Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Динамическая восприимчивость в соответствии с заданной функцией Х(!) имеет вид Х(ы) = / а!Х(!)ег = Х« —., м+ г'т' поэтому длв функции Ь(ы) имеем Ж4 =-кех(ы) =тхе-тх( ), что во временном прелставлении соответствует величине э (!) = — пы е ' 'Ь(ы) = тха е(!) — В(1)Хет е 2я,/ 262 Задачи и дополнительные вопросы и главе 4 положив в нем ы = О. Проднфференцировав это соотношение по ы, о (ы) = »Х(ы) втеХ (ы) и положив ы = О, получим г'(ьв)(» = »Х». Задача 22. Считая, что обобщенная восприимчивость Х(1) действительна, а аналитическое продолжение ее фурье-образа Х(ь») имеет особенности типа простых полюсов, определить структуру функций Х и Ь. Рис.
172. Графики зависимости от времени обобщенной восприимчивости Х(!) и коэффициента переноса Ь(!) Решение. В соответствии с установленнмми в $ 3 аналитическими свойствами функции Х(ы) полюса ее могут быль расположены только в нижней полуплоскости ь», как зто изображено на рис. 154. Полагая Х'(!) = Х(г), мы имеем Х'(и) = Х(-ы), т.е. кюклому полюсу ьв» = й»-»7» (у нас й» > О, 7» > О) имеется ему парный ьв» = -й» вЂ” »7». Объединяя эти пары в олно слагаемое, имеем для динамической восприимчивости 1 ! 'т 2а 7,' Х(и) = ~ ва»7»( . + . ) Хо ш Х(О) — ~~' в »,ы — Й»+в7»»»+й»+»7»» Г!»+7» а также во временном представлении »м Х(!) = — Х(ы)е вг»» =В(!) г а»т»е т"(е '""+е»щ') =В(В)~ 2а»у»е ~ сов(й»!).
2е,/ Для функции Ь, определяющей токовую реакцию системы, имеем й» вЂ” ву, й»+ву» в(ы) = -выХ(ы) = ~~' 2а»7»+а»7»~ ~»в — й» + »7» ы + Й» + »7» Переходя к в-представлению, получаем Х(В) = ~ (2а»7» 6(!)+ 2а»7»е т" (й» в!и (й»!) — 7» сов (й»!)) В(!)) Ц!) = ~ ~2а»7»(6(!) — В(!)тЯ+.у„'е т" сов(й,! — р»)), где р» — — а»с!к(й»/7»). Графики Х(!) и Ь(!) схематически приведены на рисунках !72а и 6 (включая функцию 6(!) = !пп 6(! — г)). вь » в 2. ОБщие лгреБоеонил и слгруллгуре оБобщенной еосприинчивосгли 263 Задача 23.
Для рассиотренной в предыдущей задаче модели Х(ш), в которой ради простоты оставлено только одно слагаемое, исследовать предельный случай у — оо, соответствующий мгновенной реакции системы на воздействие (или очень медленно изменяющемуся внешнему воздействию). Решение. Так как величина 1/7 по физическому смыслу есть время памяти среды о воздействии на нее, то а качестве физически осмысленного параметра разложения слелует выбрать величину П/7 < 1 (т.е.
характерный период квазнстационарного процесса Т = 2я/П ль 1/7 значительно больше времени памяти). Беря по частям интеграл интересуюшей пас конструкции, имеем 1(7 ! Р(1)) щ /те НРЯ гй м — е " угЯ~ + / е ~ ге Я М м !е(0) + — 1(7 ! у/(1)), е е поэтому первые членм разложения по степеням 1/7 имеют вид 1(7)р(1)) = р(О) + — !р'(О)+ —, р"(О)+.... 7 7 Для реакции системы б(!) на возмушение Х(1) и вызываемого им тока 1(1) получаем м Пг цг) =~Х(1 )Х(1-!а) гй'=Ъ г(Х(1) — — Х'(1) — —, Х(!)+ — Хь(1)+О 7 7 7 ~7 l о П~ ,1(1) = / Ь(га)Х(1 — 1")Нг" =2а~Х'(1)+2 — Х(1) — — Х "Я вЂ” 5 —,Х'(1)+ — Х'"(1)+О 7 7 7 7 ~7 /! о В пределе у оо получаем ((1) = Хех(1) 1(1) = ХеХ'(1), Хе = 2а, что в терминах функций г!(!) и 1(!) означает, что Х(1) = Хе б(1), 1(1) = -Хе б'(1). Последняя формула согласуется с установленным нами в задаче 21 результатом 1„= /Цг)бг=О.
о Задача 24. Определить реакцию системы на периодическое квазистацнонарное возмущение, полагая для простоты, что динамическая восприиичивосгь Х(ш) на комплексной плоскости ш имеет только одну пару полюсов й = жй — зу. Решение. Запишем внешнее возаействие на систему Х(1) в виде Х(1) = Хе сох(Пег).
