Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Исходным моментом для построения системы уравнений для функций, Р, является дифференциальное уравнение для ген(гн...,гл). Так как все частицы в рассматриваемом нами случае одинаковы, то, дифференцируя экспоненциальную функцию, например, по г', (а = в, у, х), получим —,= — ле ' ~ — — —,/1 = — -вж —, г Ф(!г; — гф, аг, др (, В бе.,) Е Вг;, ~;„ или Ою„ — + - ыл — <з Ф(!г1 - гт!) = О. Ог~ в пг~ зк .<л В пространственно одноролном случае одночастичная функция Г! нам уже известна, г1(г) = 1, поэтому начнем с вывода уравнения дяя Рз(гн гз). Умножая уравнение для ыл почленно на г з и интегрируя по переменным гз, ..., гл, получим В, Г ! ОФ(1г,-г,!), / — ~' / млйгз "Й'л+ — )г )! гел4гз" агл+ дг" ,/ 9 дг< 1 з / ОФ(~г~ — г,~) +-г~ юл багз ... 4гн = О.
э<1<и Интегралы в первых двух слагаемых сворачиваются в функции Ез(гп гз), а третье, учитывая, что в силу симметрии функции зал по отношению к перестановкам ев аргументов в нем (йà — 2) одинаковых слагаемых, отличаюшихся лишь обозначениями переменных интегрирования, можно записать в виде ОМг! — г~1) 3 ~' — у Нг 1г / гея ьгз,. ° агу — ! Игуч~ ... Йгл ВУ ~~1 ° д$а зяу,л ! 1У вЂ” 2 / ОФОГ$ — гз1) = — — у пгз гз(гн г2, гз).
д У,! Ог', Переходя к пределу 1т — со, в = У/Л! = сопя!, получим уравнение для Рз(~г~ — гз!):,. ИЪ((г~ — гз!) 1 дФ(!г1 гз!) ОФ(!г~ — гз1) дг р дг" + ЕЪОг! — гз!)+ — — у 4гз Ез(гнгмгз) = О, д ез бг~ '306 Глава 3. Столзослзичесхоя механнха нендеальных равновесных сноззем в интегральный член которого входят трехчастичная корреляционная функция з'з(гз, гз, !'З). Желая получить уравнение лля гз, мы должны умножить исходное уравнение для Гон на г'з и проинтегрировать по переменным гы..., гн. Тогда„производя аналогичные предыдушему действия и учитывая, что по переменным гп гм гз интегрирования не производится, получим, полагая з = (1, 2, 3) и а = (я, у, х), д~з(гз, гз !'З) 1 д дтв в дгв + — — (Ф()гз — гз!) + Ф()г, — гз)) + Ф(!гз — гз!))Ез(гз, гз гз) + 1 ! Г дф(зг г4!) + — — ВГ4 р4(гз,гпгз г„) =О.
в У дг,' Не продолжая процедуры построения следуюших уравнений, мы на примере полученных выше двух обнаруживаем чрезвычайно характерную для всей статистической механики неидеальных систем ситуацию: уравнения лля корреляционных функций (или их модификаций, а в квантовой статистике для корреляционных статистических операторов) образуют цепочку. Эти уравнения не замкнуты: каждое уравнение лля В, содержит в интегральном члене функцию Р,,з, так что решению этих уравнений должна предшествовать процедура расцепления цепочки, так чтобы оставшаяся группа уравнений оказалась бы замкнуюй.
Универсальною рецепта проведения такой операции нет, она производится по-разному в зависимости от типа рассматриваемой системы и физических условий, в которых она находится. В следующих разделах данного параграфа мы рассмотрим два характерных примера такого исследования (см. также $ 2 в разделе дополнительных вопросов), г) Классические системы с короткодействием Рассмотрим систему, в которой среднее расстояние между частицами а .
зг ЗГ/!!Г 3/ значительно превышает радиус взаимодействия Во. Подобная ситуация не является исключительной, она физически оправдывается для не очень плотных систем типа газа (напомним, что среднее расстояние между частицами газа при нормальных условиях з/7р/лго 33,4 А, в то время как радиус взаимодействия нейтральных молекул составляет всего несколько ангстрем). Обратим внимание, чта область интегрирования по переменной гз в интегральном члене уравнения для Рз авилу наличия под знаком интеграла функции Ф()г, — ГЗ1) имеет размер порядка Во з и поэтому ! 1 ! дФ(!Г1 — Гз!) Воз / ВГЗ з'З(ГП Г21 ГЗ) в / дг' и Используя отношение Воз/в «1 в качестве малого параметра разложения (ввиду сложившейся традиции будем писать его без Вз как плотность 1/в = и), мы можем построить регулярный метод решения уравнений, полагая Рз(г~ гз) =«з +-гз + гз(гз гъгз) =лз + .
!о! ! и! <о! С точки зрения уравнений Боголюбова процедура построения решений в виде разложений по степеням плотности 1/и, традиционно называемых вириальными, в силу их конструкции представляет собой метод последовательных приближений. Покажем, каи он работает, если ограиичитьея только 1-й вириальной поправкой к парной корреляционной функции Рз(В).
