Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Динамическая часть проблемы нами бьша рассмотрена при исследовании невырожаенного случая. Она сохраняется полностью и здесь. Сумма з тоже уже посчитана (см. задачу !6). Имеем для случая Е» = ~з' + 2/ЗН(м+ -') — /3Не 235 О 3. Злекглрвшый газ в магнитном лале Так как эффект весьма чувствителен к температурному размытию, то двя его обнаружения понадобились поля напряженностью в десятки килогаусс (в импульсах — сотни). Эффект чувствителен также и к поворотам магнитного поля по отношению к кристаллографическим осям ионной решетки металла (в нашем изотропиом случае в формулах участвует только р Рд ргз/2пг, поверхность Ферми сферична) и тем служит одним из методов для экспериментального воссоздания геометрической структуры поверхности Ферми лля данного образца металла.
Теоретическое объяснение эффекта осцилдяций иамагничения в зависимости от величины магнитного поля было дано впервые Пайерлсом (В. Ре1ейз, !933). с» Задача 19. Исследовать термодинамические свойства двумерного идеального нереля- тивистского ферми-газа. Решенпе. В двумерном случае, обозначая Ь«Ь = г, р'/2гп = е, имеем ~ У( — ") = — г /У( ) ир.Врем —, /У( — ) 2ярйрм —, 2 /У(г)4г.
Р В случае В = О условие ЛГ = 2 и дает сразу « рг=л(2я ) ' сг= (2в ) В случае В И О уравнение лля химического потенциала разрешается точно: 2ш Г Ве В ДГ = Лà — / ~ Р/ — 1п (1+ е" ), — вl о откуда е"р = е'гр — 1„р = В!п (е«™ — 1) = ге+В!п (1 — е '™). Желая представить э'тот результат в форма традиционных разапженийг «г гг — В «еж+... в' случае В ч. гг, р= В1п(гг/В)+... в случае В л»гг, мы обнаруживаем (см.
обсуждение в 9 2, и, в)-2), что прн В/ег «К 1 химический потенциал степенных членов по В/гг не содержит вообше. Зля внутренней энергии при В < гг получаем, -заимствуя значение интеграла Т« нз задачи 6, (следуюшие члены пропорциональны е км), откуда для теплоемкости Вг 'В сгн = — — = — — +.... ВВЛГ 3 ег В высокотемпературном случае мы могли бы воспользоваться обшей формулой для энергии невырожденного идеального газа (см. гл.2, 51, п.е) данного тома), рассчитав для двумерного случал величину ( р' 3 Х(В) "= — ~ ~ехр ~ лг '(2 в)' г 236 Задача о дополнишельные вопросы н главе 2 которая после подошновки ее (а также величины х(в/2) ) в формулу дая удельной внутренней энергии приведет к результату 1 сыр+ -сг, 4 дс недостаточному для расчета квантовой поправки к теплоемкости системы сг н = —. С целью дд' получения следующего члена высокотемпературного разложения поло:ким * = р'/(ад) н запишем величину с в виде с = — Э вЂ” и = — / вахе е" (!+е е ' ) р в'г !У 2тд сг Р о Так как в области В Ъ сг еш =егг — 1= — +-( — ) +-( — ) +" 1 то для внутренней энергии, избавляясь от знаменателя в вышеприведенной формуле, получаем разложение 2 х С= — хдхе *ем (! — е *ем .+е е Ш +...), сг ./ о которое после взятия элементарных интегралов приводит к результату 1 1ст с=в+-сг+ — — +..., 4 36 в что дает лля теплоемкости в высокотемпературной области дс 1 Гсг'! сгн = — =1 — — ( — ) +....
дд 36~В) Обший вид температурной зависимости теплоемкости двумерного идеального ферми-газа представлен на рис. 128 (см.;щкже комментарий.к задаче 53). Легко показать, что в двумерном случае (аналогичный расчет см. й 2, п. а)) Г Ег — р) 'г Гг м -В ~~ !п (1+ ехр [ — г О) = -Ф, в что позволяет сразу, не делая дополнительных расчетов, получить уравнение состояния д рв=с, с= —. Лг Своеобразны магнитные свойства системы — появляется анизотропия. Если вектор магнитно- го поля лежит в плоскости системы, то ее реакция на поле Н чисто спнново-парамагннтная.
Клк в задаче 13, имеем Лг — 2хг м=)з, 2!г=к, +!!г, гле !Хгь = — — !и (1+ ехр ( — )) . Уравнение !1Г = !!Г++!ГГ разрешается относительно химического потенциала довольно просто: г! = е" = — сй — + сй' — + еьгд, !3Е дН в в отсюда следует М Л, — ЛГ В, (1+ Оапш!") )уп ЛГ 2сг (1+ гге !Лл!Гг) 237 й 4. Релятивистский грврми-газ Для восприимчивости получаем М~ )3 и/ет в случае В ~К еш г — 2 РН зг 1зш г Н л-е )3'и/В в случае ВЪег Если же магнитное поле перпендикулярно плоскости системы (в,у), то своболного движения и вдоль оси г уже нет, зато возникает орбитальное движение в плоскости системы, и часть паулевского парамагнетизма будет скомпенсирована диамагнетизмом Ландау.
Рассмотрение проблемы в невырогкденном случае повторяет исследование, выполненное в задаче !6, с той только разницей, что при подсчете суммы з нз нее следует исключить множитель (2гггпр) ц, который не содержит магнитного полн и в зависяшую от )3Н лВ ()Н часть 1пз не входит. В случае же В ч.
