Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 60
Текст из файла (страница 60)
О «фазовом» переходе в данном случае можно говорить лищь с большой степенью условности, да и то лишь на дурную голову: существование такого. перехода было бы отмечено разрывом первой (или более высокой) производной в температурном поведении химического потенциача, существование которого исходные соотношения для а и В совершенно не предусматривают (см. тонкую линию, соединяющую область низких и высоких температур).
Кстати, необходимо еше раз отметить, что свободно распоряжаться величиной температуры В в данной модельной системе мы не можем: величины В и а = 72/В однозначно определяются 72 Отметим, кстати, что если бы плотность числа кварков была бы фиксирована, то, ре- Е. шая упомянутую ранее задачу 5 в варианте Ер —— рс (а не Е = р~)2т), мы получили бы, используя численное значение интеграла 72(0), что при температуре Ве ш 0,57ер, где гр = дс( — Зл и„), химический потенциал 2 2 Чз 2 ультрарелятивистского ферми-газа меняет знак на отрицательный, а сам газ при В > Ве становится классическим. В нашем случае этого не происходит, так как с ростом температуры, ТМеЧ как мы покажем ниже, плотность числа кваР- ков п„(а также и антикварков пе) растет пропорционально В' при сохранении постоянной Разности 2!и = и„— пе.
Согласна полУченномУ выше результату для а химический потенциал с ростом температуры ведет себя как р В ', всегда оставаясь большим нуля, т, е, рассматриваемая система есе время остается слабо вырожденной. Отвлекаясь от решения задачи и обращаясь к температурной зависимости химическою потенциала газа кварков 72 от температуры в целом, изображенной на рис. 100, заметиМ, что лгы исследовали эту зависимость только в крайних случаях, 8 4. Реляшивиппскиз) ферми-газ выписанными выше двумя соотношениями, в которых значения и„, и и = зпрс'п„„стояшие в левых частях этик уравнений, являются заданными параметрами системы.
Так как, в отличие от первой части задачи, в данном случае система трехкомпонентна, то для давления В, создаваемого стенками мешка или «вакуумом», имеем в качестве условия механического равновесия с последним 1 1 В=р„~-р„= -(и„+и„чц«) = — и, откуда в низшем по а порядке получаем, подставляя значения у, и 7„, В= —, ~7,0'+-1„В (1,(а) 41«(-а))~ ье 3 (2яй)з.
Замечая, что коэффициент при а' во внутренней скобке равен 0,0217 < 1 и учитывая физически осмысленное условие о ( 1, мы можем, даже не располагая еше оценкой для температуры плазмы, с полным правом пренебречь влиянием нескомпенсированности плотностей кварков и антнкварков иа значение полной плотности энергии системы. В задаче 22 мы слелали это сразу, положив и, = и и Р = О, и получили, что плотность энергии электрон-позитронного газа в 1,75 раза больше плотности электромагнитного излучения. В данном случае мы получили практически тот же заранее ожидаемый результат с той только разницей, что плотность энергии кварк-антикваркового ультрарелятивнстского идеального ферми-газа и„+ нг Ш 2и„ за счет оговоренных нами значений 7, = 16 и 7„= 12 в 1,312 раза превосходит плотность энергии равновесного газа глкюнов и„(соотношение соответственно 56,8% и 43,2%, то же относится и к сопоставлению парциальных давлений).
В результате для искомой температурной оценки гдерживаюшего мешок давления получаем (Т вЂ” в гралусах Кельвина) 0« В й 4'053 з Й 5'446'!О Т ' (д )з Так как плотность энергии мешка и = гп с п„, являясь параметром системы, не зависит 2 от «температурного состояния кварк-глюонной системы, то мы, подставляя рассчитанное в пункте А значение величины и, получаем возможность оценить температуру этой плазмы.
После извлечения корня 4-й степени, получим ТШ152 10~«К%!31 10ьМеЧ При этой температуре а=-ыязбб 10 и и=0,98 1О К, е что полностью обеспечивает применимость высокотемпературного приближения о С !. Лля плотности же числа кварков имеем оценку и„= 7„1з(0) Ш 3,76.10 см и, -з — (2яй)зсз что в 1,57. 1Оп раз больше плотности числа кварков в рассмотренном в пункте А пределе Е = О, равной Зп„, Ш 2,4 1О см з.
Плотность числа глюонов соответственно равна 4ярз 4 16 и„= 7„Г(3)б(3) = — — п„И 1,76п„ "(2яй)зсз 3 12 (т. е. в срелнем почти подав глкюна на кварк), так что на один нуклон приходится эквивалентиЫй ему «мешок», содержаший 4,7-100 кварков, почти столько же антикварков и 8,27. 10п глюонов(напомним, чтовсеэтососрелоточеновобласти, имеюшей размер! уш = !О "см). 1» 249 б 5, Идеальный бозе-газ Найденное решение устойчиво, /(ействительно, обозначая положительные коэффициенты латинскими буквами, имеем длл случая рр « пгс А В р =- — + — =О, В' Вз Вдрм( А 5В В = — — - — =- — <О, 4 дВ !р „=о Во 4Вз 4Вз в случае рг зр итс А Ь рм = — — + —,(1 — сВ) =О, В дрово! А Ь аЬ аЬ = — — — + — = — — < О. 4 дВ ~ =о Во Во 2Вт 2Вт В График зависимости устойчивого размера белого карлика от его массы привелен на рис.
