Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Так как в рассматриваемой решетке в целом Ф узлов, то систему можно представить как Ф/(1+с) не имеющих общих узлов групп Бете (на рис. 145 они изображены лля случая простой квадратной решетки), а общий нулевой гамильтоннан — как сумму гамильтонианов отдельных групп: н!(с+1) с с Но = ~~~ Н(ьо), где Н((ь) = -Ео„~~ и — й ~ и . (е=! у=! у=! Нулевая статистическая сумма Яь в этом случае будет равна й(/(с — 1)-й степени суммы для отдельной группы„которую мы уже подсчитывали в разлеле г) этого параграфа: с (и+о)ь -(а+я(с-ь) (-о+о)ь (к-д)(с-ь)ъ +е е й!(с — й)( ,ь а = (2 сЬ (а+ )У))'+ (2 сЬ (а — )5))'. Подсчитаем среднее значение величины о; для центрального узла ь' = ьь и узла из его окружения 1 = т: Д вЂ” гг;, ехр ((ао;, +~9)й — (ао;, + д)(с — й)) = ~(!а) ', й!(с-й)! " ~ь 1 — (сЬ (а — )5)/сЬ (а + )у))' ! + (сЬ (а — Д/сЬ (а+ )1))" ,1 д 1п я(1ь) !Ь (а+ )у) — (Ь (а — (5)(сЬ(а — 15)/сЬ (а+ )у))' с д(Э ' 1+ (сЬ (а — )5)/СЬ (а+ )У))' Рассмотрим теперь оставшуюся часть гамильтониана Н1 — — Н вЂ” Нь.
В нее войдет включенное нами в Н, взаимодействие узлов окружения всех центральных узлов (их число равно с. М/(!+ с)) с полем й, и от Н останется взаимодействие этих узлов с внешними узлами из соседних групп (каждый внешний узел имеет одну связь с центральным узлом (ь, а остальные (с- 1) связи идут во вне, поэтому число связей во всей системе будет равно сМ/(1+ с) (с — 1)/2). Так как среднее от произведения операторов о, принадлежащих разным группам, распадается на произведение средних, оуо( = о о; = (Щз, то среднее значение от Н, будет равно — Ьг с-1 2 Ьг Й(= — — с — Е(о') + — сйо), 1+с 2 ~ 1+с опсуда для верхней границы свободной энергии системы Ф = -д 1п Яь+Й( получаем ! +с ' .
с — ! /01пх(1ь)') д!пх(!ь) — Ф = - 1й а(/о) " а~ ) + )у ЬГВ .'. 2с (, д)5 . / дд Условие минимизации велияимы Ф д(п х((о) ' с-' 1' д1п л(Еа) дз 1П Я((р) 'д )п х(!а) д )ах(ьь) д)У с, .д,д д)У, ~ д)5 +)У д/5! э 2, Овед0ние в сглавцсвячеабхо глеорвю двскрелгных гцояеи '355 определяет уравнение для величины О = Ь/О: Р= — а =(с-1)а с-1 д !па(уо) й (а+ О) — й(а - О)(сЬ (а — !3)/сЬ(а+,О))' — /(а,)у), с дд 1+ (сЬ (а — О)/сЬ (а+,О))' решив которое, мы определим варна ционную оценку для свободной энергии, которая позволит затем рассчитать внугреннюю энергию, теплоемкость и т.д., а спонтанная намагниченность, отнесенная к максимально возможной, определится в рассматри-, ваемом случае Ь = О формулой сг„+ сау по = !+с Мы не будем проводить этих в общем-то технических расчетов, ограничиваясь, как и в и. г), только несколькими замечаниями относительно характера получаемых Здесь результатов.
Прежде всего они не совпадают с формулами раздела г), а это значит, что, котя отличия и не носят кардинального характера, полуфеноменологическое приближение Бете в аариационном смысле (в смысле уровня оценки свободной энергии) уступает полученному выше. Правая часть трансцендентного уравнения для,д в графическом плане повторяет особенности функции /(а„0), изображен- нцй, на рис. 143. Определяя критическое значение параметра ао — — 1/Оо из условия касания графика функции у = /(а, О) в точке !У = О с линией р =,О: 1 д/(а, О) ~ д!У !в=о мы получим трансцендентное уравнение для критической температуры, которое можно записать в виде В с-'1/ з1 ! г з1! — = — ~1+(с — 1)й — ) =1 — — ~1 — (с — 1) й — /1. с1 с до) с~, Оо Из него следует, что получаемая критическая температура Ро несколько меньше той, которая определяется приблнжснием Брегга — Вильямса ддв = с1 (при с = 12 приблизительно на 1,5%, при с = 4 — на 11%).
