Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 62
Текст из файла (страница 62)
|4 Полученное барометрическое распределение представлено на рнс. 103. Число частиц конденсата )эге определяется нэ условна (прн плошедн сечения цнлннлра 1 см') где число «нспарнвшнхся» часпш в случае бесконечного цнлннлра 0 гэ /2,012 пе п(х) р„с. 303. Бароиетрнческое Распредеяенне для вырожденного бозе-газа.
Пункгнрню| лнння представлает распрвделенне пе ехр (чадех/В)/!(3/2) Задачи и дололниглельные вопросы к главе 2 и (эдесь У = эй, где Ю вЂ” плошадь сечения пилиндра). Условие исчезновения конденсата имеет вил №(Во) = Дг. Полагая Вэ = Во ч- ВВо. тле Во — температура бозе-конденсации в случае В = О, и считая бВЬ/Вэ К П имеем откуда Вэрэ пэдй Рнс. 104. Тенлературная зависчность числа надконденсатяых частиц е бозе- газе, понещенион в коле силы тяжести и находященсл в цилиндре ограниченной высоты.
Пунктирный график— случай В = 0 Хайактер изменения величины №(В) привелен на рис. 104. Полученная выше Оюрыула длв №(В) соответствует части В > пзвй. При В ( пэвй, как отмечалось в прелылушей задаче, №(В) Вэг'. Пунктирной линией дан график №(В) для случая В ы О, когда №(В) = /У(В/Вд)ло (см. 5 2, и. г)), Г» Эадане 32. Исследование неидеального бозе-газа иетодаии квантовой статистики при температурах В гй 0 с учетом наличия в нем макроскопической доли сконденсированных частиц Фе Ф (Н. Н.
Боголюбов, 1946 г.) выявило характерную зависимость энергии его возбуждений Е(р) от импульса Е(р) где по = эте/Тг — плотность числа частиц конденсата, и(р) — фурье-образ поРэ тенциала взаимодействия частигь изображенную на рис.105 сплошной линией. Аппроксииируя начальный участок спектра подобного вида линейной по модулю иипульса р зависимостью Ее,„(р) = рс (ефононмэ), где с — скорость распространения упругих (акустических) колебаний, а в области боголюбовского провала функции Е(р) р ре, где точка рб соответствует условию де(р)/др =.
О, — квадратичной (параболической) консгрукцией е~(р) = г) + (р - ре)з/2тп' (еротоиыл), где ь = е(р ) и ' решение. В соответствии с полученным в предмдушсй задаче решением для случая нгвэ/В К ! имеем в нашем варианте Б 5. Идеальиьгй бозе газ 257 1/пз' = дзЕ(р)/Орз( — как бы обратная эффективная масса возбужденного состояния, и полагая, что параметры Ь, ра и гп' 'являются константамн. определить в случае р чц 2ь среднее число фононов Лг',„и ротонов № „а также удельную теплоемкость системы сил упрощенной фонойротонной моделйгелия.
Сделаем несколько необходимых пояснений к этой задаче. В 1941 г. Л.Д,Ландау в расчете на теоретическое осмысление характерных особенностей в поведении жидкого гелия-11 предложил феноменологическую схему описания его возбужденных состояний, которая включала два их вида: колебания плотности числа частмц, т. е. акустические колебания, называемые по традиции фононами, с дисперсионной зависимостью Ее (р) = рс, и возбуждения, отделенные от нуля энергетической щелью тз и характеризуемые квадратичной зависимостью от импульса юд (р) = Ь + р /2гп, Егл) 2 которые бэ)ли названы ротонами (см.
пунктирный график на рис..105). Конечно же, в этой схеме явно просматривается идея Бориа и Кармана 1912 г. (си. гл. 2, 54 данного тома, обсуждение) о существовании в твердом теле, помимо акустических, еще и отделенных от нулевого уровня энергетической щелью т5 так называемых оптических колебаний (в отличие от твердого тела, в изотропном гелии существуют не три, а только одна ветвь акустических колебаний и один тип возбуждений, возникающих при энергиях, превышающих величину гз).
Так как оптическая ветвь возбуждений связана в основном с передачей от узла решетки к соседним ее узлам крутильных колебаний ячеек твердого тела, то название «ротон» с точки зрения физической концепции оказалось вполне подходящим для несущих определенную порцию момента количества движения возбуждений Е,(р). Однако, как это бывает с любвеобильными <л) родителями, которые, желая выделить свое чадо, дают ему при рождении многообязывающее смысловое имя (которое оно впоследствии чаще всего не оправдывает), так и в данном случае мы получили фактически аналогичную ситуацию. Зная результат Боголюбова, Ландау объединил обе предложенные им ранее ветви возбуждений в одну, опубликовав в 1947 г.
