Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Реальное:ке решение всего уравнения лля 1„лежит в более узком, чем единичный, интервале — приблизительно ст 1- !з/а до единицм. Если, как это изображено на рис. 168, этот интервал мал по сравнению с елиницей (т.е. величина а, близка к минимальной), то, переписав уравнение по отношению к величине 1„= 1- 1„» 1, Рис. 168. К графическому исследованию решения уравнения для относительной величины потока холодного газа 2а„' 2 ! Г ! Х2!ПО Х = — "(! — 1) — — ' — (1 — 1)з = (1-1) — Ь(1-1)з (!+т)з ' ог(1+т)г~ ! т/ получим в самом грубом приближении (т.е, полагая в правой части ! — 1, ы !) оценку выхцаяших из вихревой трубки потоков горячего и хололного газов (в лругнх случаях необходимо уже использовать точное решение кубического уравнения).
Скорости истечения газа через дроссель и сопло выражаются через значения 1, н Хг по приведенным ранее формулам. Следует заметить также, что полученный выше критерий о„> (о„)мм необходимым, но отнюдь не достаточным условием существования устойчивого вихревого эффекта, кРоме того, он чеРез закон сохРанениа количества газа Уе = 1, + У„цапает соответствующие ограничения и на величину о„ы„. с Задача 13.
Исходя из формальных соотношений для токов .1, = 1', = — ~' 1„1, 1ьн = ~ ~, 'Х,ыЛгн исследовать релаксацнонный процесс для случая й = 1,2, считая недиагональный коэффициент 1,1 малин по сравнению с 1!, н 1зз. цтобы не пользоваться довольно неудобными формулами Кардана для выражений решений этого уравнения третьей степени, запишем его в виде Эодочи и дополнилмлалые вопросы л слове 4 Решение. Полагая, что начальнме условия для (-отклонений ишаны, 61г„р - -6, запишем е» исходные уравнения 6 =-1л6 1126.
6 =-1126-ги(2 в виде интегральных с "" — 1н / с чи 1(з(1') р11', 6 =(1 1е ЬМ вЂ” 1н / е 'лг 16(Ф')рй', 6=6 е р р откуда, исключая бз(у) нз первого уравнения, получаем замкнутое уравнение для 6(1) (уравнение для (з(1) имеет аналогичный врш) г 3 -шг -юг 6(1) =бг 1е ""-(11 +1 / рй' / рйрс "" ° егги 'пгг ° сги 6(1"). 1л 1ы р р Решая это уравнение методом итераций по 1п, получаем еьм — е иг з г е"'-с 1и — 1п ' 1л — 1и 1л — 1м т.с.
рслаксационный процесс имеет в основном экспонснциальный характер с временами жизни 1/1и и !/1л. Задача 14. Два сосуда, заполненные одннаковын газон (или жидкостью) и соединенные тонкой трубкой заданной длины 1 н радиуса Л, находятся в термостате с температурой В. Считая размеры сосудов заданными, вязкость г) и уравнение состояния р = р(р,е) газа известными, определить характер выравнивания давяения в сосудах н оценить время релаксации, испояьзуя в качестве уравнения состояния газа формулу ре = В. Решение. Предполагаемая ситуация соответствует случаю а) из й 2-0). Полагая р~ = р+ р2р, рг = р, лт,' = М~ + Ь11Г, 1гз — — 1РГз — рь11Г, получаем с помощью уравнения состояния связь перепада давления рьр с отклонением числа частиц Ь1т от равновесных значений лГ~ и 1ттз.
рьр =р(В, — ) -р(В, — ) =р(в,е-е — ) -р(д,е+е — ) = С помощью этого соотношения вырежение дая потока числа частиц У„= ~ь1(г = -Кг~р превращается в линейное дифференциальное уравнение относитсяьно Ь1т" ($) н рьр(1), решение которого нахолнтся сразу: гь11/ = рьгг(0) е и", ррр = ьр(0) с"ич„ где время релаксации выражается формулой Ж 'гг г =— Р/, + лгз Ке(-Вр/Ве)р Полагая яля упрощения 1тз > лг, щ дГ (т.е.
