Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 65
Текст из файла (страница 65)
А. Еогепй, 191г<; ш!эа чап Ееецч<ел, 1919). Решение. Предположим, что гамильтониан укаэанной системы имеет внд 2 ~Д-~ 2п<' «= гле р = р„..., рл,' 9 = г„...,гл, т. е. потенциал взаимодействия частиц друг с другом не зависит от их скоростей (только кулоновское взаимодействие, а вэаимолействие зарядов типа ток — ток не учитывается как релятивистский эффект). Если такая аистема помещена во внешнее магнитное поле, то ее гамильтоннан можно получить из написанного, заменив р, р< — (е/с)А(г<), где А(г) — векторный потенциал, соответствующий данному палю Я = (О,О,Н).
Для классического статистического интеграла тогда имеем в условной записи ( (р — (е/с)А(д)) 1 ( </(9) ) Я(А) = — /г <19) <ср ехр ехрс - — з. АГ<,/,/ (2<гд)зп ( 2п<В ~ ( д Совершая в каждом из интегралов по (р<)„а = э, у, з, замену переменной интегрирования 9, = р, — (е/с)А, и интегрируя в бесконечных пределах -со < 9, < +со, убеждаемся в том, что внутренний интеграл по импульсам не зависит от А г(А) = ЕД = г(О), а эта значит, что система не обнаруживает реакции в виде возникающего намагничения М на включение магнитного поля ~ = (О, О, Н), 1 д1п2(А) 1 д!п2(А) дА У ВН У дА дН что к требовалось доказать.
Этот результат на фоне классической ланжевеновскай теории диамагнетнзма кажется совершенно неожиданным. Хаждый заряд в пале Н должен описывать окружности в плоскости, перпендикулярной полю, с циклотронной частотой, созаавая тем самым диамагнитиый момент. Подобное представление о природе диамагнетиэма не лишено оснований применительно к электронам, входящим в оболочку атомов, одна<со газ свободных зарядов.
как мы показали выше„магнитной восприимчивости вообще не имеет. $8. Идепльяыц гпз а магнцглном пале ОО( )ОО О Рис.112. К интерпретации самохомпенсацин дмамагнмгмой реакции в классической системе мз сво боднмх зарядов. Магнитное поле направлена перпендикулярно х плоскости чертежа Паралоксальность этого результата сразу же вызвала желание найти ему наглядную физическую интерпретацию. уступая моде, распространенной среди фйзнков'парйой половины ХХ века, интерпретировать все формально получаемые результаты с помощью простых физических представлений, выделим из всех свободнодвигающихся заряжевнмхчастнцче, которые имеют олнваковую поперечную по отношению к внешнему магнитному полю, скорость е». Все оня описывают в поле НЕ кРуги олкнаковото Радиуса, пространственное расположение которых в среднем равномерно.
В очень условной манере зта ситуация изображена на рис. 112. Если мы рассмотрим один изолированный виток, описываемый заряженной частицей, то он действительно как виток тока создает магнитный момент, направленный против поля Н, т. е. создает основу лля возникновения диамагнегизма системы. Если бы этот электрон бьи не свободен, а входил бы в оболочку отдельной молекулы (или принадлежал бы узлу кристаллической решетки), из которых состоит вся рассматриваемая система, то этот чисто электро- динамической прнрцаы диамагнетизм действительно бы возник как средняя реакцяя единицы объема системы на включение внешнего магнитного поля Н. Если слепить группу из двух нлн болыиего числа таких витков, образующих лннейкую их цепочку, как это изображено в левой части ркс.
112, то соприкасающиеся токи соседних витков скомпенсируются встречным лвижением зарядов, а огибающий «поверхностнмй» ток возрастет во столько раз, во сколько возрастет площадь общего контура, так что средний магнитный момент останется тем же. Ситуация существенно меняется, когда этн витки (организованные в «строчки» илн, вообще говоря, Как уюдно) заполняшт всю плоскость, перпенликулярную полю Н: компенсация токов каждого витка будет происходить не только с соселями слева и справа, но и переходя от каждого слоя (каждой горизонтальной «строчки» из витков) к соседнему вплоть до достижения границы системы (на рнс.! 12 она расположена сверху).
В результате получается, что вся внутренность системы круговых орбит в магнитном' отношении самокомпенсировалась, последний:ке приграничный слой создает как бы поверхностный ток, величина которого определяется числом только тех орбит, которые этот слой образуют.
Таким образом, в прелельном статисткческом случае, когда 2У со и удельные характеристики системы сохраняют свой реальный смысл и когда эффекты, создаваемые границей системы, относятся к объемным как 11ГзГз/гт' »«2У 'Гз, влияние диамагннтного гшверхностнпго тока на удельную намагниченность системы (т. е. на среднее значение магнитного момента единицы объема системы) оказывается не только малым, но и негарантированным (т.е.
в статистическом предельном случае — нулевым). Можно, конечно. в духе классиков начала ХХ в. еше порассужаать, например, представить, что граница системы — это зеркальная стенка (опять — уступка прежней моде). Тогда не поместившиеся в системе орбиты зарядов, отражаясь от нее, создадут огкбаюшкй зтн полу- окружности протнвоток, который скомпенсирует ток, огибающий верхушки посуеднего ряла еистемы из круговых орбит, и ярнчина для возникновении какого-либо диамагнетизма системы воабпю пропадает.