ет еле- рис.рй. Характер зависимости иаиагиичедует использовать метод, прелложенный в зада- „ня вырожденного дауиериого электронного че 18. Не вдаваясь в летали выкладок, несколько газа от величины иагиитиого пола в спучаотличных от трехмерного случая (в интегралах, ях его продольной и поперечной ориентации определяюших исходные выр жения ля а и дг по Отношению к легкости систены по отношению к плоскости систены в двумерном случае будут стоять целые степени переменной г и химического потенциала !г), отметим, что в случае Н О мы получим, как и в трехмерном варианте, уменьшение полученной выше паулеаской восприимчивости на одну треть и, конечно, ванальфеновские осиилляции восприимчивости с периодами по обратной величине магнитного поля Вз(ег/2(3Н) = л1, л2.....
Удельная свободная энергия / = (П+ Р!т')/ЛГ и основной член в относительной намагниченности при В < ег и (3Н К зггВ имеют вид (см. Рис. 98) кг Вг ! ((3Н» (3НВ ( вгВ) ( = -гг - — — — — — + — ехР ! - — З соз ~2к — + 2 б ег 3 ег гг ( )3Н1 ~ 2(3НУ М д/ 2 )3Н' ггВ ( гггВ ) / гг = — — — — 'ехр ! — )1 эзп ! 2в — ) + ..
)уп д(/ЗН) 3 ег (3Н ( /ЗН) 'Х 2)3Н) 5 4. Релятивистский ферми-газ Задача 20. Рассчитать термодинамические характеристики идеального ферми-газа, энергия частиц которого зависит от импульса линейно, 8„= рс (с — скорость света). Решение. В случае Еп = рс мы имеем (см. задачу 4) ре = е/3, и поэтому для решения задачи необходимо рассчитать только удельную внутреннюю энергию е = Ф/гц, исключив из нее химический потенциал Р = Гг(В, е). Положив В = О, определим масштабные единицы импульса и энергии (для конкретности считаем у = 2, т. е.
спин частиц е = г/г); К = сг и„= —. —:грг, рв —- Д( Зк — ), ег — -ргс. с~ г (2кй)з 3 г в — ( ~,) г При В за О имеем и 1 ! 2У Р рэпер 1= — ~п =.— — 4зг ( = — л, гу г ' гзг (2кд)з з ееп-пзм+ ! ез и г и 1 ч ! 2)г Г рср Вр 3 е ю — ~ реп = — 4к) = — гз, !у ~" гу (2яд)з,/ еггг-Нззе+ ! ез г г 2ЗВ Задачи и доиолннтвльныс:лолрвсы к слава Г где (см. б 2 основного тексш) Н с Вс — ( 1 + а Н + ...) в случае В к;и, 12 рс+ ! о еы .
2Вз +... в случае В ль (Р),, « — (Р) сз Вс — (1+ 2э ~ ( — ) +...) в случае В ч, Р, 1з — = 4~ ен Фцс+! о саы. бр" +... в случае В Ъ |Р! . Отметим, кстати, что температурное разложение 1г продолжается только до (Вур)", а 1з— до (В/Р), лалее уже илуг члены, пРопорциональные ехр (-л/В). Разрешая первое соотношение относительно химического потенциала, получаем в области низких температур Р = сг(1 — — ( — ) +...), В < сг, а в области высоких (неаырожденный газ) 11с,~ в 3 сг И вЂ” 1 — 11, Р=-ЗВ1и — — В!пб, В>сг. Для удельной внутренней энергии при В ~ сг после подстановки в формулу лля 1г величины,в' получаем ,(!+ ( ) +...), В<с, а в невырожденном случае после исключения ехр(ргв) с = 3В, В Ъ сс, откуда для теплоемкости имеем в дс я — в случае В<сг, сгн = — ев сг ВВ 3 вслучае ВЗгсг (классический результат полностью согласуется с теоремой о равнораспределении для случая Ер = рс, см, гл.! данного тома, задачу 44).
Уравнение состояния имеет вид -сг(1+-я ( — ) +...) вслучае В ьсг Ре=-сед 4 3 сг 3 В в случае В Ъ сг, Заметим в заключение, что ультрарелятивистская мгаель идеапьного ферми-газа, лля ь а=„яэ 'э а р.. массой покоя ги не реализуется при В и. сг, так как те частицы из заполненной сферы Ферми, которые находятся вблизи ее центра р = О, ультрарелятивистскими никогда не являются. Исключение составляет газ нейтрино (пока мы считаем, что для него ш = О), однако, ис- кяючая, пожалуй, только реликтовый нейтринный газ, мы не имеем оснований предполагать, что в природе сушествуют еше примеры равновесных систем из таких частиц.
с Задача 21. Рассчитать энергию основного состояния идеального ферми-газа из частиц, учитывая релятивистскую зависимость их энергии от импульса. Ряшение. !3 отличие от предыдущей задачи теперь р'/ 1 шс + — (1 — — — +...) в случае рч.иге, 2ги т, 4 шэсг ч-~Ж' Р7- в случае РЪ шс, 239 04. Реляаиеисшогий ферми-гаэ Значение граничного импульса Ферми от вива функции Е не зависит, поэтому гх из й( г ) тел з г ) Для энергии основного состояния имеем ~ - — 'м» М»«' '7 (2 б»/ о Введем безразмерную переменную интегрирования 4 = р/пос и безразмерный импульс Ферми ич Рг й ( г2~Г) Тогла для удельной внутренней энергии при д ш 0 получим е = — = Зпос — з /(сг), Ь где Т(( ) = / й( 4 тУ+ 1 = -(г Ь + 1) — -4г(('г + 1) — — 1п ((г + 1 Я+ 1 ) о (нижняя подстановка ( = 0 вклала не дает).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