По тем же причинам, что и в и. г), температура Ро является точкой фазового перехода 2-го рода с конечным скачком теплоемкости. В области д > Ро имеем О = О, х((о) = 2(2 сЬ а)', а энеРгиЯ отдельной группы Бете равна е(го) = -1д 1п х(!о)/да = с(-1й а), т. е.
на одну связь прихо- дится в среднем энергия — 1 й а. У Бете зта величина умножалась нв общее число связей Жс/2, в нашем же случае — только на'число связей, учтенных в 11о. Поэтому получается, что при 9 > Оо, когда О = О, е=- — йа, С= — = — д /у сЬ вЂ”. 1+с = ОВ !+с~В) / В Отметим, наконец, что в случае с -~ ЬГ, с1 -~ Х = Ро уравнение для О и все остальные результаты переходят в соответствующие формулы приближения Брегга— Вильямса (при Ь = О), которое в этом пределе является точным.
В заключение несколько слов о возможности дальнейших уточнений. Включение внешнего магнитного поля Ь в схему метода принципиальных трудностей не создает. При этом функция /(а, О) уже не обращается в нуль в точке О = О, скачок темплоемкости размывается, а намагничение системы в парвмагнитной пбвастй О > Ро будет определяться модифицированнром законом Кюри — Вейсса.
С вариационной точки зрения больший интерес представляют расчеты, в которых число вариациоиных параметров больше одного. На!гример, считая по-прежнему Ь = О, 356 Глава 3. С|пп|япоппчеспоп лехапипп пепдепльпых равновесных слопал можно учесть эффектнвное молекулярное поле, действующее на центральные узлы (а (в приближении Бете этого не было совсем), т. е.
положить 1 -1т(!и) = -а ~|, пцп, — В~> и, — )Уапь. (М! |=1 Тогда получится двухпараметрнческая варнацнонная задача, в которой х(!9, |уа) = (2 ел(а+ )!))'е'ь + (2 ел(а — Я)'е л', ! +с с — 1 (д1пх()У,Д)!! д!П2(/З,Д) д!пя(У,Д) а уравнения для варнацнонных параметров )У н )Уе будут иметь внд с- ! д1пх()У,)УО) д'1пх(|В,® / д'!пав(А!УО) вв !в )у' в)у,' / вввв, с — 1 д1пх(Д|Д) д 1пх()у,Д) /дз!пх()! )!о) вд вдвое / Ю' Последующие улучшения варнацнонной оценки естественно связать уже с расшн- реннем группы Бете, т.'е. с включением в нее соседей нз следуюшнх за ближайшей коордннацнонных сфер н т.
д., что сразу резко увеличит объем численных расчетов, несколько подправят графики лля теплоемкостн н намагннчення, прнблнзнв нх к наблюдаемым, однако прн всем этом надо оставаться реалистом н не полагать, что можно достнгнугь качественно новых результатов (сверх уже полученных— ллл нас это было бы появление сннгулярностн в температурном поведении тепло- емкости вместо полученного конечного ее скачка) путем конечных шагов в любой аппрокснмацнонной технике, включая н варнацнонную. е 3. Полуфеноменологическая теория корреляционных эффектов в области критической точки В этом параграфе мы продолжим обзор полуфеноменологнческого поахала к описанию критических явлений, начатый нами на термодннамнческом уровне (см. том 1, Эб, и. к)), расширив рассмотрение за счет включення в него тех зсобенностей в поведении парной корреляционной функцнн, которые ввиду установленной нами в в 1 непосредственной связи ее со многими макроскопнческнмн зелнчннамн статнстнческнх систем должны проявляться в критической области ча макроскопнческом уровне.
