Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Схема реализации эффекта Томсона Ьдг = тЕВ»В, Е ° 1»ЕЕ = г 1 к5  — П(В + ЕЬВ) ° 1 — г,Е. сьВ + П(В) ° 1. где т — тепло, переносимое током от системы В+ скВ к системе В при прохождении в этом направлении по провшнику единицы заряда электричества (т. е, одного кулона). Так как работа источника тока за секунду Еэй' = Еэ(Е 1 должна быть учтена в общем балансе энергии вместе с теплом Томсона на участках проводников с 21В ~ О и теплом Пельтье на спаях, то согласно первому началу термодинамики с учетом правил знаков имеем 5 3, Обобщенная вослроончовоапь и саяно!рольные розложеноя ггз Полагая дП П(в+ Ьв) св П+ — ЬВ дв и сокращая иа величину 1, приходим к так иазыааемому «первому соотношению Томсона: дП ОЕЕ= ( — т«) « — — ЬВ.
дВ Если подставить сюда соотношение из )У) Ьгг = — (П/В) Ьв, то, сократив иа гад, мы получим связь характеристик эффектов Томсона и Пельтье; дп П д /П'! т« =В ~ ( ИВ В ВВ ~В/' Таким образом, характеристики пяти стационарных явлений переноса выражаются с помощью трех зксперимеитальио измеряемых величин а, 'к и П. Формальиые козффициеиты Оисагера выражаются через иих следующим образом: Хгг — — -ав, й„= и — П аВ, Ег« = — ПаВ. Можно, наконец, выписать и скорость возникновения эитропии. Учитывая, что в терминах а, н, П выражения для потоков приобретают вид Ехв Х= аЬЕЕ+Па В ' ДВ ОИ 1 — ПаЬЕŠ— (к — П аВ) — — П 1 — и Вз Вз ' и вволя вместо характеристики источиика тока ЬП, Х гав /з11 = — — П вЂ”, а величину самого тока Е, докучаем Е ° ЬВ,У ° Ьв 1 Хз / Ьв'1 ~/ В Вз В а ~В1 при а > О и к > О.
Оба слагаемых в выражеиии для Я имеют весьма наглядный физический смысл: первое связано с выделением джоулева тепла за секунду, второе— с явлением теплопроводиости (оио иам знакомо по пунктам а) и б)) этого параграфа. 5 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения Остановимся в этом параграфе иа некотором обобшеиии рассмотренной выше теории явлений переноса, связанном с учетом запаздывания по времени реакции системы иа внешнее возлействие. Временные процессы мы будем считать квазистациоиариыми, процессы типа случайных отклонений будем полагать сглаженными, т.е. используемая шкала времени предполагается огрублеииой иастолько, что отсчитываемые по ией интервалы значительно превосходят время корреляции случайных процессов, Ы » т, в частности, в случае периояического воздействия иа систему Т=гя/ыл тц,, 224 Пгава 4, Твриодаияиячесяая глеоряя необрпааиых процессов Итак, пусть статистическая система полвержена внешнему воздействию Р(1), которое вызывает отклонение я(1) некоторого параметра, характеризующего си- стему, от равновесного значения.
Это отклонение, вообще говоря, может зависеть от интенсивности внешнего поля Г(1) довольно сложным образом, однако, остам- ясь в рамках линейной теории, мы получаем в случае мгновенной реакции системы (т. е. в квазистатической шкале времени) х(г) = Ф(Р(г)) = Ф(0) + Ф (0)Р(О) +... = ХГ(1) +..., где коэффициент я(1) Х=йщ— г-о Р(1) называется обобщенной восприимчивостью системы по отношению к воздействию Р(1) (терминология заимствована из электродинамики). Она не зависит от Р(1) н является исключительно характеристикой самой статистической системы.
Мы ограничиваемся (для сокращения формальной стороны изложения) случаем, когда на систему действует как бы только одно обобщенное поле Р($). Если таких полей несколько, то Г = (Гь), й =.1, 2,..., и соответственно х(1) = (хь(10, обобщенная восприимчивость же описывается матрицей (тензор восприимчивости) Х=~~Ы Представленная выше схема по существу соответствует тому варианту «квази- статической» теории, которой мы занимались в 51, 2. Если же система сохраняет «память» о предшествующем моменту 1 воздействии на нее, то выражение лля линейной реакции системы х(1) необходимо обобщить, например (на феноменологическом уровне теории) естественно представить эту реакцию как ОО я(1) = Х(1 — 1')Р(1') вг' = Х(1»)Г(С вЂ” 1») Ом» -ОО О (мы положили здесь Р = 1 — Р).
Относительно функции Х(1) можно делать какие- либо предположения или рассчитывать ее в рамках микроскопической теории. В этом параграфе мы будем иметь дело только с самыми ее общими свойствами. Ввиду того, что постоянная конечная сила РО вызывает конечную же реакцию яю — — ХОРО, мы ДОЛжиы ПОтрЕбовать от обобщенной восприимчивости, чтобы 1''= Х(г ) "г = ХО < со о Введем спекгральныс (частотные) представления: разложим функцию Р(1) в интеграл Фурье и исследуем реакцию х на каждую из гармоник внешнего воздействия: Р(1) = йиР е ~, х(1) = й~х е -Оо -ОО для восприимчивости также напишем соответствующее разложение: +ОО +о» Х(1)= АХ е ь«, Х,= — йХ(1)еьи "~я, е- О, е>0.
