Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Мы вернемся к обсуждению этой ситуации в заааче 30. На рис. 176 прелставлены зависимости фазы р и срелней ю период скорости изменения энтропии от частоты вынуждающего поля йю прнй <7 ий >7. 1» 268 Задачи и дололнилгельные вопросы я глпле 4 4(0) Задача 29.
Определить, как меняется ео времени энтропия 8(1) системы, рассмотрен- ной в задаче 28 (дннаиическая восприимчивость Х(ы) имеет на плоскости й два полюса а точках ю(2 — ту), если в момент 1 = О мгновенно включить постоянное возмущение Х(1) = 9(1)Хо. Решение. Поведение реакции системы я(1) на мптовенно включаемое постоянное поле можно определить, не прибегая к полученному ранее (см.
закачу 25, случай Пв — — О) решению более обшей задачи. Имеем п(1) = / Х(1 )Х(Ф вЂ” еп) г»зп = / Хр ° 2ате т' — (ег +е ' )»»1". 2 7 . Й солт» = в1п р = з/7» 1 П» ',/~2 1 12» ' получаем (1) — Х (1 — е-т"~ "' р)) соз т» 11елесообрлэно несколько видоизменить эту формулу.
Пусть состояние а(1) прн» -+ со соответствует равновесному состоянию системы, в то время как состояние п(т) при т < 0 — это заранее приготовленное (н подперживаемое полем -Хв, которое выключается в момент 1 = О) отклонение от равновесного состояния, Тогда реакция системы будет характеризоваться величиной (рнс. 177 а) 4(1) = п(оо) — л(1) = ХаХее -.г"'( -У) соз 1л Рис. 176. Зависимость от частоты внещнего возмущения фазы реакции системы я(1) н среднего зв период производства энтропии в случаях П» < 7~(Р) и а» ) 7»(Д) э в Интегралы берутся элементарно. Обозначая 2а 7» Хе =— 7»+ П»' Рис. 177. Реакция параметров системы на нгновенное включение постоянного по времени возиущения э 2.
Общие вребаванил к сврунвуре обобщенной вггслрииичивосви 269 Согласно исходным положениям рассматриваемой теории отклонение энтропии от энтропии конечного (прн Ф оо) состояния определяется величиной --!((1)лб(г). таким образом, имеем (см. В 3) 5(Г) — Я(0) = — Г(0) Лб(0) — — Я) Лб(1) = — Х»Х»Л ~1 — е ! ! ! 2 2 г' -2,! Соо'(01-р)Л 2 2 — о ( еооор ) Для скорости изменения энтропии получаем, дифференцируя полученное выражение по времени (рис.!77й), Б(Г) = -Л((1)б(!) = Ае о™ соо(йг — !о) сот(йт — 2!о), гле о »Л(7+»«) А = Ход»Л ,го Замечание к задачам 28 и 29 При выборе модели для Х(ы) мы руководствовались во всем приведенном цикле задач, по существу, двуми соображениями: а) полюса Х(ы) на комплексной й-плоскости должны располагаться в Нижней пол уплос кости; б) при у - оо восприимчивость Х(1) должна соответспювать мгновенной реакции системы на внешнее воздействие.
В последних задачах в модели Х(оо) мы ограничились только одной парой полюсов й = жй — о у. Это чисто техническое упрощение, допустимое в линейной теории реакции системы, в которой всегда можно сделать «суперпознцию» слагаемых одинаковой структуры. Использование разработанной в б 1 — 3 обшей схемы применительно к указанной выше модели привело в задаче 28 к тому, что при й' > Т' имеется целый диапазон частот внешнего поля О < По < л/Й~ — Тз, лля которых в принятой схеме производство энтропии за период оквзалось отрицательным вследствие ПоХ«(йо) < О. В задаче 29 (релаксационный процесс в той же системе) в определенные интервалы времени (например, я/2 < йз — у < я и т.
и.) производство энтропии Я(1) < О. С точки зрения общих физических соображений этн результаты неудовлетворительны. Причина их возникновения лежит не столько в выборе модели восприимчивости Х(ы), сколько в ограниченности той, по существу„каазистатической теории, которая была предложена в б 1-3: в выражении дпя ЬЯ нет токовых членов, которые как раз в случае й~ > Т~ оказываются существенными. Апериодический вариант П' < у' (или даже просто П = О) вполне может быть уложен в схему квазистатической теории, в которой ЬЯ = -~Лбз и Я = Х.у. Случай й уе О (т.е. тот случай, когда система обладает собственными резонансными частотами) интересен в физическом отношении, так как он часто реализуется на практике, однако для его непротиворечивого рассмотрения необходимо либо уточнение исходных моментов макроскопической теории, либо вообще отказ от попытки рассмотреть данный случай в рамках полуфеноменологического подхода.
Задача 30. Определить, каков должен быть коэффициент 7о в выражении для отклонения энтропии й(1) — й(О) = -- Лб — — 7,7, з 2 2 270 Задачи и дополншпельиые вопросы и глове 4 м какое условие на у (млм на й) необходнмо наложмть в модели воспрннмчнвостн Х(в) =2птс<ж(йв) е '", й ~ О, чтобы скорость нзмененмя знтропнп прм релаксацмонном процессе, расснотренном в задаче 29.