график, подобный изображенному на рис. 105 сплошной линией, где провал дислерсионной зависимости Е(р) вблизи значения р = р« объявлялся модифицированными ротонами (при этом в феноменологическую теорию помимо Ь и т" вошел еще один параметр — ре). Так как в области р О в длинноволновых продольных акустических колебаниях ничего не крутится, а график Е(р) представляет собой единую днсперсионную зависимость энергии возбуждений системы от импульса, то с ростом р, в соответствии с известными законами сохранения, по дороге закрутиться уже ничего не может (так как вся ветвь Е(р) — это продольные колебания плотности), и термин «ротом» теряет первоначально заложенное в него смысловое значение. А в итоге получилось так; во всем мире физики, занимающиеся проблемой жидкого гелия, знают, что такое спектр Боголюбова Е(р), начальный его участок называют фононами, а область провала ротонной ямой, уже не придавая этому термину никакого «вращательного» смысла.
Между тем, в реальном жидком гелии ниже Л-точки существуют долгоживущие вихревые образования различной пространственной конфигурации. Одгшколдяя их описания используютсл другие пространственные и временные масштабы и строится уже совсем не кваэмстатичесяая теормя, сшгзаниая с испояьзованием локальных термодинамических характеристик.
в которой время является не параметром, указывающим направление процесса, а динамической величиной. Описание кинетических явлений в гелии укладывается уже в рамки феноменологической двухжидкостной гидродина.мической теории, основополагающие идеи которой принадлежат Тиссе и, в основном, Ландау ($ Т)зза, 19ЗВ; Л.Д.Ландау, 1941). Необходимо отметить, что предложенная в условиях задачи упрощенная фононротонная модель, включающая феноменологические параметры Ь, ре и пз' и аппрок- :е>8 Звдвчи и дополннпзельньм явпросы л главе Р , синирующая реальную бозе-систему сиесью идеадьных газов нз квазнчастиц (фоиоиов н ротонов), конечно же, не реюает проблемы общего термодннаиического описания жидкого гелия-11, она рассчитана только на ннзкотемпературную область В ч:.
ьь, далекую от точки исчезновения бозе-конденсата н связанного с зтим исчезновением Л-перехода а нормальное состояние (см. также й 2, п.4 данной главы). региение. для числа фенонов в полной аналогии с проблемой равновесного излучения (в от- личие от $4, п. а) здесь с — скорость звука и 7 — 1, а не 7 = 2, как для фотонов) имеем, обозначая рс/В ш я, ь о (козффициент Г(3)/л~ В 0,122).
Для зиергни получаем по существу закон Стефана- Больцмана к ВФ / ЗВ 2' Вл Фхм„= г' ' — = л' —— (2ла)гсг / ,* и откуда для фононноа части теплоемкости системы Получаем дй~„, 2л~ / В ~ 2л~ С„„= — =зг — ~-/ - — рг,', Вв 15 (,д / 15г(5) или в расчете на частицу системы Для числа рогонов в полноа аналогии с зааачей 1! (только в данном случае фигурирует параметр р,, а не рг, и, конечно, 7 1, а не 7 = 2; ецю раз отметим, что в случае гь Ъ В тип статистики не сохраняется) ЛГ' м 'г' — ь/2лт'Ве, Фмл; — Ф' ~Ь+ -В/, С = Ф' ( ( — / + — +-/ нлн в расчете на частицу системы при В ч. Ь ДГ (2лл)з " ~ В / Общая теплоемкость сгн складывается нз двух частей: слн = е — — / е в — ч2лт'В~ — / е 15 1,Дс/ (2лд)г ° . ~В / первая из которых, пропорциональная Вз, естеспенно, преобладает в рассматриваемой области температур и для жидкого гелия ниже Л-точкн действительно имеет место (см'.
й 2, и. г), рис. 57). Гь $ б.' Идеальный газ в случае парастатистнкн Если значения чисел заполнения ограничены каким-либб целым числом й > 1, так что допустимыми значениями являются йгр = О, 1,2,..., й, то такой случай называется случаем парастатпстики. Свойства симметрии функций состояния' в случаях конечных й > 1 будут более сложпымп, чем рассмотренные в й 1. Имеются г)екоторые оснорания предполагать, что случай парастатистнкн может проявит)- ,ся в,некоторых субчастнчных моделях современной теории элементарных частиц.