Тогда в соответствии с формулой Эйлера в ы-представлении имеем 1 Х(ы) = Хе — (б(ы — По) + б(ьг+ Пе)). 2 Согласно условию динамическая восприимчивость т(ы) имеет следуюшгпо структуру (см задачу 22): 1 1 ') 2а7 Х( )=' 7(ы П+г7 ы+11+17/ йг+7з Задача и даполнагпельные вопросы и главе 4 В этом же представлении реакция системы выражается как е„= Х(м) ° Х(м), откуда, переходя к С-представлению, сразу получаем а(С) = / у(и)Х(г»)е 'гтьг = «« =Хве7 —.
~ !/ 1 еег«г— ы ! г ! -го«г ( -гп« еоь- е' рд),й,-й-т й,-й+С7 Й,+Й-С7 й,+й+7 Если ввести обозначения 7 ~йв — Й то ответ лля а(С) можно представить в достаточно наглядной форме: е(С) =А+ в!п(й«С+9>«)+А з!п(й«С+и ), тле соответствующие амплитудм равны 7 »тм ««и + » Меняя частоту внешнего воздействия Йв, мы сразу обнаруживаем, что реакция системм е(С) имеет резонанс (рис. !73), типичный для классической теории колебаний, причем параметры этою резонанса непосрелственно связаны с координатами той пары полюсов, которую мы оставили в динамической восприимчивости Х(г»): резонансная частота и его ширина О С2 (йв), = й, (СЬЙ«)ии — '« Рис.
173. Зависимость амплитуд А,(йв) и А-(йв) и фвз р,(йв) и р-(Йв) реак- ции системы от частоты внешнего гармо- нического возмущения рассмотрим лва частнмх случая. Пусть внешнее возмущение является статическим, т, е. Йв — — О. Тогла 7 вСп Зг+ —— з!п и гйз г' и ыы приходим к естественному результату мп «гь — — С, хв = 2о, поэтому лля реакции получаем «квазистатический» предел и(С) = Хвхв сов (йвг) = «СьХ(С). Чтобы определять токовую реакцию на гармоническое воздействие Х(С) = Хв сов(й«С), мы могли бы исхошпь из формулы для Ь(ы), / й — «7 й+гт 7(ы) = -и Х(ы) = 2о«+ «~ ~㻠— й+т7 ы+Й+С7/' а(С) = Хв 2о — = Хв Хв.
7 Йз+. а Случай, когда в реакции системы на внешнее возмущение нет запапгывания («мгновенная« !юакция), соотнетстеует предельному переходу 7 -«00. Это лает в 2. Общие глребовония н опруншуре обобщенной еослриимчивоапи 265 а затем рассчитать ток 1 Л(С) = ~ Цм)Хд - (б(м-С)д)+6(м+Йд)) е~ тгы. 2 Праге, однако, воспользоваться уже полученным намм результатом лля я(С). Имеем сразу 3(С) = в(С) = Х, сти(йдС+ут,.)+Л соз(йдС+и ), где и, ~,) Я ВА кХ дь+д) +г' Рис. 174. Зависимость амплитуд Х+(йд) н гф-. ° с ° ю, - ~дд,'„„„ рис. 174.
ческою возмущения Частный случай статического возмущения (йд = 0) дает з(С) = О. В случае же 7- оо, когда иь = и = я/2, получаем, что 7(С) = -ХдХ Й з)п (Й С) Х Х'(С) в полном соответствии с результатами задачи 23. За)вача 25. В предположении задачи 24 относительно структуры функции Х(ш) определить, как релаксирует реакция системы к стационарной, если периодическое возиущение мгновенно включается в момент С = О. Рис 175. Хара«тер реакции системы на мгновенное включение периодического возмущения Решение. Звлачи подобного типа в теории колебаний достаточно традипнонньт. Согласно условию Х(С) = Р(С) ° 2ате т'соз(ЙС), Х(С) м Р(С)Хд сод(йдС).
Поэтому, используя формулу Эйлера н интегрируя по С", получаем лля реакции системы ! ;(С)= ~Х(С")Х(С-С")бС"= д = Хд '07 —, (етщ' — е т'+'и') + (е'одт — е т' '"') + к.с.~. 2т (Йд — Й вЂ” Ст Йд+Й вЂ” т7 266 Эадачо и дополнительные вопросы к главе 4 Используя принатые в предыдущей задаче обозначения для амплитуд Ао и фаз тоо, получаем л(1) = А+ни(йог+!о+) +А 51п(йос+р ) — е т (Ао 51п(й+то+) — А мп(йс — гР )). Первые два слагаемых в этой формуле представляют стационарный процесс — колебания с вынуждающей частотой йо, сдвинутые по фазе по отношению к возмущению Х(1). Вторые два слагаемых представляют возбуждение неадиабатнческим включением возмущения в момент ! = О (в нашем случае — мгновенном) собственных колебаний системы (на рис. 175 мы положили, что нх частота й > й„), которые затухают по прошествии времени релаксации т !/т.
