Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 76
Текст из файла (страница 76)
По физическому содержанию эти формулы, определяющие вероятность нахождения частиц олинаковых и разных знаков на расстоянии В друг от друга, совпалают с корреляционными функциями Р~+(В) и Р+ (В), но с лругой асимптотикой при В - оо (см. рис.!35). Оценим теперь также на уровне макроскопического рассмотрения потенциал !р(В) в области чисто кулоновского взаимодействия В > 2го (в области О < В < 2го нам заранее известно, что у(В) = Ф(В) = +со), воспользовавшись для этого урав- нениями электростатики. Помещая заряд д в начало координат, имеем уравнение Пуассона для 13(В): Ьу(В) = -4яр,(Л) = -4яоб(Л) — 4яе(п+(В) — и (В)).
Используя полученное выше представление лля пь(В), получаем нелинейное урав- нение Ьр(В) — 4я — зЛ вЂ” = — 4а о б(К), е еу(Л) о интересуюшее нас в области В > 2га, решение которого лолжно по физическому смыслу удовлетворять дополнительным условиям !3(В)$„,„= ~~ и ДВ)$„„„а. 2ге Не умея решать такие нелинейные уравнения аналитически, рассмотрим частный случай, когда во всей интересующей нас области потенциальная энергия Уь(В) = жег(В) значительно меньше средней кинетической энергии ионов -д, т.
е. рассмотрим случай е~р(В) «1, 2го<В<оо. 315. б 1. Классические идеальные сисгпеиы Тогла л!з (е!о/д) й еу/д, и уравнение для ог линеаризуется, приобретая вид г- 4тгег Ьзр — к у) = — 4лоб(К), к до Это уравнение решается элементарно, если рассматривать его во всем пространстве К (включая и нефизическую лля нас область (К( = В < 2го). Действительно, переходя к представлению Фурье !р(В) = — Фье' Ж; б(К) = — 1 е' "т!Й, (2л)з Г ' (2я)з / получаем алгебраическое уравнение (Йг+к )Фа =4л)т, откуда сразу следует для фурье-образа эффективного потенциала 4к гг Ф = а г гт, и нам остается только перейти снова к К-представлению.
Используя сферические координаты, имеем р(В) = — Й с!Й г!у) е'а ~' л!пдг!д. (2тг)з / !сг+ кг,/ о о о Интегралы по углам д и р берутся сразу: к з 2тг ~ ез " ' к яп д т!д = 2я / етьл* д с = — яп 1гВ, ЙВ и мы, учитывая четность получаюшейся подынтегральной функции по отношению к замене Й вЂ”, — Й, можем записать оставшийся интеграл по переменной Й в виде двустороннего по област4т — оо < Й < +со еек тн ! 1 Г г 4лд 4тг ЩВ) = — — / Й дй — япЙВ = 2 (2„„)з З( Йг+кг /„,В О Й тк )т ! еталй г!Й = — 1ш— ) В я,/ (Й+ тк)(Й вЂ” (к) Рис.
136. Замыкание кон~ура интегрированна при расчете эффективного потенгде мы восполышвались фоРмУлой ЭйлеРа инала р(В) япЙВ = 1тета" и разложили знаменатель на простые множители, Йг + кг = (Й+ ис)(Й вЂ” вк), чтобы выявить полюсную структуру полынтегральной функции (рис. 136). Так как при Й вЂ” оо подынтегральная функция ведет себя как е""/Й, причем у нас всегда В > О, то согласно лемме Жпфдана интеграл по верхней полуокружностн„замыкающий путь интегрирования по.действительной оси, при !Й( - оо обрашается в нуль. Подсчитывая вычет в тряке Й = тк, имеем 1, е ""тк 2тгв, = те ", тг 2!и 31б Глава 3. Саатосл2ичесхая механика неидеальных равновесных систем откуда следует окончательно 1 /4хе2 гр у' Ое Ч -л Ч -л~   — Г е е(п4В) — п-(В))Ж Р,=~' В Точно такая же средняя энергия взаимодействия характерна и для отрицательного иона в силу симметрии рассматриваемой системы по отношению к замене знака е — е.