счнпш систему 2 настоящим термостатом), используя формулу Пуазсйля двя коэффициента К = я2(Р/(йе1е) н вычисляя производную (-Вр/Ве)р, исходя из уравнения состояния шмального классического газа, получаем в 91ез г йМ- ° —. я Жрр Характерна зависимость этого времени релаксации от размера отклоненной от состояния равновесия системы 1: г„1т. 253 В 1, Опацнонаряые явления переноса Задача 1В.
В системе, описанной в предыдущей задаче, все вреия поддерживается постоянное давление (т.е. !ар = О). Определить релаксацию заданной в момент Ф = О разности тенператур 12В = В, — Вз. Решенне. Ситуация соответствует случаю 15), рассмотренному в В 2-б). Имеем !За=В(р,— ')-В(р,— ') = а также выражение для потока через коэффициент термодиффузии Ул=/зр) =Пг /ьв=«М /ЗВ. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид ь»В = !ьВ(о) е 'г'~, тьдг = гьлг(о) е 'г'г, гле время релаксации равно Ждгз 1 г/~ + Л/З КМэ(ВВ/дэ), Заметим, что времена г, и гл связаны простым соотношением Для идеального одноатомного газа (в качестве грубой оценки) удельная энтальпия и энер- гия У", выносимые в среднем каждой частицей из системы 1 в случае а), равны 3 5 д=е+р =-В+В= -В, 1/'=2В, 2 2 ' поэтому для времени релаксации гя получаем тл = 2ть (выражение для г, идеального газа приведено в прелыдушей задаче).
г» Задача 16. В описанной в двух предыдущих задачах системе иежду подсистемами 1 н 2 все время поддерживается постоянная разность теиператур /2В, В момент времени Ф = О перепада давления не было, гЗр(О) = О. Определмть релаксацию Ьр к состоянию, когда прекращается поток числа частиц между подсистемами (случай 7) мз В 2-6)).
Решенпе. Используя уравнение состояния р = р(В, гь/ЛГ,), получаем ар= (В+ЬВ,— ') -р(В, ~' ) = (,",р) /зр (-В") ~'+~'Ьйг. считая лля улобспи (лг~ + лгз)/(йг~йг!) = 1/йг, получаем из выражения для потока числа частиц г = Гьй/ = «МГЗ — К/Ьр при ЬВ = сопи дифференциальное уравнение первого порядка дяя Ьр(1) лг г1р = -К(5р - МГЗВ), 5р(О) = О, э(-др/дэ)г которое имеет решение СЗР(1)-М гзВ(1-е ' ), где лг д-и' а«' т»вЂ” М= —, К= —. Ко(-Вр/Вэ)г' Вэ ' згГ!э Оценка этой величины для идеального газа рэ = В приведена в заааче 14. Задача я допалнцглельные вопросы к главе ч Задача 11. Считая магнитное поле Н .= (О,О,Н) перпендикулярным к плоскости (л, р), рассмотреть термоэлекгромагнитные эффекты и явления переноса, происходящмв В НаПраВЛЕНИяХ ОСЕЙ М И р: ПрааадИМОСГМ тЕПЛОПрааадиаетзл яВЛЕНИя тврМОЭДС и переноса энергии токозь эффекты Холла, Нериста, Эттингсхаузена, Ледюкв †Ри и установить связи между кинетическими коэффициентами термомагнитных явлений, Решение.
Воспользуемся приемом, который оказался эффективным при рассмотрении термоэлектрических явлений в $2-в), и напишем вырюкение 4гя для случая, когда перепады температур ЬВ„ЬВу, электростатического потенциала ЬН„ЬНу, электрические таки 1„ 1у и потоки тепла 1„1у (т.е. все компоненты потоков и вызывающих их градиентов) расположены в плоскости (л, у), перпендикулярной магнитному палю Н = (О, О, Н): 1 1 1 ! Вяш--ЬСГ Ва --ЬСГ Ва — — ЬВ Вг — — ЬВ ВВ. В 4 * В У У В2 4 4 Вз У У' Пуст! для простоты система прелставляет собой кубик с ребром 1 см. Тогда ЬВ, и ЬВу— это соответствующие компоненты градиента температуры, а -ЬН, и -ЬНу - компоненты вектора напряженности поля Е, и ЕУ, 1 = 4) и,у = 41' — плотности электрического тока и потока тепла. Для скорости измененйя энтропии отсюда имеем 1 1 1 1 Яш-Е1+-Е1 — — 1Ь — — 1ЬВ =~~Х212 В ** В "" Вз * * В У=З Мы указывали в б 1, что конкретный выбор величин Хь и 12 = 13 неоднозначен.
