Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 63
Текст из файла (страница 63)
для выяснения структуры уравнения для функции зт(г,г,р) воспользуемся уравнением Лиувнлля О, ГОН Ото ОН Ото ') и — — — — — — = (Но, ток)кл+ (Нн тол)кл От . Ог; ОР; Ор; дг; / и учтем, что ОН ОНо Р ОН ОНо ОН~ дУ(гД ~ ОФ((г) — г ~) ОР' ОР; тп ' Ог; Ог; Ог; Ог; ~-' Ог; )то)) Подействуем на каждое слагаемое в уравнении Лиувилля операцией )т' ... Ого... дгк дрз... Ори и рассмотрим в его правой части слагаемые т = 2, 3,..., М. Нетрудно заметить, что все эти слагаемые обращаются в нуль.
Лействительно, один из 6 ()т — !) интегралов второй суммы правой части (*) Р; =0 (о) — оо ) обращается в нуль в силу ограниченности нашей системы в координатном пространстве, а в первой сумме правой части имеется интеграл .~-оо Г" ОН~ Отак ы) ОН~ Ол; Ор(*) ' Огп ~ ( ) -Оо т который тоже равен нулю, так как вероятность обнаружить частицу с бесконечным значением импульса равна нулю.
Таким образом, после проведения свертки по переменным с индексамн т = 2, 3,...,))т останется только слагаемое с т = ). Опустим на время часть гамильтониана Ны учитывающую взаимодействие частиц друг с другом (мы восстановим ее полностью в следующих параграфах), тогда величина ОНо ОГг(г~) Ог~ Ог~ выносится за знак интеграла, и мы получаем О ))т / ток огт ° Огя ОР2 Орк ОУ(г) О Г р~ Π— ток Й'г." Ори — — — / ток Й~ " ОРк, Ог| ОР1,/ ти Ог1 .т' 295 В 3. Конейлачесное ураененое с релоксоционнми членои откуда следует кинетическое уравнение для функции распределения Р(1, г, р) газа частиц без всякого взаимодействия их друг с другом: сйР(1, г, р) ОР(1, г, р) р ОР Ой/ ОР гйй 01 т Ог Ог Ор Нетрудно заметить, что полученное уравнение представляет собой уравнение Лиувилля лля системы, состоящей из одной частицы йг = ! .
Однако в буквальном смысле идеальных систем в природе не существует. В таких системах отсутствовал бы механизм, заставляющий их релаксировать к равновесному состоянию (а это, как мы отмечали во введении к данной книге, — обязательный признак статистической системы). Таким образом, опушенная в кинетическом уравнении лля функции Р часть является принципиально важной. Если ее восстановить (пока чисто условно), то структура этого уравнения приобретает вид ОР(1, г, р) р ОР' 0~1 ОР /ОР~ 01 гп Ог Ог Ор !, 01 )„ где (ОР/Ой)„— так называемый интеграл столкновений, в общем виде довольно сложная конструкция (мы получим ее несколько позже), сама собой через одночастичную функцию Р(1, г, р) не выражающаяся. Сделаем несколько общих замечаний.
а) Чтобы написанное уравнение было бы действительно кинетическим уравнением, замкнутым по отношению к функции Р(1,г,р), необходимо выразить (ОР/01),„через функцию Р любым по сложности способом. Структура интеграла столкновений определяется главным образом характером взаимодействия частиц друг с другом и для разных типов взаимодействия, естественно, имеет разный вид. Таким образом, нет универсального кинетического уравнения для Р, для разных физических систем оно имеет разную математическую структуру. б) С физической точки зрения величина (ОР/01) ййгдр представляет собой скорость изменения числа частиц в 6-мерном объемчике ййг ййр за счет взаимодействия частиц друг с другом (т.
е. это как бы разность «потоко⫠— входящего в Игдир за счет взаимодействия частиц и выходящего из Ырййг). Частота и эффективность этик взаимодействий определяется не только видом Ф(!г; — г !), но и значениями макроскопических параметров п(1,г), в(1,г), 0(й,г) и т.д. в той области, где это взаимодействие происходит (т.е. их локальными значениями). в) Так как мы интересуемся поведением термодинамических систем, то интеграл столкновений должен иметь структуру, обеспечивающую релаксационный характер эволюции системы, направленной в сторону достижения состояния термодинамического равновесия. Это требование необходимо учитывать при выборе той или иной упрощенной модели для (ОР/01) 5 3.
Кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкновений Это уравнение является самым простым и поэтому наиболее часто используемым в приложениях кинетическим уравнением. Приведем основные соображения, оправдывающие это уравнение с качественной точки зрения. !. Пусть Ре — равновесная одночастичная функция распределения. Так как рассматриваемая система предполагается статистической, то в соответствии с общими 296 1)гава 5. Кинеглические уравнения е пнгниисгличесной механике требованиями Р(1)~, „Р,. На исходе релаксационного процесса, т.е. при 1 ~ т, система представляется слабонеравновесной, т.е.
Р(1) = Р(')-Ра,„1 РО РО 2. Не интересуясь, каким образом система дошла до этого слабонеравновесного состояния, аппроксимируем оставшийся релаксационный процесс наипростейшим образом: будем характеризовать его только одним параметром — временем релаксации т Р~(1) й Р~(0)е Цт, «подобрав» этот параметр так, чтобы в области 1 > т эта экспоненциальная зависимость по возможности совпадала бы с действительным поведением Р|(1) (рис. 192).