Однако, умножив эту величину на общее число ионов тт', мы учтем каждое взаимодействие частиц друг с другом дважды, поэтому, вводя корректирующий множитель —, для средней энергии взаимодействия частиц друг с другом получаем известную из электростатики формулу Ф Г еэ(пч(В) — и (В)) Й, = — ( ' ИК. В Переходя к сферическим координатам и подставляя полученный в п.
1 результат для пл(В), имеем А О е2 1 Й, = — — / 4хВ.4 — — з12 2/ ' Во д это оэ (В) Этот результат был получен Дебаем (Р. 13еЬуе, 1923), рэдиус экранировки гр — — !/н называется дебаевским, общий характер функции й2(В) пРедставлен на Рис, 137: пРи В < 2го— бесконечное отталкивание, 12(В) = +оо; при 2го < В < гр — кулоновский потенциал, Ч 1о(В) = О/ — результат, который нам авто- --.В магически дает само уравнение Пуассона с точечным источником поля в точке К = О; при В ) гр — экспоненциальная экранировка поля, О 2го 'о создаваемого зарядом а, обусловленная диэлекРис.137.
Общий характер зависимости трической реакцией окружающего заряд иониот Н дебаелското экранированного по- зованного газа, Так как в рассматриваемом нами тенциэла чт(Я). Оунктирои обозначен нерелятивистскомслучаевкачествезарядаамоискодннй купаловский потенциал жег фигурировать какой-либо из ионов системы, а = ~е, то мы прихолим к выводу, что эффективное поле, лействуюшее между частицами системы, как и предполагалось в обшей посылке, имеет конечный радиус действия: хаотически двигающиеся вокруг выбранного заряда другие ионы всем своим коллективом экранируют его поле, как бы насыщают взаимодействие отдельных частиц системы, сводя его до нуля при В ) гр.
2. Термодинамические характеристики. Сохраняя общую полуфеноменологическую идеологию предыдущего рассмотрения, опрелелим среднюю энергию электростатического взаимодействия, например, положительного иона а = +е со всей окружающей его средой, используя известные формулы электростатики. Так кйк дифференциально малый объем системы 4К, расположенный на расстоянии 'В ог положительного иона, песет заряд е(п+(В) — и (В)) Ж, то его средняя эиергйя кулоновского взаимодействия с такой размазанной средой будет равна 317 э 1. Классочесние одвальные сосглемы Чтобы воспользоваться дебаевским результатом для !Т(Н), мы должны учесть, что он был получен нами в приближении ер(Н)/В ~ 1 для всех Н из интервала 2га < Я < оо, поэтому, заменяя под интегралом гиперболический синус на его аргумент, будем иметь г' 2яез ез л 2яе4 1 Н~ — -2!à — — е ДН вЂ” -!!à — — е е Ви и 2п или, учитывая, что х е, и удерживая лишь поправку, содержащую низшую степень заряда е, окончательно получаем, подставив значение х, з Н~ е-кЧ вЂ” е.
Чв Сразу обращает на себя внимание специфичность полученной зависимости Й| от константы, характеризующей интенсивность взаимодействия частиц друг с другом: в то время как в исходном гамильтониане энергия взаимодействия Н~ —— ~ Ф,~(~гг — гз !) ° е — де - д г з (мы, как и раньше, ввели условный параметр 9, Ф(Я) - ВФ(Н) или е — де~, который как раз и характеризует интенсивность взаимодействия частиц), лля среднего ее значения мы получили Й~ е — д"~" е д"~ .
