Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 69
Текст из файла (страница 69)
?+д Рис. 124. Схема трех ячеек даухатомиой линейной гармонической цепочки: (...Бг,...) и (...и,...] — отклонения масс М и тп от своих равновесных расположений (... а,...) и [... а, +?ь...) соответственно, а — постоянная одномерной «решетки», К и и— константы «аиугреиией» и «анемией» упругих связей Решение. Схема рассматриваемой цепочки со всеми обозначениями при»елена на рис. 124. Благодаря наличию связей между ячейками внутриатомные» колебания в них уже не локализованы, а участвуют в обшей динамике цепочки.
В отличие от предыдущего одноатомиого варианта мы теперь имеем систему двух связаннмх уравнений для описания дви?кения масс в я-й ячейке: 286 Задачи и дополнишельные вопросы н главе 2 вил которой лаже без всяких вычислений достаточно легко представить (рис, !26) на основе графика лля ы(й) (рис. !25), соответствует дебаевской конструкции 7«(и) с отдельным зйнштейновским выбросом у,(и) (особенно резком при К » н и М » гл) на,частоте и - и,, !> уе(ю) ,' Задача ЗЗ.
Показать, что плошадц ограниченная графиком теплоенкопи твердого тела С(д) и его йсимптотой С(оо) (см. рис.127), равна полной энергии нулевых колебаний кристалла 4. решение. Исходя нз формулы для энергии кристалла и его теплоемкости В=~ „(В)ВГ( ), С = / — ВГ(и), Г де,„(В) дд можем написать для заштрихованной плошади, учиты- вая, что срелняя энергия гармонического осциллятора е~(В)!«х В, Рис, 126. Плотнопь собственных частот в линейной двухатонной цепочке: 7,(и) — спектральная плотность акустических колебаний; у,(и) — спектральная плотность оптических колеба.
ний цепочки х д (С(оо) — С(В)) ВВ = / ЫГ(и) / И — ( — е«(В)). ВВ Рис. 127. Графическое определение энергии основного состояния кристалла, рассматриваемого в гармоническом приближении Г/де де(В) т 'гы Ех /(( ) -Е (В)~ВВ=Д вЂ” — — ~ ВВ»х [ (В)-,(В)У а о е е Взяв интеграл по температуре, получаем г)Г(и)е«(0) = Дь где»уа — энергия основного сосюяния кристалла (сумма энергий нулевых колебаний йи/2 лля всех нормальных колебаний системы). Заметим, что установленное нами свойство графика теплоемкости С(В) исходит из того, чю С(В) = дд(В)/дд и что при В - со теплоемкость выходит на константу С(В) - С(оо) = сонм, и со- 0 вершенно не зависит от выбора модели (дебаевской, эйнштейноаской или какой-либо другой) для частотного распределения ИГ(и)/аи плотности собственных колебаний кристалла.
В связи с последним замечанием представляет интерес расширить тематику только что рассмотренной простой задачи и рассмотреть «проблему плошадей» дяя других систем, графики теплоемкости которых с ростом температуры также выходят на классическую асммптоту, а в вырожденной области могут располагаться целиком под ней, как зто имеет место для идеахьного ферми-газа (см. рис,45) и гармонических осцнллято.
ров (см. рис. 70), или пересекать ее, как в случае бозе-газа (см. рис. 54) или врвшательнога вклада в теплоемкость (см. рис, б9; интересно также сопоставить с рассматриваемой точки зрения различие в температурном поведении теплоемкостей ее и с,, изображенных на рис.!08), и т.д. Рассмотрим на плоскости сгл,(В)-В площадь Е, заключенную между графиком тепло емкости сгн(д) системы (для удобства — ее удельной величины) и ее предельным при В - со .классическим значением (стн) = сольц не зависящим от температуры. Так как (стн) = де/дВ, то лля величины этой плошади имеем 8 11. Твердое тело яая системе связанных осцилляторов 287 Подашя, что внутренняя энергия системы е = 4Г//4/ при неограниченном увеличении тем- пературы выше температуры вырождения до стремится к своему классическому значению, которое согласно классической теореме о равнораспределении пропорционально первой степени температуры, т.е. е(д)1в о «(сгл)»4 В = е 4(В), мы приходим к выводу (только что полученному для гармонической модели твердого тела), что эта плошадь равна е(0) — энергии основного состояния данной системы (так как (е, (д) — е(д))/»» 0 н е„„(0) = О), Е = е(0).
Этот результат выглядит особенно наглядно применительно к идеальным олноатомным газам: в ферми-случае (см. 8 2, п. в), рис.45) плошадь, ограниченная сверху прямой (сг„),„= 3/2, а снизу — графиком сгл(д), равна е(0) = з/вег, а в бозе-случае (см. 8 2, п. г), рис. 54), когда е(0) = О, график сгл(д) пересекает асимптоту (сгл) = 3/2 в точке В, й 0,849 Во, определЯемой соотношением 3/2 ге 1,92 (В,/Во)нз, обРазУЯ снизУ и свеРхУ от нее две Равновеликие области, плошадь каждой из которых, как показывает примитивный расчет, равна Е4 И ) ~ 1492~ ) ) Ыд»» В4 1492' ' = ( )В~ вд04934до. о Ситуация несколько усложняется в случае двумерных идеальных газов (см. задачи 19 и 26). Ннзкотемпературнае и высокотемпературное поведение теплоемкости бозе- и ферми-газов в масштабе температуры вмрождения до = Ь'/2ш ° (4я1»'/ВТг)' (в ферми-случае за счет учета спиновых состояний д = 2 и Во = сг) здесь ирасэо сввпшшвт: я' д — — +.
