Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 78
Текст из файла (страница 78)
С увеличением 2» аргумент основной экспоненты в Р,» становится малым, и парная корреляционная функция приобретает форму Рм(г») М 1 — — е = Р.Гь+ е/.», ДОВ» мл В2! ауайяшрр»ую критервр,а г»/е», м < 1, кспззрь!й р4аюической,трчки зрения явля-, ется, по сушеству, основным при построении разложения по степеням параметра е = е/гр. 3 ,г»!трбы определить, что дает получен)»цй результат.для термодннамнческих характеристик системы. мзспользуемся формулой лля Й,, полученной в задаче 1.
324 Глава 3. Сташисашчегхая механика неидеальных равновесных слслгем Ф Имеем !т /' ез Р+~(В) + Р (В) — 2Р, (В) 2яез /" ( ез „л 4 вч Это точно тот же результат, который мы получили н довели до окончательного вида в п.д)-2), и поэтому нет уже никакой необходимости в его дальнейшем рассмотрении. Ограничимся в связи с этим только общими замечаниями относительно проведенного здесь исследования. Использованный метод решения уравнений Боголюбова не является строгим в математическом смысле: не все выражения разлагались по параметру е, в частности величина С,ь разлагалась, а функции и считалась фиксированной. Метод был основан на интуитивном подходе, выработанном нами при предварительном рассмотрении в п.д) — 1), а также в разделе г) этого параграфа. Полученная формула Рз = ехр т — Ф/д) является по существу интерполяционной, она в обшей экспоненциальной структуре объединяет физически осмысленные выражения для д) в случаях малых и больших В. В первом случае при В ( гп мы имеем вполне разумный с точки зрения идей короткодействия результат Гз(В) = ехр(-Ф(В)/д), и в этой области разложение по параметру е бессмысленно: условие Ф(В)/д = еф < ! не выполняется, наоборот, имеем Ф(В)/д Ъ 1.
С увеличением В корреляционная функция приобретает внд -хл Гт И 1 — — г д т.е. будет специфически плазменного типа: единица — это нулевое приближение в теории самосогласованного поля, когда Рм = Р,Рь = 1, а поправка к ней пропорциональна плазменному параметру е. При малых же В это выражение бессмысленно и может даже принимать отрицательные значения. Строгий подход к проблеме довольно сложен в математическом выражении, но прост идейно: это проведение последовательной программы разложения по параметру е.
Первую поправку в таком чистом разложении мы фактически уже получили. Действительно, прн таком псшходе необходимо положить Ф = О, тогда Р„ь — — !+еды, пРичем УРавнение ллЯ д„ь(В), котоРое мы полУчили выше пРи любой форме О и в котором теперь необходимо вычеркнуть все функции ф, будет иметь вид Это то же самое уравнение, что и решенное нами для За, если только заменить ф,ь - -д,ь! таким образом, соответствующий первому приближению по плазменному параметру ответ у нас уже есть: дхь(В) = — — е ДаЧь -хл В Как мы уже указывали, эта поправка содержится в полученном нами решении лля Рз как предельный случай больших В.
е) Корреляционные функции в классической теории твердого тела. Понятие о квазисредних В предыдуших разделах этого параграфа мы рассматривали пространственно однородные системы типа газа или жидкости, для которых результат Р~ (г) = сопи = ! 325 в 1. Классочесное идеальные соалеиы был памятен как с формальной, так и с физической точек зрения. Между тем система (в нашем рассмотрении классическая), характеризуемая гамильтанианом 2 Н(Р, д) = ~~~ — '+ ~~> Ф(1г; — гг~), ьы ! <1<у<я может образовывать также и пространственно упорядоченные состояния — кристаллическую фазу, для которой распределение плотности числа частиц является периодической в координатном пространстве функцией, а не константой.
В данной ситуации существенно то, что гамильтониан Н(р, д) вырожден по отношению к трансляциям системы как целого — он не изменяется при одинаковом сдвиге г; — г; + гь координат всех частиц системы. При расчете же средних значений с помощью канонического распределения ги(р,9) ° ехр (-Н(р, д)/й) интегрирование производится ло всем расположениям гм..., ги. Поэтому, если система при данной температуре и плотности спонтанно упорядочилась, то вследствие равновероятности всех характеризуемых одним и тем же значением Н(р,9) расположений возникшей кристаллической решетки усреднение по этим расположениям автоматически приведет к результату 8) (г) = 1.
Если же строить кристаллическое состояние от предварительно пространственно зафиксированного затравочного центра, как это реально происходит в природе, когда кристалл растет от зародыша или от стенки, то такой подход — это уже вопрос кинетической теории, в равновесной же гиббсовской статистической физике равновесное состояние рассматривается как уже готовое и не зависящее от предыстории его возмикновения и негарантированных теорией приграничных обстоятельств. В связи с этой трудностью, возникшей вследствие вырожденнасти гамильтониана в данном случае по отношению к трансляциям, а в общем случае— и по отношению к вращениям (см.
