Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Сяавоопочесяая неканояа неидеальных равнавеснык сос лен Прежде чем перейти к интересуюшим нас особенностям корреляционной функции, свяжем сначала параметры х и р с термодинамическими критическими показателями, введенными нами ранее. Положим Ь = 1т1 Тогда нз (ь) следует —, 1т( ~"Ь = ~1т~ ~7 (т, й). ~, 1т! Если в этой формуле положить Л = О, то для температурной зависимости удельной свободной энергии выше и ниже критической точки получим у(,о) =!!""у( —,о = !!""у(н, 0).
(ь') ъ, 1т/ Вспоминая, что Сь = -Р(бай/ддз)ь и что в соответствии с определением показа- теля а С» т при т)0, Сь 1т~ ' при т<0, будем иметь выше и ниже критической точки соответственно та)-т*-~, ~(т,О)-~ ~'-"'. Сравнивая с результатом, полученным из,(ь'), имеем И о* о' И а'=а, — =2 — а, или р —— У 2 — а 2)1+7 1з(о+1) Если продифференцироватьсвободную энергию (ь) или (*') по полю Ь при фиксиро- ванном значении т, то получим соотношение лля изотермической намагниченности на узел исходной решетки и намагничение в расчете на ячейку из Хк узлов: М вЂ” ', )тг*~кй ~т~-*'т = 1тГ"~тМ(т, Ь).
(, Пояагая в этой формуле Ь = О, М(т, О) = от~1"-*1'кМ( — ', О = 1т~1'-*"км(Ы, О) ~ 1т! 'и учитывая, что в соответствии с определением показателя )3 М 1т1~ при Ь=О, получаем, что И вЂ” х Р+7 1У = —, или х = — )Ур+ И = И У 2гз+ 7 Помимо величин х и р из установленной с помошью (ь) обобшенной однородности намагничения следует и то универсальное уравнение состояния, которое мы полу- чили на термодинамнческом уровне, следуя идее подобна Вндома (см. том 1, гл.
1, з 6, п.'к)). Действительно, полагая пт = М1т11с"1~г Ы М(т~ Л, й = Ь1т1-.*'к = Ь1т1-1Л'"1, получим, что в переменных т и Ь так перенормированное намагниченне 'пт(Г, Ь) = М(~1, й) э 3. Полуфеноменологочесноя теория корреляционных зффентоа 363 зависит не от величины температурного отклонения от критической точки г, а только от ее знака (см.
там же, рис. б5). Рассмотрим теперь особенности двухчастичной корреляционной функции У~(гц, т, Ь) = (о(о ), где гб = !г( — г) 1 — расстояние между узлами ( и у', а угловыми скобками обозначено усреднение по гиббсовскому распределению с гамнльтонианом Н = Н(е) (ее можно было определить и как корреляцию отклонений от средних значений — аналога функции й(г(,) ((о( — (о())(о) — (о ))) = (о(а ) — (о(), но зто никак не влияет на получаемые нами выводы). Индексы у аргумента г(, будем опускать (мы все равно будем интересоваться поведением функции Хгз на рас- стояниях, значительно превышаюших постоянную решетки, г; л о). Для системы, составленной из блоков, в соответствии с предположением об однотипности гамиль'- тонианов Н и Н(') будем иметь Рз (г(', г(',й(') = Ут(Х 'г,Х~г,Х*Ь) = (о„ор) Таким образом, чтобы установить масштабное ссютветствие функций (о(о)) и (онер)('), достаточно установить подобное соответствие между спиновым моментом узла решетки о( и магнитным моментом блока о„содержашего Ха таких узлов.
(а) Обозначим Х сумму по узлам вчейки, составляющей блок а. Тогда для средней ! по ячейке величины о; можно написать (а) Х, ~~) о; =о( =.ео, 1 интуитивно полагая, что это среднее пропорционально магнитному моменту о . В духе сделанных ранее предположений будем считать, что коэффициент пропорциональности Х' не зависит ни от т, ни от й, а его зависимость от Х выражается степенной функцией Тогда лля энергии взаимодействия всей системы с внешним магнитным полем будем иметь н (а) 9 -Нь= — Ь~~) о(=-й ) ~~) о(=-Ь~~ Ь сон=-Ь~~~ оа в=( а а а Таким образом, Ь=Х .ай =Х +*Ь. Так как мы уже договорились о характере масштабнпго преобразования магниТного поля, Ь = Х*й, то н = х-й, и связь магнитного момецта узла решетки с величиной о,', приобретает вид — Ф-а а-н-- о(=Х оа, нли он=Х~ н( Отсюда сразу следует„что (о ор)(') =Х~( ')(~~о)), 364 Глава 3.
Гтапистичеснев механико неидеальных равновесных сипаем и поэтому закон подобия для корреляционных функций, выполняюшийея тем точнее, чем сильнее неравенство т = т; ~ Х (при этом условии становится несушественным, какой из узлов ( берется в блоке а, какой из узлов т' — в блоке Р), имеет вид Рз(Ь т,утт,й Л) =Г ! 1Рз(т,т,Л). (ч) В области критической точки т < 1 для корреляционной функции Рз мы предложили конструкцию е -«/д,.
Рз(т) е 2+9 те з«ч ' характерные особенности которой определяются двумя индексами и и и (вместо экспоненты можно использовать и другую функцию д(т(К), обеспечиваюшую Рз(т) й 0 при т ) В,). Используя закон подобия (ч), легко связать эти критические показатели корреляционной функции с термодинамическими. Для этого положим сначала Ь = !т! пе и обозначим, как и раньше, Ь = Л)т! *1т. Тогда Р,(т,т, Л) = т""-*!'Р, )т!"тт, — ',И 1т! Пусть Л = О.