была бы всегда попожмтельной. Решеное. Согласно полученному нами решению б(1) = Хв е т'сов(йз — Зв), /тз + йз где у й совы = в1пх = /уз+й2 г72+йз откуда для тока имеем ЗЯ=С(1) = -Ха ° 2а уе ~ сов(йг — 21в), Для скорости нзмененпя энтропии, предложенной в условии зшшчн, имеем 4ав з М = -ЛЯ-РЯ = ЛХь е ' сов(йг-2р) сов(йв-Зг)+-(7~+й) сов(й1-3ув)). / ~+йз ~ Л Чтобы это выражение было неотрниательно прн любых 1 (напомннм, что вследствие требовання термодннамнческой устойчнвостн Л > О н р > О), необходмые, чтобы тригонометрические функции в качестве сомножнтелей входили бы в четнмх степенях.
Полагая -(7 +й ) =1, т.е. р= —, И г з Л 72 Ч й2' получаем 4зз д «з 4е7 7 -зтг в( 2 ) т/тз + й' Я+ й Это выраженне положительно прн всех значениях чвстотм й внешнего поля. Таким образом, для заданной структуры Х(1) условие Я > О приводит к следующей зввнснмостн отклонения энтропии ЬЯ от амплитуд отклонения ((1) н соответствуюшнх токов З = С(1): 1 з 1 Л т~д(( б) = — — с'+ — — з'+" сз--лб — — — с'. 2т, д(з,у 2~ дЗз,у 2 2 уз+й' Мы еше раз вернемся к обсужаенню проблемы зависимости вью от величины токов в последней задаче следующего пнкла.
Ь $ 3. Частотные характеристики и временное поведение системы с одной резонансной частотой а) Стационарные колебания системы под действием внешней силы Задача 31. Полагая, что реакция системы на внешнее дннамнческое воздействнк меняющее некоторую ее характеристику х, складывается мз трех частей: пропорциональной самой велмчмне х (член пх — тппа упругой возвращающей силы), пропорцпональной ее производной х (член Ьх — типа силы жидкого трения) м пропорциональной второй пронзводной (член сх — типа смлы инерции), определить спектральную плотность хч, полагая, что процесс изменения величины х(Ф) под дейсгвнем гармонического возмущения Тесов(йее) стал стационарным. 83.
Час/по/пмые харакл/ерцсшики сцсп)емы с одной резонансной час/по/пой 22! Решение. Положим а = гпй', Ь = 2гп у, с = пг. Тогда коэффициенты при *, и и й окажутся в точности такими же, как в заааче механики о колебании маятника с трением. Эта зааача достаточно хорошо известна.
Обозначим Уо — — Ро//и, тогда уравнение для отклонения я(!) будет иметь стандартный вид й+ 2'ге+ П а = Уо сок (По!). Решение его для стационарного процесса под действием силы Уое(по( имеет внд Уо 1 (о в(!) = еое', *о —,, — Уо е й' — (о () ч й(й и) ~~ч)кй По . 27По соз!о =, о(п!о = (йч)' ~( й ' й(й' — й ) /())ь' Беря от него действительную часть, получаем требуемое решение 1 /(й' - ьг + ч й, откуда дкя спектральной плотности имеем — й ' ())-/, - — ( б( +й)+ ' (( — П)). ) / (й' — й )'+ой„) Задача 32. Показать, что динамическая восприимчивость Х(ш) рассмотренной в предыдущей задаче системы прн любых частотах внешнего гармонического воздействия удовлетворяет условию положительности скорости возникновения энтропии за период стационарного процесса.
Решенце. УчитываЯ, что внешнее воздействие У(!) = Р(!)/по = /осок(йо!) имеет спектРаль- ную плотность = — 2! (Г! е У(!) = Уо — (б(ы + По) + б(ы — По)), / ., 1 2(г У 2 которая связана со спектральной плотностью отклонения а„, полученного в предылушей задаче, соотношением (см. 3 3) а- = х(ы) У-, получаем, сокращая на Уо/2, 1 ( 'мб( й,) /гб( -й)) =х(-й)/( й) /(й)~( Й). (Й-й) ° ( й Отсюда после интегрирования по ы, например, от 0 до +со имеем Подставляя значение р, полученное в предыдущей задаче, получаем лля динамической восприимчивости Пт ыз + !27ы х(ы) =,, ~ х'(ы)+ ох (и).
(Йз-ы~) +Л7'ы' Графики функций х'(ы) и !го(ы) достаточно характерны (рис. 128). Ввиду нечетности мнимой части, ! ш Х(ы) = Х' (й/) = -Хо(-ы), сразу имеем при любых значениях ы, что ыХ (ы)>0, что и обеспечивает согласно $3 неотрицательное производство энтропии за период стационарного процесса. 272 Задачи и дополниглельиые вопросы и главе 4 Рис, 176. Графики действительной и мнимой частей динамической восприимчивости 2Г(ы) = 7Г'(ы) + «ЗГи(ы) Рис.
179. Особеииосги функции у(и) иа комплексной плоскости й Остановимся еше на аналитической структуре полученного выражения для восприимчивости )С(ы). Обозначая ы! г — — ~ггй~ — Уг — «7 при Й > 7, г »«,г=-«(7жч«7 — Й) прн Й <7, имеем из полученного вырюкения для з (ы), что 1 ! ( 1 ! х(м)-- (ы — ы!)(ы — ыг) 2 /Йг — 7« «,ь« — ь«! ь« — ь«г) Полюса функции д(ь«) на комплексной плоскости й расположены (как это и требова- лось в соответствии с общими установками б 3) в нина«ей полуплоскости (рис. 179).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
