Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. г!зьег, 1964) предложил улучшить модель Орнштейна — Меринке, усилив сходимость функции Ь(В) прн В - оо в случае й = й,. Он просто повысил степень В в знаменателе Функции Ь(В), авеля еще один критический индекс г! > О: е-л!л' Ь(В) (мы рассматриваем пока трехмерные системы; в случае Н-мерной системы, где И = 1, 2, 3, в зНаменателе фишеровской функции будет стоять Яв т+"). Тогда /дп1 1 1 г Р ~ — ~ = ! + -Ь, = 1+ — 3! Ь( ) ! = др в и и =1+ — / г аг= !+ — В, )! е к Ыа.
4а" Г е "г'ь з 41г з „ Г и.,l г'+.к, и, ',/ в о Заметим, кстати, что вместо орнштейн-цернике!вской экспоненты е * дляформнрования Фишеровской корреляционной функции Ь(В) можно использовать н другие э 3. Полуфеноненологичаснал юеорця корреляццоннык эффеклюв 359 функции, достаточно быстро убывающие с ростом в и обеспечивающие конечность интегралов по переменной в. Мы не будем останавливаться здесь на подобных «обобщениях» феноменологического подхода, Так как при д - д, мы имели В, ° т ", а также (дп/др)г ° г т, то из последней формулы следует соотношение Фишера (1967) (2-Ф =7, связывающее макроскопический индекс 7 с индексами н и гг, характеризующими поведение корреляционной функции Й(В) при Ю ф д, (индекс радиуса корреляций В, г ") и при д = Р, (критическое поведение функции Ь(В) ° 1/Выа).
Для ориентировки сразу отметим порядок величин этих индексов, подобранных из сопоставления результатов, полученных с помощью модельных представлений о структуре функции Ь(В) с экспериментальными данными; 0 < гг < О,1 (или просто и = 0; иногда бывает и гг ° 0,25); гг ° 7/2 - 0,5 (нногда доходит до 0,63 и даже до 0,7). Остановимся еще на двух совсем уже феноменологических построениях, свйзанных с описанием системы с помощью критических показателей. 1. Известно, что при приближении к критической точке ф, коэффициент поверхностного натяжения г обращается в нуль.
Пусть в духе всего нашего подхода это «обращение в нуль описывается степенным законом и !г!и, т < О, р ) О. Объем системы, связанный с поверхностью раздела фаз Е, имеет порядок В,Е. Добавка к термодинамическому потенциалу, учитывающая наличие такой поверхности, равна ггЕ. Таким образом, удельная величина (в расчете на частицу системы) потенциала оказывается порядка нЕ/(В,Е) = и/В, ~г~~«". Но так как удельная теплоемкость Сг ° т — зто вторая производная по температуре от термодинамического потенциала, то его сингулярная часть пропорциональна тг ', и мы палучаем И+и =,2 — а«или р+и = 2/3+7.
2. Приведем еще одно чисто качественное рассуждение, позволяющее сопоставить некоторые критическйе показатели с размерностью системы в. Чт(збы обеспечить заданную а-сингулярность теплоемкости, удельный термодииамический потенциал (в расчете на частицу системы) должен иметь «особенность«(см. том 1, гл.1, бб, п.з)) типа /1 г' О. Размер области, в которой состояния частиц сильно коррелированы, имеет порядок Вг г "г — оо (размерность системы И = 1, 2, 3).
Число частиц в этой области расходится по тому же закону Р./о г "«. Полагая (пока чисто умозрительно; более подробно см. ниже), что обращение удельного потенциала /х в нуль связано с увеличением размеров области сильно коррелированного состояния (критической области) и числа частиц в ней, т. е. что /» 1/В,", получаем так называемое дурегзсабллгвьгюл (соотношение, не следующее из обычного закона подобия), связывающее размерность системы И и критический показатель и с термодннамическыми показателями: иИ = 2 — а, или и4 = 7+ 2)3 = )3(д+ 1).
Комбинируя с показателем р и т.д., можно уже отсюда получить р = (И вЂ” 1)н и т.д. Полученное выше соотношение ив = 2 — а было введено Джозефсоном (В. 13. 3оаерйаоп, 1967). Введение размерности пространства в как характерного параметра системы сыграло в дальнейшем развитии теории немаловажную роль. Сейчас же 360 Глава 3. Сгяотиопичесхая мехоняна неидеальных равновесных сигаем только заметим, что в «классических» системах (газ Ван дер Ваальса, магнетик Кюри — Вейсса и т. и. — Фишер образно называет их «библейскими») соотношение Джозефсона не выполняется вообще (напомним, что эти системы служат всегда как бы пробным камнем для разрабатываемых обобщений теории критического состояния).
Действительно, для них (см. том 1, гл. 1, 66, п. к)), а также задачи 55, 56 и 59) а = О, г = 1/2, 6 = 3, и получается 3/2 < 2 вместо равенства. Ради справедливости следует отметить, что соотношение и1 = 2 — а выполняется для точно решаемых двумерной изннговской и так называемой сферической моделей, для других же — более или менее приблизительно. а) Идея масштабных преобразований Остановимся весьма кратко на дальнейшем развитии феноменологической теории критического поведения систем, которое явилось основой для локального научного бума второй половины двадцатого столетия, нашедшего даже признание Нобелевского комитета (премия 1982 г.). Для того чтобы идея масштабных преобразований представлялась в наиболее наглядном и естественном виде, рассмотрим ее на примере простейшей дискретной системы, в которой имеется фазовый переход Л-типа, — на модели Изинга (в предыдущем параграфе мы показали, что эта модель дискретной системы может быть использована для описания целого набора различных физических систем, являющихся по этой причине в определенном смысле подобными).