Воспользуемся этим произволом так, чтобы поставленная задача решалась бы наиболее элементарным ображзм. Положим лля этого /1 1 ! 1 При такам выборе токов 12 и снл ХУ система уравнений 12 = 2 йыХУ, опрелеляюших явления переноса, будет иметь взщ ! 1 1 1 1 Е = — йн1 + — йз21 — — йпЬ — — йнЬВ, В * В " Вз * Вз 1 1 1 1 Е = — йп1 + й221 — — йззЬВУ вЂ” — йо4 ЬВ, В * В " Вз * Вз 1 ! 1 1 1 = — йзз1 + 1м1 — ймЬ — — йнЬВ, В В " Вз * Вз 1 ! 1 1 Х = й4З1 + й421 — 143ЬВУ й44ЬВ В В " ВЗ В' Изозрапия системы в плоскости (и, у), т. е. равнозначность осей л и у, определяет сразу следующие простые связи: йЗЗ й22 йзз й44 йЗЗ вЂ” й24. Отметим, по коэффициенты йц имеют свойства четности илн нечетности по отношению к отрюкению поля Н. Выписанные выше коэффициенты йп(Н), йи(Н) и йзз(Н) яшзяются четными, а йп(Н), йз4(Н) и йн(Н) — нечетными функциями Н.
Обстоятельства, привгшящие к таким свойствалз симметрии, дОСтатоЧНа Наглядиа прЕДСтаВЛеНЫ На рис. 169 (в качестве примеров выбраны коэффициенты й,з(Н) и й„(Н)). Далее, свойство коэффициентов выписанной системы уравнений удовлетворять соотношениям вмимности Онсагера йгз(Н) = йл( Н) 255 Е 1. Сшацианарные яаленая паренаго 1„ зг(Н) 1 г( Н) Е, йн(Н) 1, йн(-Н) Рис.169. Примеры гермомагнитиых эффектов, необращающихся (ароеодимость) и обращающихся (эффект Холла) лри переключении магнитного поля Н на обратное. Пунктирной стрелкой обозначена траектория положительного носителя тока, искривление которой вследствие действия силы Лоренца (е/с) ° (т х Н) компенсируется полем Еэ не меняется при перестановке местами первой пары уравнений со второй и первых двух столбцов с двумя последними.
Вследствие всего этога имеем йн(Н) = йп(-Н) = -йзг(Н), й»2(Н) = йм(-Н) = йг»(Н), йзз(Н) =йзз(-Н)»» йзз(Н) йю(Н) ш йз»(-Н) ш -йн(Н) 1л(Н) = йп( Н) = -йгз(Н) =йн(Н) = -йм(-Н) = й4з(Н) Мы получили, что !б коэффициентов йц для изотропной в плоскости (л,р) системы подчинены десяти условиям, т.е, независимыми из них являются только шесть (по три симметричных и антисимметричных по полю Н). Введем для них следуюшие более удобные обозначения: йп — =(н, В 1чз — = (зз 62 йп — Н(п В йЗ4 — = Н(з4. Вг йзз й34 — =(3 В2 3' . В2 34' где все величины (ц — уже четные функции Н (зависимость их от температуры и других параметров мы не обозначаем). Тогда система динамических уравнений запишется в виде Е» 14!1» Н(з 212 143 ЬВ Н124(гвэ Е„= Н(, 1, +(н 1„+ Н(м(ХВ, — (п(ЗВю 1, = -В(, 1, — ВН(, 1„- ( ЯЗВ, — Н( йьрю 1„= Внм1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