Тогда сразу 1 Р(1) — Ре Р, «) = -- Р,(1) =— Р,(с)-Р(с)-Р« и мы получаем, развертывая полную произ- водную Р(1) в соответствии с в 2 в левую часть Р,(0) кинетического уравнения, замкнутое уравнение Р(0) фО)е " дР р дР д~1 дР Р- Ре + д1 гп дг дг др т формально удовлетворяющее всем требованиям, сформулированным в конце предыдущего ! параграфа. Отметим сразу, что обоснование этого уравнения (т. е., по существу, обоснование Рнс.292. Характер релаксация функции ЭКСпОНЕНцнального характера последоватепь- Р(с) х равновесному раснреяенение Р«ных этапов релаксации, для описания которой в случае достаточно больших 1, естественно, сохраняется только один, максимальный параметр т, характеризующий самый длительный из этих релаксационных процессов) с помощью «физических«соображений провести корректным образом не удается.
Ссылки на естественность экспоненциальной релаксации и ее распространенность в целом ряде физических примеров в данном случае можно отнести к разряду эмоций. Мы вернемся к обсуждению этого вопроса в связи с рассмотрением некоторых свойств интеграла столкновений, предложенного Больцманом. Сделаем несколько замечаний по поводу написанного выше кинетического уравнения. а) Уравнение с релаксационным членом по смыслу своего введения приспособлено к описанию состояний, близких к равновесному.
Но даже и для этого случая без микроскопического обоснования оно остается полуфеноменологическим, и это его слабое место. Однако математическая простота (оно даже не интегральное) сделало его чуть ли не самым распространенным кинетическим уравнением, с помощью которого без особого труда удается производить оценки целого ряда кинетических характеристик системы. б) В приложениях написанное уравнение чаше всего используют для расчета коэффициентов переноса в стационарных процессах, когда функция Р не зависит в 3. Канеглачеснае уравнение с релалсаиоаннмн членан 297 явно от времени (можно говорить также и о квазистационарных явлениях, когда функция Р зависит от г не непосредственно, а через зависимость от времени плотности и, температуры В и гидродинамической скорости в). Это типичный слабонеравновесный случай, когда детали временной эволюции функции Р уже отошли на задний план.
Имеем р дР( р) д(г дР(.р) Р(;р)-Р( р) пт дг дг др или г р дР ди дР'1 Р(г,р) = Го(г,р) — г ~ —. — — — — ) = Ге+Го ~, гп дг дг др,) Полагая Г~ < Ге и решая последнее уравнение методом итераций (т. е. подставляя нулевое приближение Р = Ре в выражение лля Г~), получаем ответ / р дРе д(Г дГо '1 Г(г,р) Й Ре(г,р) — г ( — — — — — ) . 1з,пз дг дг др ) ' в) Вил функции Ре(г, р), входящей в правую часть кинетического уравнения н определяющей его решение в стационарном случае.
нам фактически известен. В классическом варианте теории равновесным распределением по импульсам является распределение Максвелла (в системе отсчета„двигающейся вместе со средой), поэтому 2егле(г) 2шд(г) С помощью такой функции производятся оценки коэффициентов диффузии, теплопроводности, вязкости и т.д.
для систем типа газов и жидкостей. Уравнение с релаксационным членом используется также и по отношению к электронному газу в металлах для исследования таких явлений, как электропроводность, теплопроводность, магнетосопротивление и т.д., в случаях, когда релаксационные процессы в нем связаны не со взаимодействием электронов друг с другом (в этих процессах сушественен учет принципа Паули), а со взаимодействием электронов с частицами иного сорта (ионами решетки, примесями н т.д.). Функция Ре(г, р) тогда конструируется на основе равновесного ферми-распределения: 2 1 Ре(г Р) — — йз где коэффициент 2 учитывает два независимых спиновых состояния электрона, величина а(г) для простоты опушена, а условие Ге(г, р) Ир = п(г) должно быть использовано для определения локального значения химического потенциала р = р(в(г), п(г)), г) Полукачественные рассуждения, которые привели нас к уравнению с релаксационным членом, можно использовать и по отношению к уравнению для 298 Глава 5.
Кинетические уравнения е статистической механике статистического оператора р. Пусть гамильтониан системы имеет вид Й = Йа+ Й,, где»основная» часть Й» распадается на сумму независимых операторов Йо=~' хгя . Тогда в нулевом приближении движение каждой из подсистем й (или каждой независимой «моды») будет определяться своим уравнением Фон Неймана аъ(о> -<ч Е.,-<;, а~„Й, р.-р,н, дг " "' дс»ь Ввиду того, что Й~ ~ О, в правой части этого уравнения должна стоять некоторая операторная конструкция (дря/дг), которую мы и аппроксимнруем в духе релаксационного члена.
Тогда орь(с) (ч Рь Ро 1 ( ггк 1 — — (Й, ря/ = — ро = — ехр ~ — — /г, И "' " т ' гя ( Р1' где Г = 1/г — уже не число, а некоторый оператор. В матричном представлении это уравнение приобретает вид системы уравнений, в которой кажлый элемент матрицы плотности (п(рь!п') будет характеризоваться своим временем релаксации (часть из них может совпалать). д) Величина т (или набор соответствующих величин в квантовом варианте) определяется в конечном счете как подгоночный параметр при сопоставлении полученных оценок для коэффициентов переноса друг с другом и с экспериментальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
