Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 61
Текст из файла (страница 61)
а)) рс = в, несколько отличной от трехмерной (ри = з/зе), а калорнческое уравнение — соотношением свл = дг/99. Дифференцируя исходное интегральное выражение лля е по температуре, можно получить также, используя полученное ранее решение лля о, самостоятельнуш формулу лля теплоемкости 2е Ва ! стл = — +— В В ! — сев!в' которая в частных случаях дает 2 — В- — е л Ва -юм при В <Вв, 3 В с,л = 2 ! /Вот ! — — ( — +... при 9>9,. 36 'х В ) График зависимости сгл от температуры прелстаален на рис.
128 (см, комментарий к задаче 53). Неожиданным в этих результатах может показаться полное совпадение низкатем~пературного поведения стл с теплоемкостьш идеального двумерного ферми-газа (см. зада- И в 'чу 19) стл — — — — +... и отрицательность квантовой поправки к классическому пределу 3 св дяя теплоемкости с;л = 1 в высокотемпературном случае, которая, кстати, тоже совпадает с аналогичной поправкой к с„л в ферми-случае. г> Задача 27. Показать, что наличие выделенного слагаемого с р = О в выражении для термодинамического потенциала зв длл трехмерного идеального бозе-газа при В < Вс ие изменяет полученногр а Ь 1 для идеальных газов результата 2 (2= — рУ = — -Д, 3' Решение. Используя соотношение получаем Ер — р 3'т Г! = В ) 1п (1 - ехр ~ — —" ) ) = -В ~ 1п (и„+ 1) = В в в к = -!31п(!Ус+1)+ з з/ 1п(п„+!)4вгР 4Р.
в Задачи и дололнилгельныв вопросы к главе 2 Нетрудно заметить. что два слагаемых в посяедней строчке неравноценны: если второе слагаемое имеет порядок У йГ', то первое /1 -В 1п (!Уо + 1) = -ВЛГ ~ — 1п (1Уо + 1)) слабее этой главной асимптотики, так как 1п !у/!у — О при Ж вЂ” со, и поэтому должно быть отброшено. Оставшийся интегральный член обрабатывается по частям, как зто было сделано в б 2 (см. также задачу 4). и приводит к стандартному результату П = -з/зФ. Ь Задача 2В. На (р — в)-диаграмме (см. рис. 55) определить границу области конденсации идеального бозе-газа.
Исследовать, как меняется вдоль этой границы энтропия системы и теплоемкость суп ° Решение. Учитывал, что Г(5/2) = 3~/к/4, Г(3/2) = з/Я/2, имеем в соответствии с 82. п. г) лля удельной энергии 3((5/2) Вмз г= — —, г((3/г) ВзГ» где ((5/2) = 1,341..., ((3/2) = 2,6!2.... Отсюда следует, что с„л = де/ВВ Внз, а значит, в соответствии со следствием из П1 начала термодинамики (см. том 1, 84, а также задачу 22) 5 ((5/2) / В ~ из о= соя= 3 2 ((3/2) т,во/ Влоль линии конденсапии В = Во(е) обе эти величины постоянны: о = 1,282...; сол = 1,925 Чтобы определить уравнение гранины конденсации в (Р— е)-переменных, воспользуемся соотношением ре = (2/3)е. положив в правой части В = Во(е).
Тогда получим ((5/2) Во(е) 2яйг ((5/2) 1 Р ((3/2) е т [((3/2))пз очз График этой гранины приведен на рис. 55. Задача 29. Исследовать, как ведут себв термодинамические характеристики идеального бозе-газа в непосредственной близости от границы конденсации сверху при В > Во, Решение. Полагая В = В,(1+ т), рассчитаем в случае в — в Л т= — и'.1, а= — ос! Во интеграл Г хиз Вс /и,(а) = /1 ,/ е*" — ! о В отличие от аналогичного 'интеграла в ферми-случае (см. зааачу 5) теперь коэффициент при а' формального разложения величины еиз(о) в ряд тейлора расходится.
Выделим из рассматриваемого интеграла его значение прн а = О: е**" Вс /из(а) — /из(О) = -(е" — !) Г 3 (е* !)(еооа 1) о у 5. Идеальныо бозе-газ ?Гх ~ ?/у 2 /' ?/?/ 2 ~ я = — агс!д х'/г(х + а),/ уг -!- а з/а / г/г+ ! з/а )о ?/а о о о Тогда величину 1,/г(а) можно записать в виде 1,/г(а) = 1?/г(0) — а + (е' — » у С вЂ” ) х' Вх. /а,/ ~,х(х+а) (е* — »(е*"" — »/! о Обрашая внимание на то, что оставшийся интеграл по Вх особенности в точке а = 0 уже не имеет„получаем необходимое нам представление для 1,/,(а) при а К !: х 1/ 4/г(а) = 1~/г(0) — яа + а 1/ С вЂ” — ) х г/х — — а +..., ("-» ! о где "="С.-)С.-)- — '» = ' ' Уравнение шш химическою потенциала при т К 1 теперь приобретает вид 2я(2?пВ)?/г / В ~ '/' ! =е, (1,/г(0) — ?га/ +...)й С вЂ” ) — — ~ — ) а/, (2ЯД>? ' ' " ' ~Во/ 1,/,(О> (,В,) откупа или Таким образом, при приближении к точке конденсации Во химический потенциал р = -Л = — Ва стремится к нулю как (В'— Во)' (рис.