Крайние случвь! й = 1 н й +со соответствукл случаям ферми- и бозе-статистики, рассмотренным в б 2 основного текста. й б. Идеольныд газ в случае ларасшшлцстанц Задача 33. Определить средние числа заполнения в случав 1шраствтистики и исследо- вать нх свойства в случаях д = О и д ~ О.
Решенае. Обозначим е 1вг "!д = а„и просуммируем конечную геометрическую прогрессию, определяющую величину Ьр (см. 31, п. 6)): ь и 1 — а ь ~-1 (,=~,'= — д —. 1 — аг Учитывая, что адат/др = ар, получаем для средних чисел заполнения д а (й + !)аь+ = а — 1~ ь' д г 1, ! ьм г нли, исключая а, окончательно ехр ) -гз-"/ — 1 ехр ) (й+ 1)-х — ") — 1 Из этой формулм в предельном случае й - оо (при условии д — Же ( О) следует стандартное дая средних чисел заполнения бозе-распределение, а в случае й = 1 (без ограничений на величину химического потенциала и) — ферми-распределение, Рассмотрим сначала случай а = О.
Из общей формулы при д 0 получаем ступеньку с параметрами й в случае р<рг, й и — в случае р=рг, 0 в случае р>рг, где граничный импульс рр определяется с помощью нормировочного соотношения г 1)ганичная энергия в случае Е = рз/2гл (нерелятивистский парастатистический газ) равна Интересно прослелить на этих формулах образование бозе-конденсата в процессе й — со: так как ег й Л', то при й -з оо граница распределения стремится к нулю, тогда как Высота ступеньки растет (пь -- й), заполненная сфера в р-пространстве сжимается в точку р = О, сохраняя'все время внутри себя асе' ДГ частиц системы, — образуется то, что в 52, и.
г) мы называаи бозе-конденсатом. При конечной величине й при низких температурах, таких, что д//г ч. 1, заполненная сфера'слепга размывается, так что низкотемцературное поведение теплоемкости сгл будет, исходя из соображений б 2, п. в), линейным по температуре, сгл а (чтобы определить кцэффициент пропорциональности в э!ой формуле, необходимо разработать технику расчета парастатнстических интегралов при д//г ц, 1, чего мы делать'не будем). При дальнейшем повышении температуры значение /г(д). все время сползает к нулю (рис. 106). Ие требуется специальной техники, чтобы определить температуру да, при которой Р(дь) = 0 (при эппг Задачи и дополнишелвные вопросы и главе 2 автоматически пе — й/2).
Подставляя и в нормировочное соотношение и переходя от суммы к интегралу, имеем 3 74яУ 1 )" р ззр 1 рар (ззз(З .,(зз-)-~ З,((з Взз)-~)' Делая подстановку у~- = х в первом интеграле и (й+ 1),-~ — = х во втором и учитывая, что стандартный бозевский интеграл х з~ — = Г(-) ь (-) = — 2,6!2 .. а получаем откуда температура обращения химического потенциала в ноль «ь К /~ 4х ззз -згз 2 (1 ) (ДЗД))зГз (7(1 1(„Гй+1) ) В' ~~( Д+1)3 па С геометрической' точки зрения постижение В=О, «=ел температуры Ве означает утоньшение ступеньй ки (уже, конечно, размытой), граница которой в<в,, л>о отмечается величиной р(В), до нуля. В бозе- случве (т.е.
при й оз) это означало бы, что В=В,л=о а .конденсат исчез, так как именно зта узкав высокая ступенька бмла'его симвшом, и все ча- В>В, и<0 стицы стали двигаться. Формально при й -'з оо а -з 3 и В = 0 химический потенциал р й т. е. фактически равен нулю все время вплоть 0 ло температуры Ве. В втой области мы, испольл(в) р(о) зуя процедуру 5 2, и. г), можем выделить в нормировочном соотношении в асимптотическом пределе 1т - 'со, когда -р/в = лг*в 1((1т р) и когда й 1т зз', слагаемое с нулевым импульсом . 1 й4 1 1 и 1, ш йге— еЧг — 1 еЗь+зйзт — 1 еаза — 1 1т'уз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
