Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 81
Текст из файла (страница 81)
а) Рис. 1ЗФ, Скематическое изображение основного состояния ферромагнмтной системы (а) и возбужденна, связанного с переворотом одного из спиноз (б); число ближайжих соседей узла квадратной пометки с = 4. Прямымн линиями обозначено взаимодействие параляельных спиноз (Уч = -1), вжнистыми — антмпараляельных (с(я = +1) Обратим теперь внимание на особенности системы, связанные со знаком взаимодействия ближайших соседей (мы без особых на то оснований выбрали знак Нт = -1(з,у)гт; сг ).
Если 1 > О, то энергетически более выгодной является параллельная ориентацйя близлежаших спииов, и при д = О основное (низшее по энергии) состояние системы будет представлять решетку из параллельно направленйых магнитных моментов — состояние спонтанного намагничения, характерного лля ферромагнетика„с максимально возможным намагничением М =,ОК вдоль.оси, л (рис. 139). Переворачивание одного спина а каком-либо нз узлов решетки уменьшает э 2. Оледенил а сглалгясглнческую глеорию дослреглнмх сиопем Ззб 2) Модель антиферромагнетика Если знак обменного взаимодействия противоположен рассмотренному выше, т.е. гамильтониан, например, изинговской системь1 имеет вид и ж'= — )уН ~~г ггг+ - ~ Х(т' т)пггг,, Х > О, г'= г гну А то антипараллельная ориентация соседних спинов является более предпочтительной, чем параллельная, и основное состояние системы, условно изображенное на рис.
140, имеет структуру двух как бы вложенных друг в друга ферромагнитных подрешеток А и В, намагничен,ных в противоположных направлениях. Если эти подрешетки А и В эквивалентны, как на рис.140, и магнитные моменты в их узлах одинаковы по величине,,9л = Рл, то спонтанная намагниченность в случае Н = 0 отсутствует, так иак Мл — — — Мл. Такая система называется антиферромагнетиком.
Возможны и иные ситуации, когда в силу неэквивалентности подрешеток А . а" И нлн вследствие,дл зе )3в, полной компенса- . ции магнитных моментов Мл и Мв не происхо-, дит, Мл + Мл = М. ~ 0; Такой нескомпецонроаа наживают ферримагнвгиком. Рис.
140. Схематическое изображение структури основного состояния скомпенсированного антиферромагнетика. Системы спмнов ез = 1 и о, = - 1 образуют две эквивалентнме йвадратс нме подрешетки А и 'В с противопос ложными ферромагнмтною типа упоря- дочениями нный антиферромагнетик инпгдр величину М на )1 и изменяет энергию упорядоченного состояния на величину 2сХ, где с — число ближайших соседей. С ростом температуры таких нарушений становится все больше, и при а порядка сХ следует ожидать, что спонтанная намагниченность исчезнет (М = 0 при Н = 0) — система становится парамагнитной. Этот предварительный физический анализ позволяет нам рассчитывать на то, что данная модель с Х > 0 в принципе мажет описывать состояния магнетика со спонтанной намагниченностью (т.е.
ферромагнитную систему). Отметим, что здесь, как и в э 1, п. е), возникает необходимость в доопределении фигурирующих в теории средних значений. Действительно, так как гамильтониан Гейзенберга при Н = 0 инвариантен по отношению к поворотам системы, т.е.
в системе Уг" = — (1/2) 2 ХО(гггггу) нет выделенных напРавлений, то, УсРеднЯЯ с помощью распределения Гиббса по всем микросостояниям системы, мы усредним и по углам тоже и поэтому всегда при любых значениях л получим, что намагничение, М = гтГДтгг = О.
Однако, если снять указанное вырождение гг", введя хотя бы затравоч нос внешнее поле ггН = (О, О, тгН) „то спонтанная намагниченность установится вдоль заранее выбранной оси л и при температуре ниже точки Кюри сохранится после выключения ггН вЂ” О. Таким образом, те средние, которыми мы будем пользоваться при рассмотрении указанных выше моделей, — это каазисредняе по Боголюбову. Заметим еше, что рапи простоты мы рассмотрели изотропную модель взаимодействия.
Не исключено, что величина Х(г; — г,), например, вследствие структуры пространственной решетки имеет различные значения вдоль разных осей (например, Х, > Х, = Хв). В такой анизотропной модели вырождения уровней энергии по отношению к поворотам уже нет, и средние величины совпадают с квазисредиими. 336 Глава 3. Статостцческая механика неидеальных равновесных систем В гейзенберговской системе количество возможностей, разных вариантов.и частных случаев сильно возрастает.
Помимо учета различий в структурах подрешеток и различного типа анизотропий взаимодействия 1(г; — г ) появляется возможность рассматривать случаи, когда векторы намагничения подрешеток Мх н Мв не лежат на одной прямой, а если угол между ними равен не я, а несколько меньше, то результирующее намагничение М = Мл + Мв, направленное почти поперек намагниченностям подрешеток, не компенсируется даже в случае !Мх( = !Мв(.
Кроме того, реакция системы на внешнее поле Н начинает зависеть от его направления, так, например, продольная реакция (Н )! Мх) по своему характеру та же, что и у изинговской системы, а поперечная (Н.1 Мх), связанная уже с поворачиванием векторов Мх и Мв в направлении вектора Н, оказывается уже иной. Мы не булем здесь рассматривать этих интересных, но все же прикладных вопросов, ограничиваясь в дальнейшем рассмотрением только нзинговской системы.