!02). С повышением температуры химический потенциал стремится к боль цма нове кому пределу Рис. 202. уеилврагурное поведение химического потенциала идеального бозе. газа; /? = 0 лри В < Во,. /? (- — Во>' при В ~ Во. р= -В!п((В/Во)?/г/Дз/2)/ при В ~ Во ?/г Изотермы на (р — е)-диаграмме х 2 е 2 2?г(2?пВ)г/?В Г р= 3 о 3 (2яй) / о ?/г В е««а можно в области а и. ! записать как х х 2 2к(2щВ)3/?В / 1 хз/г Дх 1 е*хэ/г о!х) Р— С// — — а 1/ 3 (2ял)? (?„// е* — ! З/ (е* — »г о о и рассмотрим. как ведет себя правая часть прн а — О. Полынтеграоьная функция при х 0 аелег себя как ?!х/(х'/~(х+ а)) и при а 0 имеет неинтегрируемую особенность.
Выделим эту особенность, рассмотрев интеграл 254 Задачи и далолнательные вопросы и главе 2 гле ыы учли, что о о е 1,о е т. е. изотерыа р = р(и) при и -о ио(В) подходит к своему горизонтальному участку (см. рнс, 55) по параболе (и — ио)з. Наконец, исследуем поведение теплоемкости сгл при В Во. Само значение сон!о-о —— 1,925...
ыы уже получили (сы. рис. 54). Рассчитаем величину скачка производной дсгн/ВВ в точке излома В = Во. Учитывая, что д и 2 / 3 Г(3/2)ь(3/2) ) два Воз 'Х 2 и и используя только что выписанное при расчете лавления р разоожение по а внутренней энергии е, получаем ( -) -~ -! Вот«~ дсгн ! Вето,) и 2и(2тВ )П' /'с*водах /'3 Г(3/2)С(3/2)') 2 о Подставляя уже нспольюванные ранее численные значения б-функций и интеграла по Вх, а также выражая удельный объем и через величину Во, получаем /дсгн 'т 1 Ь~ — ) гд-366— ~ВВ/, ' В, Так как при В = Во — 0 (т. е.
с внутренней стороны) дстн 3 — Рд — 1,925 — й 2,899 —, ВВ 2 Во Во то по другую сторону от точки конденсации при В = Во + 0 дс,л ! — Щ -0,77 —. го ВВ ' В Задача ЗО. Вырожденный идеальный бозе-газ находится е поле силы тяжести подл в бесконечно высоком вертикальном цилиндре с площадью основания 1 смз.
Определить барометрическое распределение плотности частиц п(л) н выяснить условна вырождениостн такой системы. Решение. В случае В = 0 асс частицы идеадьного бозе-газа, занимая низшее энергезнческов состояние, находятся на уровне о = О, образуя на дне сосуда конденсат дго = дг (длв сравнения с ферми-случаем сы. зааачу 10). Если при В ое 0 конденсат на уровне э = 0 еше сохраняегся, то газ на этом уровне вырожден и его химический потенпиад р(п(О), В) = О. Поэтому общее условие равновесия газа в поле тул (сы.
тоы 1, й б, п. 6)) приобретает внд р(п(з), В) + твз = р(п(0), В) = О. Таким образом, на всех уровнях з ) 0 (кроне о = О) бозе-газ узде невырожаен, так как р(п(з), В) = — твз -,Ь О. В области малых отклонений уделъного объема и = 1/и от критического значения ио (т. е. в области з вблизи э = О) ыы можем воспользоваться результатом эавачи 29. согласно кстороыу — = -а = — ~ — ~ (1 — иоп(э)) /6(3/2Р ' г В ~ 2,/я,) 255 й 5. Идеальлыб базе-газ (мы положнлн (Ве/В)М~ = еь/е и ввели вместо удельного объема е плотности числа частнц на уровне х; я(х) = !/е), откуда следует в случае пэлх/В К ! 2э/к Г~х ~ п(з) гд п(0) (! — — «,! — ), ДЗ/2) )| В )' где 1 (2я|пВ)'|э /3) п(0) = — = ее (2яй)' 1 2 й области больших значений |пвл л В пи становятся классическим и химический потенцнал определяется соотношеннем (см.
предыдущую задачу) ,и е(х) (2яэлВ)'|э В (2ял)э откуда следует, что в случае тех/В Л» ! (2 в)н' ( р1 п(х) = (2ял)' '1 в 1' ехр ! - — 11, |те(В) = !У - №(В), 3Г'(В) = ) п(х) В . е Полный расчет величины №(В) можно провести только с ирнвлеченнем численных методов (аналнтнческнс вырюкення для п(г) мы получили только для малых и больших л, чего недостаточно для точного расчета интеграла). Эта величина растет с повмшеннем температуры. Так, если пренебречь слоем В/ше, т. е. распространять формулу п(з) е '""'и до самого дна сосуда (пунктярная лнння на рнс.
103), то мы получим грубую оценку этого роста №(В) Вэгээ Прн температуре Ве, определяемой соотношеннем №(ве) =лг (влн дге(В«) = О), все частицы газа находятся на уровнях з ) О, а прн температурах В ) Ве гвз становится полностью классическим, и прн В Ъ Ве мы прнходнм к стандартному барометрическому распределенню для плотности числа частнц (см. том 1, гл. 1, 3 б, и. б)) прн сечении пнлнндра ! см и бесконечной его высоте те ( |пел ) п(х) = дг — ехр !1- — э. в ( в)' Задача 33. Газ, рассмотренный а предыдущей задаче, находнтея в цилиндре ограни- ченной высоты, такой, что пэдй/В < 1. Определить число надкондднсатнмх частиц и температуру, прн которой конденсат на уровне л = О полностью нсчерпывается. 9 э»«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