В случае т 1ь 0 длина корреляции Н, определяется функцией д(т/К,) Рз(!т!ччт, Ы,О). Сравнивая получаюшееся из последней формулы температурное поведение 22 с тем, которое определяет критический показатель ьч 22, 1т! 'чт, Л ° т" при т)0, В, !т!" при т(0, получаем и=и =1/у. Подставляя полученную ранее величину у, мы приходим к формуле ий = 2 — а = 213+7, выражаюшей так называемое «сверхскейлин гонов«соотношение (вире!зса11 па ге! а!!оп) Джозефсона. Выберем теперь Е, = т. Тогда согласно (ч) Рз(т, т, Л) = т ! 1Рз(1, т" т, т«Л). При Л = 0 и т = 0 мь полагали Р~ т Ы з+ч1, т.е.
2(в — 1) = -(! -2+ 1) =-гРу =-1+ —. 7 и Заметим, что второй и четвертый элементы этого длинного равенства сразу определяют соотношение Фишера (2 — г1)и = 7. Соотношения, содержашие размерность системы в (помимо полученного соотношения Джозефсона можно вывести и иные), как мы уже отмечали, не всегда согласуются с результатами для ряда модельных систем. И вообше, для реальных систем соотношения, связываюшие критические показатели друг с другом, выполняются довольно приблизительно.
Надежды, высказываемые увлеченными подобными разработками исследователями, на то, что усовершенствование измерительной техники сделает это совпадение более точным, вряд ли можно считать серьезным аргументом в пользу феноменологической теории. Надо исходить из реальной ситуации: зта теория, как мы убедились выше, и так дала много с качественной точки зрения лля понимания характера критических явлений в некоторых классах систем (но. к сожалению, не во всех, где зти явления проявляются). 3 3.
)7алуфеноменологическая глеорил корреляционных зффекглов 365 г) Непрерывные преобразования и уравнения ренормаяизационной группы Обобщение и окончательное математическое оформление идеи масштабных преобразований в теории критических явлений были достигнуты в работах Вильсона (К.О.'!«Г!!зоп, !971). Это довольно сложные работы, и, будучи ограниченными рамками общего курса, мы остановимся здесь лишь на обзоре основных идей и результатов этого подхода. Предположим, что гамильтониан рассматриваемой системы, деленный на температуру, Н/В (в таком виде он входит к статистическую сумму Я) определяется и параметрами (Х!) = (Х!,..., Х„).
Для рассмотренной ранее системы Изинга это параметры, пропорциональные внешнему магнитному полю Ь = рвН/В и энергии взаимодействия ближайших соседей К = 1/В. Масштабное преобразование Када- нова определяло новый гамильтониан НО)/В, имеющий структуру исходного Н/В, но характеризующийся новыми параметрами Х; =Ф(Х!,...,Х„), 1=1,2,...,п.
Повторяя эту процедуру масштабного преобразования вновь и вновь, мы получим рекуррентные соотношения Х!ь) = Ф ГХ( ) ... Х! ')1 в которых ввиду постоянного воспроизведения структуры предшествующего гамиль- тониана сами функции Ф! не зависят от й (на рассмотренном выше примере зто обстоятельство усматривалось сразу: положив Ьь — — Ь*Ь, мы получаем, удваивая каждый раз линейные размеры блоков, Ьзь — — 2*Ь*Ь = 2*йь, й!«г.
= 2*Лат. и т,д.). Заметим, что, как и при проведении первого шага этих преобразований, каждая последующая система (если т ~ О) отодвигается все дальше и дальше от критической точки (системы при т = О остаются в этом смысле «на месте»), Совокупность преобразований величин Х), где й = 0,1, 2,3,..., образует !х) группу, которую называют ренормаяизационной. Вильсон рассмотрел ситуацию, н) когда в области критической точки при й - оо величины Х, все меньше и меньше !а-!) отличаются от Х), т. е. группа преобразований при й — оо имеет предельную точку. Иными словами, существуют такие значения параметров Нш Х!х) = Х, ! что они удовлетворяют уравнениям, образующим замкнутую систему: Х! =Ф!(Х!~" ~Х«)~ г= 1~2,".>и.
В этих уравнениях для предельных значений параметров гамильтониана Н'/В многие особенности исходной модели оказываются несущественными (после многих шагов преобразований они сходят на нет). Существенны те особенности, которые влияют на структуру функций Фь Это — размерность системы, величина спина, свойства симметрии и т.д. При этом, как нетрудно видеть, образуются классы систем с одним и тем же предельным гамильтонианом, а следовательно, с одними и теми же значениями критических индексов и т.
п. Имеются основания полагать, что в класс изинговских систем и бинарных сплавов входят таюве и жидкости, что неси мметричная ферромагнитная системы (я-у-модель) образует один класс с жидким Не«, что гейзенберговская модель образует свой класс и т.д. При таком разделении систем на классы возможны и перескоки (так называемый слззютег) системы из класса 366 Глава 3. Гтотосточеснал механика неидеальных равновесных соплам в класс при  — В,. Например, гейзенберговская модель с небольшой анизотропией во взаимодействии ближайших соседей Ф" = —,7'(а'.*)н(*) + и" а(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