Приведем для нее основные формулы: х(вх«х;л=~ «1 — Г«* — ~;;,). (рН 1 1«О б,'з нз = — В!пЯ, М= — — ' = 7 7 )уп; — е ' ~~ =1»15сг, где суммирование при расчете статистической суммы Я производится по всем возможным наборам (сг;) = (п„пп..., ьгк), состоящим из плюс и минус единиц и где в ферромагнитном случае (все узлы решетки эквивалентны) т = о«, а в случае антиферромагнетика (две подрешетки с эквивалентными узлами) и = (1/2)((ву)х + (е;)в) = (1/2)(ах + пв) 3) Бинарные сплавы типа замещения Это сплавы типа СцАц, ХпСц, геСо, геСг и т.д., в которых одни атомы не «похищают» электроны у других, как а случае ионных кристаллов типа !Ма+С! н изменение энергии, связанное с обменом местами атомов сорта А и В, невелико и может быть порядка температуры е. Такие сплавы могут быть не обязательно 50-процентными, могут быть сплавы типа СцзАц и т.д, Мы будем полагать, что взаимодействие атомов таково, что при е = 0 осуществляется упорядоченное их расположение антиферромагнитного типа, когда ближайшим соселом атома сорта А являются атомы сорта В и наоборот.
Это состояние фактически изображено на рис.!40, где значение а; = +! в узле надо сопоставить с атомом типа А, а значение о; = — 1 — с атомом типа В. Свяжем теперь двоичный язык чисел заполнения ячейки каким-либо атомом и; = О, 1 (нет — есть) с изинговскими символами <т; = +1, — 1 (вверх — вниз). Имеем с учетом двух сортов атомов 1 + о ( ! — в узле 1 находится атом сорта А, 2 ~ 0 — в узле 1 нет атома сорта А, 1 — т' ~ 0 — в узле в' нет атома сорта В, 2 ( 1 — в узле ! находится атом сорта В, 338 Глава 3.
Слгалгцслгичесхал механико неидеальных равновесных сислгем Впедем формальное «намагничение» рассматриваемой системы д!пС М = гзГтп = о д)з 4) Модель решетчатого газа К дискретной системе с двоичным способом фиксации состояния в каждом узле пространственной решетки можно свести некоторые физические системы, не являющиеся по своей природе изначально дискретными. Рассмотрим один пример такого рода, связанный с расчетом (или оценкой) статистического интеграла классического неидеального газа: «=го= [и;~",ч'] 7'-~(г — ' у; «в,—;вг)»'".'»" !<г<з<у Идея упростить конфигурационный интеграл С~, разбив координатное пространство на отдельные ячейки, возникла в теории жидкого состояния (см.
задачу 24). В плотной системе, когда среднее расстояние между частицами соизмеримо с их диаметром. каждая частица находится как бы в ячейке, образованной отталкивающими потенциалами соседних молекул (т. е, как бы в потенциальном ящике). В таком подходе много феноменологии: сложная и все время меняющаяся форма ячеек заменяется сферой некоторого эффективного радиуса, движение внутри ячейки считается свободным, взаимодействие между частицами из «соседних» ячеек не учитывается или аппроксимируется каким-либо примитивным способом и т.д.
В связи с этим ячеечная модель' жидкости не получила значительного теоретического развития. Рассмотрим теперь близкую по физической идее к феноменологической ячеистой аппроксимации конфигурационного интеграла модель решетчатого газа (уагггсеуаз — «газ-решетка»). Рамом то = Р/Мг, образующих правильную прас разметим лг частиц системы (2гг < гр) по этим х Рис.141. Схематическое изображение пространственного расположения частиц в решетчатом газе.
Взаимодействие частиц, находящихся по отношению друг к другу в 1-й координационной сфере, обозначено сплошнымн линиями, во 2-й — пунктирными. Число ячеек гр = 1а, число частиц гт' = 7 зобьем область У на Вг ячеек объе странственную решетку (Вг), и Тогда соотношения д! и С' г"гг д 1и С' ггт 7Ул = Р— = — (1+ пз), 7Ув —— д = — (1 — пз) д7«л 2 язв 2 в которых впеденная выше величина т определяется заданным составом сплава, будут служить уравнениями для определения химических потенциалов узл и узв, которые затем надо будет исключить из получаемых с помощью термодинамического потенциала й = — и 1и С выражений дпя макроскопических характеристик системы.
Таким образом, учет микроскопических движений, связанных с обменом местами атомов сорта А и сорта В, полностью и без каких-либо феноменологических включений укладывается в изинговскую схему антиферромагнитного типа (мы положили, что лля ближайшихсоседей 1(з, т) > О; в противном случае сплав при д - О просто разделится на две чистые фазы А и В). З 2. Введение в спгагпоапоческую гпеарою доскрегпных спален 339 ячейкам (не более чем по олной; рис.141). Частицы, нахоляшиеся в узлах (КД решетки, как бы неподвижны, поэтому их взаимодействие друг с другом Ф(В) аппроксимирустся ступенчатой функцией Ф(т, у) (рис. 142), причем взаимолействие ближайших соседей имеет характер притяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