.Таким образом, полученный результат не есть поправка на взаимодействие по теории возмущений — такого рода поправки давали бы члены, пропорциональные д, дз н т.д. Здесь же, получив по существу неанапитнческую зависимость средней энергии от константы взаимолействия, мы даже формально не можем представить полученный результат в виде разложения по целым степеням д (в отличие от результатов для систем с короткодействием, где Уг(н) = ехр (-ВФ(и)гв) — 1 = — 9Ф(н)/В+..., 91 -д и т.д.).
Для саободной энергии в соответствии с полученной в Э1, п.б) формулой имеем, заменяя е — /д е, ! 1 — (9Ю = 1!Г е д ад или в расчете на частицу 2 1Г 3 г(в о) = го(в>о) — -Ч вЂ” е, зЧви откуда для уравнения состояния получаем д,т(в,а) В е' Гя 1 р(в,е) = — — ы — — — Ч вЂ” — +..
де —. ЗЧВ взл Калорическое же уравнение состояния следует из полученного выше результата для Й,: ~~(в, ) = — ~ев(В) — Й,~ =— дв ~ 2!г,г 2 2ВЧво З(8 Глава 3. Статистическая механика неидеальных равновесных сиолвм 3. Эффект экрвиироввиил в вырождением электронном газе. Заметим, что проведенное в и. 1 рассмотрение проблемы экранирования, не связанное явно с функциями распределения, нечувствительно к тому, вырождена система в статистическом смысле или классична. Мы использовали «классичность» системы только в момент выбора функции р(Е, и). Этот выбор можно и изменить. Остановимся на интересном с практической точки зрения использовании качественного подхода в системе типа металла, где отрицательными ионами являются электроны (вырожденный газ, см.
гл. 2, б 2, п. в)), а положительными — ионный остов кристаллической решетки. Чтобы не учитывать динамики этого остова, не играющей главной роли в рассматриваемом вопросе (он состоит из относительно тяжелых по сравнению с электронами ионов, подвижность которых ограничена еще и пространственной их локализацией по узлам решетки)„заменим его равномерно размазанной средой с плотностью заряда рь — — епо — — еХ/тг (модель «желе»), в целом компенсирующей электрические заряды -е двигающихся в этой среде частиц электронного газа. Полагая, как и в п.
1, этот газ идеальным и пренебрегая температурными поправками, можем положить ,и= — (Зв и) =ев1 — ) г/з 2пь па гле /1/ ! Д2 /У 2/3 по = — = —, ер = — Зов тг о' 2пь ь, в/ Условие равновесия электронного газа в ноле ГГ(Н) = -еу(Н) заряда д, помещенного в точке К = О, запишем виде р(Н)+ ЩН) = р(со) = св, ев ~ — ) — ер(Н) = св, /п(Н) ~ "з пь что дает вместо больцмановского распределения, характерного дая невырожденного случая, формулу совсем иного типа (см.
для сравнения гл. 2, задачу 10): 1+ ер(Н) Линеаризуем, как и в п. 1, уравнение Пуассона ььр(Н) = -4з'д б(К) + 4ве(п(Н) — па). Полагая ер(Н) / 3 ер(Н) з ~1, .(Н)св ~1+ ев 2 св,/' получаем точно то же линейное уравнение, что раньше, но с другим параметром из: 2 ба ез Ь[о(Н) — ктвДН) = — 4кд б(К), игр = овв которое имеет решение (Н) ~ е «»«~ ~ е /г/««« Н Н Этот результат был получен Томасом и Ферми (!..ТЬошаа, 1926; Е. Регин', !927), радиус гтг — — 1/ктр называется томас-фермиевским радиусом экранировки. Полученная формула по существу является интерполяционной: в области Н < гтв (даже там, 310 б 1.
Классические идеальные системы тле линеаризация уравнения Пуассона становится незаконной) она в силу структуры самого уравнения с дельта-функцией в правой части дает правильный результат, соответствуюший кулоновскому потенциалу й>(В) = д/22, а в области Л > ез/еи справедлива полученная нами формула для экранированного потенциала 12(Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