3 Во в случае В кВш 1 /ВоТ 1 — — — + ... в случае В» до, 36(,д) В/В, Рис. $28. Температурная зависимость тепло- емкостидвумерммх ндеальиыхбозе- и ферми- газов т. е. оба графика располсакены ни.ке классической асимптоты (сгл) = 1 (см. Рис.!28), хотя энергии основного состояния бозе- н ферми-систем различны', яз Вв гг я(д)1» о = — — +" =О, бдо,в о гв»в»»( «!в о 2до( + 3 (д ) + ''') ~ йоэникшее «недоразумение» сразу же снимается, если обратить внимание на аысокагем- пературнув зависимость удельных внутренних энергий этих газов, в разложении которых по обратной температуре Во/В первая поправка не дает вклада в теплоемкасть сол, ( 1В, 1 /Во'Т' 'Т 1 1 д,' ем»«ге»в»» =В(1 ~ + ( ) + ° ..) = Вя Во+ + ° ° ° 4д 36»,В) '') 4 36 В т.
е. в отличие от трехмерного случая подстановка д = са в выражении лля Е не исчезает, (е (д) — с(В))( = ~до/4 Ф О, и мы получаем, что заштрихованная на рис.128 область в обоих случаях равна 1/4 в безразмерных и Во/4 в энергетических единицах. 1О 3»». )4 288 Задачи и дололнирпельные вопросы и славе Я Аналогичная сцтуация имеет место и при учете вклааов в теплоемкость за счет учета врашений молекул (см. б 3, п. 6), рис. 69), когда в случае В лр Вр ( !В. ! /Вр~э ~ ! ! В„' с„=В(! — — — — — ~ — /! +.../! =В--В,— — — +..., ЗВ 45~0/ ) 3 45 В где Вр — — Ь~/21. Несмотря на то, что ерр(В)~ = е, (0) = О, плошади, расположенные ниже и выше прямой с = 1, не компенсируют друг друа шэлностью, ! 1Лэ Е=Š— Е,=-В,=- — Фо.
3 322 Заметим, кстати, по в отношении вкладов в теплоемкость за счет учета колебательных степеней свободы ситуация вполне благополучна, так как при В/Вэ со (Вр — — Ьь>) вели- чина е„ы(В) не солержит помимо классического предельного значения еше и поправочного константного члена, Ьм Ьы Ьм / 1 Ь>р 1 /Ьи'1~ '! 1 Врэ = — + — = — +В~~ — — — + — ~ — /! +.../! =В+ — — +..., 2 е>ыгг — 1 2 Х 2 В 12ХВ/ '/ 12В Вср, и плошадь под прямой с = 1, ограниченная снизу графиком теплосмкости с„ ВВ (см. рнс.
70) точно равна энергии нулевых колебаний е (0) = Ь>и/2 (этот результат факти- чески бмл использован при рассмотрении аналогичной проблемы для гармонической модели твердого тела). В случае одномерных идеальных бозе- и ферми-газов ситуация еше более своеобразна. В низкотемпеРатУРной области В и; Вр - -Ьэ(клГ/Вгг)1/2т степень зависимости теплоемко- сти с, л от В лля бозе-газа понижается еше на 1/2 (для трехмерного бом-газа сук В .
лля 111 двумерного — суя В, лля одномерного — сук В > ); так как в одномерной бозе-системе >и. в случае о = -/э/В е~!РР м. 1, 2!г ~ 2гл р Ф 2яй/ 2гяехр(-~- — а) — 1 д$' >/2шрэй / впэ Вв 1 (3 ) (3>(ВН' ЛГ 2 ° 2>гЛ / ер+р — 1 4 ~2/ 'Х2) Вцэ е о сук ~ = — ш — — 2,612 — й 0>867 ВВ 8 2 ' '(! В, ' !/Вр' а теплосмкость ферми-газа при В и',, Ве по-прежнему линейна по температуре: так как в одномерной ферми-системе (В = 2) в низкотемпературном пределе 2)г Г >!р 3>>/2т 1 / е 01 Ие М2т 1 !т" = тэ и 2яй/ ехр1.с.
д)+1 ргЛ 2,/ е!' р!ге+1 кЛ 2 р е (см. 92, п. в)-2), то, используя асимптотическое разложение интеграла 1„при и = -1/2, получаем для химического потенциала в низшем по В/ер приближении где Л /я!У'> 2пэ~ )г / 289 $ ! !. )аврдое тлела лпк птопена связанных осцоллягпоров а лля удельной внутренней энергии будем иметь, соответственно гр )и р' Вр Р/ 2ел/ »ттехр~~- — д~+! т/ел 2 = — - -езд(!+ — ( — ) +. ) (!+ — ( — ) «-.") =-ег(1+ — ( — ) +...), откуда де кз/В ~ '/ дВ б 'хег) В области высоких температур В Ъ Ве мо:кно воспользоваться общим методом, прелложенным в $1, и.
е), рассчитав в одномерном варианте интеграл 1(В) = — З ехр С(- — 1 =— /т/ ( 2глв! 2 ~/ Во 2(-,) ~'/з(В) = ~/-'Д. 1 В/В Рис. 129. Температурная зависимость теллаемхо- стей одномерных идеальных бозе- и ферми-газов Выполнив несложный расчет. получим (см. рис. 129) Задача 54. Определить давление насыазеиного пара над дебаевским кристаллом, считая пар идеальным классическим газом. Решеное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
