н, ве„= 3В). Чтобы рассчитать затухание т в самом грубом приближении, подставим вмнимуючастьдисперсионного уравнения решение для частоты в нулевом порядке, Й гд иго. Тогда иго 1 /Г™о пз ( пгг"о 1 4 3/з 2 О и 2У 2 йз Взlз ( 2И'В~' У = — 1(й, гио) = — — .
— — ехр Рис. 1ЯБ. ГРафик зависимостей от Учитывая, что тиг~/В = н~ = 1/гз, получаем о — — и величины волнового вектора й собственной частоты Й/ыв и загуханил 1 /я игонз ( х' 1 т/игв плазменных колебаний П2' 1з 'Р~ 2йз~' Это известная формула Л.Д. Ландау (1946) лля затухамия плазменных колебаний. Условие т « Й, обеспечивающее корректность нашего рассмотрения при получении результатов для Й и т, как видно из рис.
195, выполняется только в области и ч. и = 1/тр или для волн, двина которых значительно превышает дебаевский РадиУс экРаниРованиЯ, Л ~ то. Остановимся на физической интерпретации полученных результатов. Плазменные колебания — это колебания плотности электронного газа — характерный для плазмы коллективный эффект, в образовании которого в качестве «упругой силы» фигурирует электростатическое поле Е. Ленгмюровский результат Й = иго можно получить и без уравнения Власова. Действительно, вылеляя в уравнении непрерывности (первое уравнение гидродинамики) р+ сйч рв = О первый порядок по отклонемиюот равновесия, р = ро+р,, ро — пзп, в = вг, Е = Ег, учитывая что в соответствии со вторым законом Ньютона (или уравнением Эйлера в гидродинамике) е Ри = Роиг = Ро — Ег, тп продифференцнровав по времени уравнение непрерывности, подставив туда и, и выражение для о1чЕг — — 4»рге/пз, получаем сразу 2 4»е и Рг+игоР1 = О, где иго = Я 5.
Кинетическое уровнение Власово ЗО9 с(«) = й о + а«'. Помимо этой коллективной ветви возбуждений в системе существует и движение отдельных частиц, и импульс «, сообшенный системе, мо- О о' д ч жет пойти на возбуждение какой-либо олной из них (нндивидуальное возбуждение): (р + «)з р' р« «з еле = — — = — + —. 2гп 2тп тп 2тп Хотя спектр энергий индивидуальных возбуждений для каждого значения «непрерывен, он может быть ограничен сверху максимальным значением импульса частицы Рш«» = Ро Рис. ьйб. Расположение плавленной ве- тви е(д) по отношению х области непре- рывного спектра возбуждений отдельных частиц Ф Ч Ро (Ерд)ша» п«р Ро + = Ч тп 2тп тп Если теперь выбрать некоторое значение д' (см. рис. 196), то получается следующая ситуация: ниже уровня (ро/пь)«' — непрерывный спектр, а над ним — дискретный уровень Ьь»о. По мере увеличения «» граница непрерывного спектра приближается к дискРетномУ УРовню йчио и пРи значении д» = «„м, опРеделЯемом как Ро 2 2 и»отзз 2 2 2 2 2 тп Ро дискретный уровень попадает в область непрерывного спектра и перестает сушествовать как таковой.
В соответствии с этой квантовомеханической идеологией возбуждение перестает сушествовать не в силу каких-либо динамических эффектов, взаимодействия одних видов движения с другими и т.д., а вследствие чистой квантовомеханической «кинематики*. Так было бы, если бы состояния системы характеризовались с помощью чистых механических состояний, такая ситуация реализуется Прн В = О, КОГда Граинца НЕПрсрЫВНОГО СПЕКтра рЕЗКая Н РΠ—— рн = Л(Зя~с»Г/Гг) ОЗ (см. т. 2, гл. 2, р 2-в)). Стоит только включить температуру (а у нас вообше высокие температуры, соответствуюшие невырожденному случаю), как положение сушественно изменяется: верхней границы непрерывного спектра нет, так как допустимы любые значения р (вплоть до +со), изолированный уровень всегда нахо~щтся Возникновение затухания Ландау обычно интерпретируется следуюшим образом: волна со скоростью (фазовой), превышающей скорость частицы, ь»/гт > и„ подгоняет ее и теряет при этом энергию, если же ги/Й ( и„то все наоборот, но в соответствии с максвелловским распределением частиц со скоростями, меньшими и»о/гт, больше, поэтому и получается, что э > О.
Объяснение не неверно, так как оно, по сушеству„пересказывает структуру интегрального члена в дисперснонном уравнении. Настораживает апелляция к взаимодействию электронов с коллективными колебаниями, такое взаимодействие в принципе сушествует, но в нашей модели оно нигде не учтено. Так что причина возникновения затухания Ландау носит скорее кинематический„более обший характер.