101. Характерно, что в зависимости В = В(М) имеется крити$р«1 ческое значение, называемое пределом Чандрасекара (5. Сйапсгашкйаг, 1957): ""= ( '")"'С вЂ” '-')'- ""-"-- Если М > М„р, то принцип Паули уже не может обеспечить стабильности системы, т. е.
не может сдерчо »1 жать гРавитационного пРитЯжениЯ а-частиц, позтомУ системы с М > М„р эволюционируют в сторону гравитационного коллапса. Более точные расчеты Чандрасезр кара, связанные с уточнением модели (распределение Рис. 101. Характер зависимости раз- масс и т. и.), дали М„р св 1,4Мс„„„„„, т. е. в отношении нера белого карлика от его ласси коллапса за наше светило мы можем быть спокойны. Область бр = рр/птс 1 ияшрпо Заметим в заключение, что участок графика в облалироваиа сти В О условен, так как при В О (плотность звезды — сю) равнояесная модель из а-частиц и электронов реальности уже не соответствует. Также условен и участок В р со, твк как с понижением плотности гаэ электронов перестает быть и идеальным, и вырожденным. гр 3 5. Идеальный бозе-газ Задача 25.
Показать, что ни одноиерный, ни двумерный идеальные бозе-газы не обладают свойством бозе-конденсации. Решеное. Бозе-конденсация, как это было показано в $2, п. г), связана с появлением решения для химического потенциала системы типа Л = -Р = д/йгр и ' (т. е. без основной статистической асимптотики Л !тг~ = 1), когда еыо - 1. В двумерном случае нормировочное соотношение, служащее уравнением для Л х 1 б~ /' 2ярнр 1 БЙ2яглд Ая Чо + з мр + не имеет такого решения, так как при подстановке еыо = 1 интегральный член в правой части расхолнтся на нижнем прелеле как !п в(, о (подынтегральная функция при я — О ведет себя как 1/*). В одномерном случае соответствующий интеграл расходится еше сильнее— как х Цз( (подынтегральная функция ведетсебя как в зо).
Поэтому водно- и двумерных 250 Зойачи и дололниглельные вопросы к главе 2 случаях химический потенциал во всей температурной области отличен ог нуля (статистический асимптотический порядок его всегда л Лго = 1), и число частиц с нулевым импульсом не выделено по сравнению с другими и (асимптотическнй статистический порядок Лго пг ЛГ~ = 1). аа Задача 2б. Рассчитать термодинамические характеристики двумерного нерелятивист- ского идеального бозе-газа.
Решение. Поступая так же, как при рассмотрении двумерного идеального ферми-газа (см. за- дачу 19). имеем, обозначая Ь' = У, 7Ч2в /' рдр туг / Ве г (2яй)т ./ / да е) ! (2яй)з / (««-д) "=Х-" =,~/ / ехр 12 о) хр( Г Учитывая. что Ла 4я Лг ва = — — —, 2т т получаем /а =в!и (! — е аат ) = '-Ве оам в случае В «К Во, в -д!а — в случае дл до. ва Заметим, что для аналогичной задачи в ферми-случае (Ва = ег ) мы получили р = ег + В !и (1 — е 'гт ), т. е. ту же зависимость от д, но сдвинутую в положительную сторону на величину ег. Чтобы рассчитать теплоемкость системы в области низких температур (при В > Во система классична и сгл = ! ), рассмотрим выражение длл удельной внутренней энергии.
Обозначив -р/д = а (а > 0) и введя переменную л = р~/2гид, запишем удельную внутреннюю энергию в виде ЛГ ~-«2ш Во,l е*'а — 1 а о Приступая к исследованию этого выражения в случае низких температур, когда д ч, Во и а Ж е ао~ ч. 1, заметим, что непосредственное разложение величины е по степеням а не реализуется: коэффициент уже при первой степени а расходится.
Поеному, положив э + а = у, представим е в виде О а а а Первый интеграл в квадратных скобках (см. б 2, п. г)) представляет число, равное Г(2)С(2) = вз/б, второй интеграл в случае а «с ! (у ( а) представляется регулярным разложением а — '/аа + ... В а, третий интеграл берется точно, он равен !п(! — е ") при нижней подстановке у = а. Собирая все слагаемые. получаем низкотемнературную асимптотику лля удельной внутренней энергии В,,Г дч яВ 2 2 г г е = — — — Ве и (1+ — ) +...
й — — — де б да Во б Ва д«1!и (! — е И "!Г ) = ! еи-х1Ф ! и обозначая температуру статистическою вырождения по отношению к трансляционному движению 9 5. Идеальный бозе-гоз В области высоких температур ситуация в математическом отношении много проще: в области В/Вв > 1 имеем регулярное разложение по степеням обратной температуры Записывая энергию е в виде 3 з е= — хне *е '(1 — е * ) = — хйхе *е *(!+е е "+е *е +...), в Ва ./ получаем после взятия элементарных интегралов и приведения подобных членов 1 Вв с=В--В,+ — — +.... 4 Збр Уравнение состояния идеального двумерного нерелятивистского бозе-газа определяется формулой (см, э" 2, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