Задача 2б. Связать среднюю за период квазистационариого гармонического процесса скорость образования энтропии со сдвигом фазы между возмущением Х(1), действующим на систему, и ее реакцией и(1) на это воздействие. Решение. Положим, что внешнее возмущение имеет вид Х(1) Хо соо (йог). Тогда реакция системы согласно а 3 запишется как 1 е(1) = / Х(1 ) ' — Хо(екщ' 1+е юое !) Ат = -Хо(е!по'Х(-йо)+е 'щ'Х(йо)). 2 2 о Выпелаа в лннамической воспРнимчивзсти т(йо) и х(-йо) = Х'(йо) действительнУю и мнимую части Х(жйо) = Х (й ) ж 1Х (й ) получим л(1) = Хо ' (Х (йо) сох (йог) + !Го(йо) яп (йоС)) = Ха! Х(й ) ~ со (йос - гР). где !~!о,!! =+~Я'(а.~ ч!О,!.
и мы ввели сдвиг фазы !о такой, что Хо(й) Х'(й ) 51пгР = à — — ~ созто = Для среднего за периол 25 = 2х/йо изменения энтропии согласно формуле, полученной в $3, имеем то — /'Й1) Аг = — Хо!ЪХо(й )Хо = — Хой.!Х(й)!Хо хи р. 2'о,) 2 2 о Задача 27. Считая внешнее периодическое воздействие на систему Х(1)=Х(1+То) и соответствующую ему восприимчивость Х(ш) заданными, определить среднее изменение энтропии за период в случае, когда реакция системы уже стала стационарной. Решение.
Заданную периодическую функцию Х(1) можно представить в виде разложения в ряд Фурье по гармоникам, кратным йо —— 2х)То, 00 1 Х(1) = ~ ~Х„соо(пщ1+51„) = ~ — Х„(е!"'Ь'+'""+е мпо' '""). о=! о=! 2 Подставляя зто выражение в формулу для тока Х(1) и беря интегралы по 1", получаем О оо Л(1) = / 7(со)Х(1 — то) !Во ~ -Хо(Ь(пйо)е !з~п '"'+Ь'(нйо)ем"11~!ьч). 1 о , 2 в 2. Общие требовоиия и структуре обобщеннои восприимчивости 267 Перемножая эти величины, мы получим скорость роста энтропии Я(1). В получающейся прн этом двойной сумме выделим сразу слагаемые с совпадающими индексамн: Щ = Х(1) .
7(1) = ~~ — Х»(Ь(пйю) + Ь (пйа) + 7(пйо)е 'ып" ьо' + Ь (пйю)ез"~омою') + ! 4 »=1 + ~ ~— Х„Х (7(пй„)е "" "1аи-аюю.— 1+ „,), 1 »о» (»З») и учтем, что 2» — / е' 1 Ж = Са(п — юп)»» йа к, ~си (О, и~па. ю Тогда, проинтегрировав Я(1) по периоду, получиаг формулу, обобщающую полученную нами ранее в В 3, гю — / Ю(1) аз = ~~~ — Х»Ь'(пйо) = Ч~~~ ~— Х„пйодю(пйо).
т„,/ г ю ю Задача 26. Длл сисгемы, рассмотренной в задаче 24 (периодическое возмущение, динамическая восприимчивость Х(ш) имеет два симметрично расположенных полюса ш = жй — 67), определить среднее изменение энтропии за период квазистациоиариого процесса. Рещение. В качестве исходных формул имеем 1 1 Х(1) = Хюсаю(йо1) Х(ш) =1ау, + т.ш — Й+»7 ш+Й+ю7/ Динамическую восприимчивость Х(ш) можно представить в виде, удобном для выделения действительной и мнимой ее частей; 7(ш +й +7)+юш(ш — й +7) а . » [(ш й) + 72], [(ш Ч„й)2 + 7з] Если полюса функции Х(ш) на комплексной плоскости ш расположены так, что йз < 7з (на рис.
176 такой полюс обозначен как йе — юу), то шХ»(ш) > 0 прн всех значениях и, а поэтому реакция системы в(1) = Хю]Х(йю)] сою (йат — 1ю) будет всеглв отставать от возмущающего поля, так как Юа > О, а среднее за период Тю = гв/йю изменение энтропии та — / Ф) бс = — Хо йод (Йа) Г ' 1 2 ° Та У' г о будет всегда положительным. Если же йо > 7з (на Рис. 176 такой полюс обозначен йа — ю7), то имеетсЯ область частот 0 <ш < Зггй' — 7з, в которой мнимая часть динамической восприимчивости отрицательна, Х"(ш) < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