Как уже отмечалось в томе 1, гл. 1, $6, и. к) в разделе, посвященном термодинамическому описанию критических явлений, основой всего подхода является интуитивно улавливаемая общность критических явлений (мы здесь включаем в ннх н Л-переходы), происходящих в системах, внешне совершенно не похожих друг на друга. С одной стороны, это неупорядоченные системы (критические явления в системах жидкость-газ, Л-переход в жидком Не«, фазовые переходы в моделях с пространственно размазанным спиновым моментом и т.д.), с другой — дискретные системы, моделирующие явления в твердых телах (магнетики различных типов, сплавы, модели решетчатых газов, рассматривающиеся как мостик для перехода к более реалистичным газ-жидкостным системам, н т. и.). Доверяя этой интуиции, мы рассматриваем, если это по каким-либо причинам оказывается удобным, одни вопросы с точки зрения непрерывных систем, другие — с точки зрения дискретных, полагая, что результаты такого рассмотрения относятся к тем н другим.
Но эта «универсальность» подхола не есть символ веры, ей находятся и физические основания: в области й й, радиус корреляции, являющийся характерной масштабной единицей длины в рассматриваемых условиях, значительно превышает по величине как среднее расстояние между частицами (в твердых телах — постоянную решетки) Л,.ь а = х/Р/У, так и радиус взаимодействия В, 2 Вь, поэтому общий характер поведения систем в этой области нечувствителен к деталям потенциалов взаимодействия частиц друг с другом Ф(г;.) или 1(гб) = 2(1, г) (напомним, что сами значения критических параметров непосредственно определяются через это взаимодействие, как зто мы видели на примере газа Ван дер Ваальса и ферромагнетнка Изннга).
Таким образом, для общего описания критических явлений наиболее существенны, по-виднмому, только крупномасштабные свойства системы, такие, как ее размерность 4, симметрия гамнльтониана и т.д. Все эти соображения позволили Кадвнову (Е. Р. Кадапо$Т, 1966) ввести в полуфеноменологическую теорию критических явлений процедуру масштабных преобразований, сохраняющих именно этн общие свойства системы и затушевывающих все остальные, н сформулировать с нх 5 3. Полуфеноменолагичеанал авария корреляционных зффенглоа 361 помощью общие законы подобия (в томе 1 мы уже называли их «скейлингомь). Рассмотрим теперь простейший вариант этой процедуры. Разобьем мысленно исходную изинговскую решетку на одинаковые блоки (или ячейки), каждая из сторон которых составляет Т шагов исходной решетки (ради простоты ее можно считать кубической).
Для нас будет важно, что это Т достаточно велико в масштабе постоянной решетки а = 1, но все же гораздо меньше корреляционного радиуса Н,: 1 < Ь < Н,. При таком выборе Ъ каждый блок представляет собой сильно коррелированную систему, т.е. как бы ферромагнитный домен с магнитным моментом, пропорциональным о« вЂ” новому изинговскому индексу. Так как зти блоки включают большое число узлов первоначальной решетки (равное Тг), то граничными эффектами, связанными с взаимодействием отдельных узлов из одного блока с их ближайшими соседями, но входящим уже в другой блок, можно пренебречь: каждый блок как новый магнитный момент целиком взаимодействует с таким же соседним блоком.
Таким образом, гамильтониан «блочной» системы НО1 оказывается гамильтонианом такого же типа, что и исходный НФ1 = Н. В этой новой изинювской системе корреляционная длина В остается, конечно, прежней, но в масштабе новой постоянной решетки Ъ она в Т раз меньше, т.е. новая изинговская система из блоков будет (при прежнем значении т) находиться дальше от критической точки, чем исходная, а это означает, что новые эффективные параметры г и Ь будут больше исходных: ЬО1= ЬО1(Ь, Ь,г) > Ь, тп1 = гп1(Ыа, г) > т.
Предположим, что в области т — О, Ь вЂ” О, которую мы обычно и рассматриваем, во-первых, эти новые величины пропорциональны исходным и, во-вторых, коэффициенты пропорциональности зависят только от Т,, причем простейшим образом— по степенному закону: ЬО1(Ь,Ь,т) = Уь(ь)Ь = Т*Ь, т" 1(Т„Ь, г) = ~,(й) т = Тгг, где степени я и у являются положительными величинами. Основная идея Каданова состоит в том, что так как гамильтонианы для системы узлов Нф1 = Н и для системы блоков НО1 являются гамильтонианами одинакового типа (изинговскими Ы-мерными), то и свободная энергия Яг, Ь) в расчете на узел решетки и свободная энергия в новой системе в расчете на одну блок-ячейку ,г О1(тп1, ьп1) выражаются одной и той же функцией г. так как в ячейке находится ьг узлов, это означает У(Ьгг, Ь*Ь) = Ъ|У(т, Ь).
(«) Это не что иное, как закон подобия, из которого можно сделать целый ряд следствий. С математической точки зрения соотношение (*) означает, что функция Дс, г1) является обобщенной однородной функцией двух переменных: Мй, л ч) = л"У(6 «1), в соответствии с чем должны существовать и два параметра подобия: полагая Л- Л'~г, получим У(Л'1'б,ЛУ'1) = Л~(~, 1). 362 Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