Конечно же, пришденные «физическме» рассуждения не претендуют Зодочп и дополнощельные вопросы я мове 2 то формальный классический предел'й - 0 (точнее, фигурирующий а этой заваче не как мера собственного магнитного момента электрона, а как переобозначение его заряда магнетон Бора Д = ей/2тс по сравнению с величиной той же размерности В/Н стремится к нулю) сволит на нет зависимость величины хьтр от напряженности поля Н, что сразу дает лхя иамагничения И, =О. , Заметим, наконец, что спиновая парамагнитная реакция электронного газа; а также парамагнетизм, создаваемый собственными магиитнмми моментами молекул, никакого отношения к теореме Бора и аан Лелем не имеет, и поэтому они существуют как а квантовой теории, так н в каазиклассическом ее пределе. г> Задача 43.
Гаэ из йиполей с магнитными моментами )з помещен в магнитное прле Н = (0,0, Н). Найти термодинамические характеристики системы, ее иаиагиичение, а также равновесное распределение диполей по углам. Решение. Внутренние дана!ения отдельной молекулы в случае жесткой связи (см. задачу ЗВ, рис. 109) представляют собой даа независимых вращения. Кинетическая энергия вращающе- гося диполя плюс потенциальная энергия его взаимодействия с внешним полем равны м' и' Н = — — (1зН) = — — иН созе, 21 21 где М вЂ” момент количества движения, 1 — момент инерции диполя относительно центра инерции, д — уголь между векторами Н = (О,О,Н) и ,и. В отличие от упомянутой выше задачи теперь интеграл в з„„, по углам 9 и !Р уже не равен 4я (кроме тривиального случая Н = 0).
После интегрирования по обобщенным импульсам имеем х,,пр — — 2я1911 ехр г — созд) яп Вг!Вг(ы = (2хй) г ./ 1, В >! 2х19 1 ( РН ) Ькз19'з)г(РН/В) = — ° 2зг ~ ехр !( — х) г!к =— (2яй)з,/ ~ В ) (2кй)т НН/ — ! откуда для внутренней энергии и теплоемкости получаем согласно стандартным формулам ,дгпз„, / мН 9 ~ е =В 99 В Н =в-~н~ гп — — — /1, Р / РН ( РН)~' 2 — ~2 — ехр! - — )~ +. в случае В К/ьН, (В 1 ВИ 1 /иН'1' !+- ~ — ) +... а случае В Ъ РН.
3~ В / де„„~ / РН/9 ВВ (, зЦРН/В) ) Интерпретация полученного для теплоемкости результата (рис. 1!3) достаточно наглядна. В случае слабых полей (РН < 9) диполь а основном совершает свободное вращение. поэтому две вращательные степени свободы дают в теплоемкости единицу (по половине на переамвод теоремы Бора и аан Ленси (это — как бы дань истории). а служат лишь а качестве утешительной интерпретации содержащегося в ней утвержления. В связи с теоремой Бора и мисс ван Леаен возникает также еще один вопрос: не противоречит ли ей полученный в 1930 г.
Л. Д. Ландау результат для дивмагнетизма свободного электронного газа (см. задачу !6). Прехще всего, полученный Ланлау результат существенно опирается на то, что прн включении поля Н характер движения зарядов по сравнению с классическим их поведением изменяется кардинально, окружностей удге нет, и аышепрнаеленное рассуждение теряет всякий смысл, И во-вторых, если выделить из результата зааачи 16 внутреннюю сумму для свободных зарядов е„и(2ятВ)хц /3Н / /3Н ейН / ейН вЂ” зй — = ха — зо —, (2згй)' В / В 2тсо/ 2тсо' 8 8. Идеальныб газ в.магиишиом поле от каждой), а магнитное поле определяет лишь поправку. В случае сильных полей (Ргн Ъ В) две степени своболы у молекулы, конечно, сохранятся, но это будут уже две колебательные степени свободы (два перпендикулярных друг другу независимых колебания диполя около полюсов сферы, изображенной на рнс.
109), поэтому главный член в теплоемкости равен уже двум (по единице от каждого независимого колебания). Иамагничение газа Р ( вн) "( вн) '"" в( н/в 1 В/нн Рнс. 113. Зависимость теплоемкостн иде- ального газа магнитных дмполей от тем- пературы в единицах максимального магнитного момента 1 смэ газа Рп будет равна И РН В ГРН'! — =сей — — — =Ь ~ — ~, в рн (, в /' м(д) дд ш Сехр ~- — ) ми д2тд = Г Г/(д)1 РН/В ГрН ехр ~ — оса д ~ э!и д гтд. с» В ) 2эй(РН/В) ( В Задача 44.
Молекулярная трехмерная цепочка из свободно сочлененных друг с дру- гом ЛГ звеньев длиной 1 каждое находится в терностате (рнс. 115). Определить, как зависит средняя длина цепочки от величины растягивающей ее силы й'. Решение. Так как потенциальнаа энергия каждого звена в указанных выше условиях определяется его ориентацией по отношению к направлению растягиваюшей силы Г/(д) = -1Р = -1Р соз д, то внутренняя сумма (мы выделили в ней часть зе, не зависящую ог силы Р), равна 2» г э = за — / ВР/ ехр ~ — соэ д) ми два = за — эй —, 4я / / ( В ) Р1 В ' е е гле Е(МН/В) — так называемая функция Ланже- вена (рис. 114).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