8 2) и другим преобразованиям гамильтониама, Н. Н. Боголюбовым в 1961 г. была сформулирована концепция квизисредних в задачах статистической механики. Применительно к нашему случаю процедура введения квазисредних заключается в следующем. Введем в гамильтониан Н(р,9) взаимодействие частиц с внешним периодическим полем: иУ(г) = и ~~ м(г — К,), ° =! имеющим структуру одной из возможных для данного взаимодействия частиц Ф(го г ) решеток (1Ц (для центрального взаимодействия Ф(1г; -г.~) — это структура плотной гексагональной упаковки, характерной, например, для аргона), Несмотря на то, что интенсивность фиктивного поля может быть произвиьно мала, вырождение относительно трансляций системы будет снято, и сдвинутые относительно друг друга состояния уже не будут равнавероятными. Произведя все необходимые вычисления с этим новым гамильтонианом, а затем выключив это фиктивное пале совсем, мы получим периодическую структуру системы, в частности и периодическую сгрчктуру распределения ло координатам гв(г) (если, конечно, система действительно проявила тенденцию к самоорганизации в упорядоченное состояние, а не рассыпалась в газ при выключении затравочного поля Ег(г)).
Так полученные в равновесной гиббсовской статистике величины Боголюбов назвал квазисредними. Используя теперь вместо средних понятие квазисредних, мы можем рассматривать в случае возникмовенна пространственной упорядоченности уже нетривиальную одночастичную функцию Е',(г), условно изображенную как одномерная на рис. 138 326 Глава 3, Гаал!исптичесяал ивталнна нети«еельммл равловесньи спслтеи Рис.
13В. Характер периодического распределения плотности числе частиц пг"!(т) в кристаллической струк!ура'(толстая линия) н зффектнвното периодического' поля гт(т), возникающего вследствие взаимодействия частиц друг с другом (тонквя линия) в вида периодически повторяющихся достаточно острых неперекрываюшихся мак- симумов (в гл.2, В4, п.б) мы показали, что вплоть до температуры плавления отношение'ширины максимума 6 к постоянной решетки а составляет величину порядка 6/а ° 0,1).
Эту структуру функции л!(г) можно представить в виде лт .,г!(г) ~ ч«кз(г — В!), в=! где (Вг) — узлы кристаллической реп1етки, а ь(г) — некоторая размазаннйя около ' нуля своего аргумента функция с нормировкой 1 Г 1 à — ~ Ь(г) дг — / зт! (г) !)г = 1 е р/ ' (если частицы строго локализованы в узлах решетки,то Ь(г- В;) = е 6(г — В;)). Эта' периодическая структура г!(г) может быть с физической точки зрения истолкована. как следствие возникаюшего эффективного поля Ф сг(г) = ~~! и(г- В;), 1 з=! создаваемого суммой взаимодействий частиц друг с другом (цель введения затравоч- ного внещнего поля исГ(г), и — О, как раз и состоит в том, чтобы, угадав нз обши».
соображений структуру кристаллической решетки (В!), удержать ее от смешений при прояедении усреднений, чтобы не размазать эту самоорганизуюшуюся перио- дическую структуру равномерно по всему пространству). В случае, когда частицы точно фиксированы в узлах решетки (В!). поле, создаваемое неподвижными со- селями (в с)сводном, ближайшиВи),,а окрестности.узла )))е =,О, будет складыватзса из потенциалов парного взаимодействия частиц: 0,(г) =,,'«,Ф!(г-В,), ! ! , ",. 4,1;. Какгяявсяие идеальные саатвелы где в качестве функции Ф может фигурировать. например в случае аргона, потенциал Ленарда-Джонса.
Однако частицы, располагающиеся около узлов решетки, не неподвижны, они участвуют в общем тепловом движении. Поэтому Ь-функция— это не дираковская б-функция, ее структура должна быть определена методами статистической механики. В качестве исходного момента такого определения может служить уравнение лля одночастичной функции распределения Г,(г), получающееся нз уравнения для м(гн..., гл) как первое уравнение цепочки Боголюбова (см. п. в)): дГ!(г~) 1 Г дФ(г~ — гз) в — +-! Гз(г~ Зг) багз 0 бгь е / Лгь 1 1 которое уже не является тривиальным, как в случае газа или жидкости, когда Г~ (г) = 1 и Гз(гн гз) = Щг~ — гз!). Присоединение к этому уравнению также и следующих за ним — дяя парной корреляционной функции Г,(гн гт) н т.д.
превращает проблему отыскания решений для Г~(г) и Гз в задач!г непомерной сложности. Ограничимся в связи с этим полуфеноменологическим уровнем исследования складывающейся ситуации. Одной из таких возможностей дальнейшего исследования системы является использование идей и приближения самосогласованного пола в теории кристаллического состояния (С. В, Тябликов, 1947; И. П. Базаров, 19бб). Действительно, каждый атом рассматриваемой системы даже в случае, когда кристалл не ионный и потенциал Ф(!г<-г '1) является короткодействуюшим, взаимодействует сразу и приблизительно с олинаковой интенсивностью со своими соседями по решетке, которых достаточно много; например, в обьемно центрированной кубической решетке — 8 ближайших соседей, в гранецентрированиой кубической, а также при плотной такса!опальной упаковке — 12 (в следующих за ближайшей координационных сферах число частиц значительно увеличивается), т.
е. каждая частица находится в поле, создаваемом целым коллектрвом частиц из близлежащих узлов. Поэтому вие той области, в которой парная корреляционная фуикци» Гз(гнгз) равна нулю вследствие конечности размеров самих частиц (эта область значений ~гз — г~~, сравнимая с диаметром ионов 2га = 4, имеет несколько большую Ие эффективную величину а — Ь; см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