В этом случае система уравнений лая Е, 1, Е', и В, оказывается замкнутой: мы получаем. подставляя написанные 307 э 1. Классические идеальные системы выше разложения для Рэ и Рз в уравнения цепочки Боголюбова, два однородных уравнения для определения этих функций в нулевом приближении: дР2 (>Гг — Гэ!) ! ОФ(>гг гэ!) (оэ(!г д + й д а Рэ (!гэ — гэ!) = О, т, дР(3(г„г,г ) ! д(Ф(!г, — г !)+ Ф(>г — г !)+ Ф((г — гэ!)) Ф! д .а 3 г г + д дг.
Р3 (Г„ь„ГЗ) 0 г ! и одно неоднородное линейное дифференциальное уравнение для Р (гэ, дР2 (>Гэ — Гз!) 1 дФ(>гг — гг!) (О 1 )' дФ(>гг — Гэ!) (о! до +р да Р2 (>Гэ 2!)+(3/ да 3 (гг зг 3) гэ г г э к которым надо добавить граничные условия в виде условий ослабления корреляций Рэ(>гэ — гэ!) !1, 1 — 1 Рз(ггг гэ, гэ) > — Рэ(!гг — гэ!). (гг-г~( ог 1гг-гг( со У равнения нулевого приближения, будучи Ф(В) простейшими дифференциальными уравнениями, решаются сразу.
В соответствии с написанными выше граничными условиями константа интегрирования С, которая после потенцирования превращается в предэкспоненциальный О множитель, должна равняться единице, и мы получаем Р (В) 2 (01 г Ф(!г! Г2!) 1г 1 Р, (>Гэ — гэ!) = СехрХ— д Рз (ГггГ2, 33) = ех13 ~ — — (Ф(>Гг — Гэ!) + (3 + Ф(!гэ — гз!) + Ф(!Гэ — гэ!)) О г(а В Рнс.133. Графики потенциаяа взанмо- Прежле чем заниматься дальнейшими при- действия частиц друг с другом Ф(В) и ближениями, обсудим уже достигнутый резудь парной корреляционной функции в нулетат. Во-первых, сразу обращает на себя вни- вонР, (В) нпервонР2(В) =Р, (В)+ (аэ (оэ мание полученная нами больцмановская кон- пР, (В) приблизкенияк по плотности (в струкция для вероятности обнаружить одну час- и = 17о тицу в поле Ф(В), создаваемом другой частицей, на расстоянии В = >г, — гэ! от нее, Р( 3(В) = ехр ( — Ф(В)/(Э) (рис.!33), т.е.
в этом приближении каждая пара частиц системы коррелирует друг с другом так, как будто других частиц в системе нет: полученное приближение, соответствующее пределу низкой плотности, не учитывает индуцированного другими частицами вклада в корреляцию рассматриваемой пары частиц.
С точки зрения этой независимости корреляций пар частиц понятна и полученная конструкция для Р (гь гэ, гэ), (оэ 308 Пава 3. Гпюмистическая неханина неидеальных равновесных сиса!еи прелставляюшая собой произведение независимых вероатностей для расположений каждой из составляющих тройку (гп гм гз) пар частиц: 2 3 (гп г21 гз) йт (!г3 г2!)йз (!г$ гъ!)Рт (!гз гз1) Заметим, что эта оправданная в пределе низкой плотности и физически понятная конструкция, называемая часто тернарной, перенесенная на полные функции Е~ и 2гз, служит основой для построения так называемого суперпозиционного приближения в теории неидеальных систем (см.
задачу 12). 1о1 Во-вторых, нулевой порядок для корреляционной функции Р (В) отличается от тривиального результата лля идеального газа Ет"'(В) = ! и поэтому содержит физическую информацию о неидеальной системе, определяя первые вириальные поправки лля ее термодинамических характеристик. Имеем сразу в соответствии с формулами п. 6) е(В,и) = — В+ — у Ф(В)е 4яВ ВВ+ — ..., 3 1 -о!яре 2 2в,/ 9 о 1 сг(В,в) = — + — / Ф (В)е ~ 1~ 4оВ ВВ+ — ... 2 2вйз / Э о Для расчета величины Ь,г(В, е) = у(В, о) — го(В, о) необходимо произвести допол- нительное несложное интегрирование по параметру включения взаимодействия Вч Ь7 = — / Ф(В) / дй ехр ~ —  — ~4яВ ВВ+ — ...
= 2/ / с( В1 9 о о = — — / г(В)4яВ ВВ+ — з ..., В Г 2Э о о где мы ввели общепринятое обозначение для так называемой функции Майера (более подробно см. 5 3 раздел» задач) ,г(В) = е 1л'~ — 1. В соответствии с результатом для Ьу имеем для уравнения состояния газа м и д — = -- — (~о(а,ю)+ЬУ(В,в)) = 1 — — / ~(В)4яВ дВ+... = 1 — — Д+..., ' В Ври 2и / 2и о где величину м Д(В!Ф) = ДВ)4яВ~ ВВ„ о определяющую первую вириальную поправку к уравнению состояния газа, называют первым непривадимым ингпеграяам Майера. Рассмотрим полученный лля уравнения состояния результат лля упрощенной модели потенциала, когда Ф(В) = +оо при О < В < до и — Ф(В) = У(В) > О для 309 ' э !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