-оо -о» В связи с последней формулой заметим, что в соответствии с физическим лрияяилои причинности реакция системы х(1) должна определяться только уже в 3. Обобщеннал аосприинчиаоопь и омнтпральныа разложения 225 состоявшимся (т.е. прошлым) воздействием на нее, Зго означает, что функция Х(С) может быть отлична от нуля только для С > 0 (рис. 152). Поэтому, используя во всех наших формулах двустороннее разложение Фурье, мы должны считать, что Х(С) = б(С)Х(С) где б-функция б(С) к« Отметим также две специальные предельные 0 Е процедуры, использованные в приведенных выше Рис. Ева. характер зависимости обобформулах.
Дополнительная с-процедура для нас щенной восприимчивости от времени новой не является. Как и в З5 гл.3, посвящен- плксипемыспамктыо ном спектральной теории случайных процессов, она введена не столько для того, чтобы сделать математически осмысленным те интегралы по С, в которых подынтегральные функции недостаточно быстро убывают при С - оо (зто можно было бы сделать с помощью простого обрезания), сколько для правильного понимания, в какой из полуплоскостей по отношению к действительной оси ы расположены те особенности спектральных функций, которые в предельном случае е = 0 оказываются на действительной оси ы (т.е. прямо на пути интегрирования).
Вторая предельная процедура — это доопределение б-функции в точке С = О, Будем исходить из того, что при сокрашении интервала «памяти» функции Х(С вЂ” С') до нуля мы должны из интегральной формулы лля х(С) получить старую формулу х(С) = Х(0)Г(С), т. е. функция Х(С вЂ” Е') в этом пределе должна обратиться в Х(0)б+(С вЂ” С'), где б+(С) = 1нп б(С вЂ” т); о т>о в противном случае не ясно было бы, как понимать «симметричную» Ь-функцию в крайних точках интервала С' = С или Ен = О, в которых эта функция и должна иметь сингулярность). Сместить сингулпрность подынтегральной функции из крайней точки несколько вправо и сохранить в формализме обычную дираковскую тз-функцию можно и по-иному: рациональнее доопределить соответствующим образом бфункцию в точке Е = 0 (рис.153), Г1, С>0, б(Е) = 11гп б(С вЂ” т) к«С( т о О, СщО, т>о тогда, если понадобится дифференцировать, Рнс.
153. Доопрвпопвиие б«Руикции в точке Е ~ 0 дб(С), дб(С вЂ” т) — =1пп =1ппб(С-т). дС о дС о Подставляя фурье-разложения для х(Е), Х(С») и Г(С вЂ” Си) в уравнение, связывающее эти величины, имеем +то +«» +«о +«» / ."= иы хие — бы~ бтоз Хи~»ю »С е = бот 2ЯХ««ие 226 Глава 4. термодинамическая глеорил иеобршяимых процессов где мы учли, что — д1~ егйч ю1г = б(ыз — ьгг).
2в,/ Ши = 2еХиди = Х(ы)ди, где величина Х(ы) = 2еХ, называется динамической обобтцемной восприимчивостью. Отметим некоторые обшие аналитические свойства функции Х(ы). Прежле всего, функция Х(ы) действительного аргумента ы по модулю всегда ограничена, ~Х(ы)~ = Йд(1)Х(1)еы™ (~ Х(1) Й = !Хо! < оо. Рис. 154. Расположение полю- для аналитического продолжения этой функции в верхсов динамической восприии- нюю полуплоскость й =ы+вТ„Г > О имеем аналогиччивости Х(ш) на коиплексной н плоскости Ы 1Х(ьг+вГ)~ = ЙХ(1)еьле < ЙХ(1)е' г =1Х(ы)! < со, о о т. е. ни в одной из точек верхней полуплоскости й = и + тГ, Г > О функция Х(й) не имеет особенностей (рис. 154).
Это обстоятельство позволяет утверждать, = О (е > О, е -+ О). Х(ы) д ы-Й+т'е Действительно, используя обратное преобразование Фурье, имеем Так как в нашем случае в подынтегральном выражении всегла 1 > О, то интеграл по частоте ы можно взять, замкнув контур интегрирования в соответствии с леммой Жордана полуокружностью сверху (рис. 155).
Единственная же особенность подынтегральной функции — полюс в точке 11 — (е расположен вне этого контура (ниже действительной оси ы), поэтому указанный интеграл'и равен нулю. Используя символическое равенство Рис. 1йй. Заныкание контура интегрированна при выводе днсперсионных соотношений длл восприимчивости 1 Р = — — ккд(ы — й), ы — Й+ де ьт — П Таким образом, мы приходим к соотношению между фурье-амплитудами рассматриваемых величин: б 3. Обобщенная еослриимчиаость и слентраяьнме разяоьтения 227 тле Р означает операцию взятия интеграла в смысле главного значения, получаем, что Р / — бы — 1нзг(й) = О.
Г Х(ы) Ю вЂ” Й Это соотношение для обобщенной восприимчивости чаше записывают в виде так называемого днснерснонноео соотношения Выделяя в функции зг(ы) действительного аргумента ы действительную и мни- мую части, Х(ы) = Ве Х( ) +11ш Х(ы) = Х'(ы) +1Хн( ), получаем нз дисперсионного соотношения формулы Крамерса — Кронига (Н. Кга- тет, !927; В. Кгоп1к, 192б): зг'(й) = -Р / — бы, зг (й) = --Р / я,/ы — Й а',/ ы — Й связывающие действительную и мнимую части восприимчивости З1(ы). Если возмущающее поле Р(1) действительно, реакция систем х(1) — тоже, то Х'(1) = 1г(8), откуда сразу следует, что Х (ю) =Х(- ) или Х'(ю) =Х'(- ), Хн(ю) =-Хн(- ), т.е. действительная и мнимая части динамической восприимчивости имеют разную четность в отношении аргумента ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