а) Исходные позиции полуфеноменологичесной теории Рассмотрнм сначала качественныесоображення, нспользованныеешеОрнштейюм н Перннке (1.. Я. Огпие!и, Е Еегп1ке, 1914) прн анализе структуры двухчастнчной рункцнн распределения в случае, когда термодинамические параметры системы 1лнзкн к критическим значенням. Как н прн рассмотрении особенностей снстемы ! этой области на термодннамнческом уровне, степень приближения к критической очке будем определять велнчпцой безразмернпго параметра т = (й - й,)/В„где й,— :рнтическая температура.
Для собственно корреляционной функции, называемой нногда полной; Л(!г! — гз!) = Щг! — гз!) — Р|(г!)Р|(г!) = Рз(1г! — гз!) — 1 б 3. Полуфеноненологичвснол пторил норрелпционных эффенпюв 357 воспользуемся представлением Орнштейна — Парнике через функцию с(!г, — гз!), называемую прямой корреляционной функцией (см. задачу 6 к настоящей главе), связь которой с полной корреляционной функцией Ь(В) проще всего записать в виде несложного алгебраического соотношения между нх фурье-амплитудами 1 Сь/и ч +, +, -Ьь = и х ь и 1 — С~! г где 1/и = и = 1У/У, ь, - ! "ь( ) ю, с, = ! ."'н ) ю.
Заметим, что так как для дисперсии числа частиц в системе, выделенной вообража- емыми стенками (см. зааачу 4), мы имели (ЬЬг)дг Ь! 1 + (Рз(г) 1) Юг ЬГ В ВМ то для коэффициента упругости получаем — 1 — 1 = 1 1+ — Ье) = 1 — -Са=! — — ! с(г)Иг, В~д), ~ и ( и и/ где Ьо = Ьь1ь а Са = Сь1„, откуда слелует, что прн приближении к критической точке, когда в йринятых нами ранее обозначениях лт-т, 7)0, величина Са остается конечной; 1 — Со~, и 1.
так как в пространственно однородной системе йз(к) = Гз(В), то функции ьа и С» являются четными функциями волнового вектора Ь. Полагая, что в окрестности точки к = 0 эта функция зависит от Ьз „можем записать 1 ~ 1 1дСе з 1 аз -С,1„,=-Са+- — Ь +... =-С.— -Ь +.... !х о и од(йг) Если ограничиться для функции Сь только этой длинноволновой аппроксимацией, то в области д ° д, фурье-образ корреляционной функции Ь(г) будет иметь внд !+... 1 и ь 1(ад) + айз + д(хз ~- Ьз) Мы подобрали здесь обозначение для хз так, чтобы величина т. е.
чтобы вна фурье-амплитуды Ь, с'точностью до множителя совпадал бы с фурье- образом Фь эффективного потенциала с дебаевской экранировкой (см. 51, п.д), а также том 3, гл. 1, задачу 40). В соответствии с критическим поведением величины (др/д")э имеем хз т". 353 . Глава 3. Сннипиппическал механика неидеальных равновесных сислгем Зная поведение функции Ик в.области малых !Ц, можно, совершив фурье-преобразование, определить, как ведет себя корреляционная функция Ь(В) = Рз(В) — 1 на больших расстояниях (1.. Б.
Огпа!е!и, Е. Хегпйге, !918): 2 -«л Ь(В)= — Г е ' ЬьЖЙ вЂ” — —, (2я)з,/ 4я а В Таким образом, функция Ь(В) вблизи критической точки (но при й Ф У,) имеет конечный радиус корреляции Я, и в целом имеет структуру ограниченного дебаевской экранировкой кулоновского потенциала Ь(В) — е -л В Для описания температурной зависимости этого радиуса корреляции вводится критический показатель (или индекс) и > О: В., т Для модели Орнштейна — !!ернике мы получили др в При й = р„т. е.
в самой критической точке для этой же модели имеем 1 Ь(В) т. е,. поведение корреляционной Функции на больших расстояниях не представляется с физической точки зрения разумным (перестают сходиться интегралы, определяющие некоторые характеристики, конечные по их физическому смыслу, и т. п.). 6) Критические показатели, характеризующие особенности корреллционналх функций Оставаясь на уровне феноменологической теории, Фишер (м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