Рассмотрим сложившуюся ситуацию несколько подробнее, так как подобные ей встречаются и в других задачах статистической механики. Мы выяснили, что в системе существуют коллективные возбуждения, энергия кото- Ч рых е = Ой зависит от импульса д = йя следу- . 1»о»« юшнм образом (рис. 196): З(о Глава 5. Кинетические уравнения в опописязической неяонике 2 2 Д „=Л =Л вЂ” н, Л)»23гр, 2 2ыет 2 1 2 Зтй 3 что полностью согласуется с полученным ранее результатом. в) Статическое решение лииеаризованиого уравнения для системы в поле точечного заряда Пусть наша система находится в равновесном состоянии (ду/дс = О) в поле точечного заряда е(г) = де(г).
Введем эффективный потенциал Ф(г), градиент которого определяет величину век- тора Е(г) (напомним, что у нас это вектор индукции), е е дФ вЂ” — Е=— т т дг' О1» Е = -Ху'Ф, Тогда система линеаризованных уравнений Власова будет иметь вид (так как време- ни 8 здесь нет, нет надобности и в члене -су) дз е дФ дР0 » — + —. — — = О, '7 Ф(г) = -4квй(г)+4кеп у й». дг т дг д» Подставив в первое уравнение 222 и, записывая эти уравнения по отношению к фурье-компонентам Фя и Уя, Ф(г) = — ~ Фяез Ж, у(г,») = — уг ~я(»)е' Ж, 6(г) = — ~ е' зйс, (2а.)з / ' (2к)з / (2к)з / имеем т е з(» 1с)зя — ее(» 21с) — Фя — — О, Л Фя = 4зге — 4кен Зя с(», в или е 42гезн У» = — Р0Фя, Л'Фя = 4згд — — Фя ~1 Р0 й» В ' д в области непрерывного спектра, и соответствуюшее ему возбуждение обязательно разрушится.
Но, как указывалось в З1, состояние статистической системы характеризуется смешанным состоянием, вероятность каждого чистого состояния входит в равновесном (в нашем варианте) случае с гиббсовским весом, а так как вероятность состояния частицы с большим значением импульса пропорциональна -3 2мг максвелловской экспоненте е г ~12»'01, то вероятность указанного процесса распада будет пропорциональна той же экспоненте (отсюда и экспонента в формуле Ландау). Верхняя граница непрерывного спектра в невырожденном случае условна, ее можно оценить как рс з/р = з/Зтд (значения импульсов, превышавшие величину р0, экспоненциально маловероятны), тогда оценка максимально возможного импульса плазменной волны (или минимальной ее ллины) будет иметь вид 5 б. Конеагочеснае уравненое Бальцмана откуда сразу получаем 4яа з 4яезп ! Фь йз+из В таз или, беря стандартный интеграл при переходе к координатному представлению, еа Ф(т) = — е "", Р(г, т) = ть(т) (1+ — е "' Этот известный результат, полученный в свое время еше Дебаем„выражает еше один коллективный эффект, характерный для систем заряженных частиц — свойство экрамировать статические заряды.
Заметим, что с помощью этого результата можно непосредственно получить некоторые результаты равмовесной теории. Проинтегрировав Р(г, т) по скоростям, мы сразу получим плотность вероятности распре- деления частиц вокруг заряда а: го(г) = ! + — е тВ Если а — одна из частиц системы, то вероятность в(т) обнаружить одму частицу на расстоянии т от другой представляет не что иное, как парную корреляционную функцию ез тз(т) = 1 ж — е тВ В равновесной теории эта формула аппроксими- ровала Рз(гь) в области Я ) 2та, в которой ионы взаимодействовали по закону Кулона, а на расстояниях я < гта эта функция равнялась нулю вследствие непроницаемости ионных остовов (рис.! 97).
В нашей модели «желе» Р++ — 1; т+ —— 1, н, рассчитывая по стандартным формулам, например, среднюю эмергию взаимодействия частиц друг с другом, получаем Й~ = йг — / — [Р++ + Р— 2Р„. [4яа ВЛ = г /л 4 = — / — ~~! — — е ~ ) — 1~4язс <И= — 1!à — е ' Š— № — е гоГ Л~~ ЛВ ) Вон у' Во м» вЂ” известный результат (см.
т. 2, гл. 3, 41-д)) для равновесной нерелятивистской плазмы, который позволяет далее рассчитывать в приближении 7 < Рь все равновесные характеристики системы (для нас все это — лишь попутный результат). 5 б. Кинетическое уравнение Больцмана а) Основные соображения, приводящие к уравнению Бояьцмана Вернемся снова к программе, намеченной нами в конце 54, и рассмотрим систему, соспжшую из одинаковых мейтральмых частиц, в которой основным 312 Глава 5. Кинетические уравнения е сттпистической механике механизмом, определяющим кинетику системы, является соудареиие частиц друг с другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
