Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Для нерелятивистского случая (а = 2) эта формула была получена в основном тексте; Случай а = 1 включает в себя равновесный газ фотонов, для которого мы у:ке ранее из других соображений (см. том 1, 5 5) получали Р = и/3, где и = й/У. гв у 2. Нереллтивистсний вырожденный Егории-гоз $2.
Нерелятивистский вырожденный ферми-газ Задача 5. Исследовать температурное поведение химического потенциала идеального ферми-газа заданной плотности. Рассмотреть области низких и высоких температур, а также область. в которой химический потенциал, меняя свой знак, обращается в нуль. Решение. Используем зту задачу для демонстрации еше одного метода расчета фермневскнх интегралов, основанного на использовании табличных значений для дзета-функции Римана. Одно из интегральных представлений этой функции (для сравнения см.
5 2 п. в)) имеет вид '"г г-14 Т(р) = / — = (! — 2'. г)Г(р)С(р). е Приведем сразу необходимые нам значения: Г(-) = —, Гн = 1/я, Г(2) = 1, /31 /1~ 1г ((-) м 2,б!2,, Г(-) = -! 4бо... б(2) = —. 'х2/ ' ' 12/ ' ' б Запишем уравнение для химического потенциала йг = 2»р, гд廄— распределение Ферми, г в интегральном виде, обозначив я = р'/(2ти), а = Р/и (спин частиц равен '/г): , зи / *Г г(я 2У-4я(2»г)У дг= св е Получим сначала стандартную (см, 52. и.
в)) формулу лля химического потенциала идеального ферми-газа при низких температурах, т.е. исследуем асимлтотику интеграла для /У в случае а Л> 1. Беря интеграл по частям и вводя новую переменную интегрирования у = я — а, имеем дГ Сиз!2(2 312 1 ~ 2у д ( — ! ) ) е 3 / д ( )( + У) вр -а Интересуясь первыми степенными поправками по 1/а, мы можем, пренебрегая более слабыми при а Ъ 1 членами, пропорциональными е ', изменить ни,кний предел интегрирования с-а на -со. Тогда, разлагая стоящий под знаком интеграла бином (!+ У/а)"' в ряд по !/а и учитывая симметрию функции д(е" + 1) '/ду и симметрию пределов интегрирования, получим +х +Х Заметим, что так как интеграл в первом слагаемом равен единице, то в случае Е = О (а — оо) згг " г тдг' тГ Хкд ДГ = — ет С, ег = — ~Зя — ) 3 ' 2г» $'/ г(й Задачи и дополншпельные вопросы л главе 2 о Решая зто уже алгебраическое уравнение относительно р, получим известный результат р= гт(1- — ( — ) +...).
Рассмотрим теперь область вблизи температуры Во, в которой химический потенциал газа обращается в нуль. Полагая в исходном выражении для 13' параметр а = р/Во — — О, получаем, исключая мнозхитель С = !У -' ггГ, 3 322 2 Г 3 Во э~з хц' дх 2 2( ),/ „- Во=ге(313 2 ) =098гг о В области М =  — Во « Во малым параметром является также и величина а = р/В « 1. удерживая в разложении пслынтегральной функции только первый член по а: 1 1 д~ 1 а+..., е* '+1 с*+1 дх(с*+1/ учитывая, что о о и замечая, что получим, сокращая на /У и учитываяопределение Во ( 2 Во )( 2 1(3/2) ) р 1(3/2) М бв а= — а-3 — гл — 1,5!в В 1(1/2) Во Во р = -1,51М. Наконец, исследуем уравнение для а в случае высоких температур В ло гг. Полагая е ' м 1, имеем в нулевом приблиокении х 322 /У= — — В' / е е х дх.
2 312 о Пуассона, и мы получаем для химического потенцию3а Рис. 82. Химический потенциал иде- ального ферми-газа как функция тем- пературы. Изменение знака происхо- дят пря температуре Во гв 0,98ег. Интеграл по х сводится к интегралу в квазиклассическом приближении где множитель (9к/16) 03 й 1,2! . Общий вид зависимости химического потенциала идеального ферми-газа представлен на рис.
82. г> Используя граничную энергию ферми ег не только как меру пдотности идеального фсрмигаза, но и как масштабную единицу энергии, исключая величину С, учитывая симметрию полынтегральной функции в оставшемся интеграле, позволяющую заменить его на удвоенный интеграл по области 0 < у < ос, а затем, взяв его по частям и сведя к стандартному виду, получим, подставив выписанное ранее значение дяя Е(2): 215 $ 2. Нереяялгивиапский вырожденный ферми-газ Задача б. Полагая, что распределение по импульсам в идеальном ферми-газе имеет вид 2 1 д/ (2хД)з г г/(г 2 1, ~(Р)йР определить при В к, ср среднюю величину модуля импульса, среднее число частиц, падающих за секунду на 1 смг стенки, и давление, которое они на нее оказывают. Сравнить с результатами для классического идеального газа (см.
гл. 1 данного тома, задачи 31 и ЗЗ). Решение. Интегрируя по углам н обозначая, как в З 2, рг/2гл = е, имеем ДГ 2 /' ррг!р У 2 г /" ег(е р = — —.4гг = — — 4х ° 2игг ! (2 д)' / ,„ ( и/! -)~ ~ ! = /У (2 д) ' / .! - !м + !' о Используя полученн!то в $ 2 низкотемпературную аппроксимацию н = ея (1 — — ( — ) +...), получаем, подставив ся = рт/(2гл) = Д'(Зх~ДГ/У)~/~/2пг, 2 4(6(с)) В выражении для числя чостип.
подающих за секунду на 1 см стенки, — И р, У 2 1 /// р, Нр, ггр„гср, и= и — ге(р)ар= я — —— <р,>о! перейдем от декартовых переменных (р„, р,) к пилпнлрлчсскнч (р, р), учитывая, что йр,йр Рг!Рг!тг 2хрйр! р„+р, =Р к к 2гг /, = 2хнгв / „= 2хгпв!п(1+ е"). рйр о ехр ('гЪ вЂ” о~ + ! о Тогда г и = — —, 2хглВ / р,ар, !и (1 4ехр ( — (р — — ) )). о Полагая рог/(2иг) = П, имеем, беря интеграл по частям: к к 2хгпВз~ г!п!п(!+еы огн) =2хиг' =2хгп Рн ,/ е!о ЮН+1 о о откуда сразу следует результат пр м6 и= >к гп4 4' 216 Задачи и дополниглельнвге вопросы к слове Я по. форме полностью совпвдаюший с полученнмм в гл.
1 ланного тома (см. зшшчу ЗЗ), для невырожленного газа, там было 6 = (88/(эгш)) Пэ. График величины р (или пропорциональной ей и) приведен на рис.83. Зля давления на стенку, перпендикулярную оси е, имеем известный обший результат (см. $2): р=п ~ — *2р,м(р)дргм еь>е! эт р Рс = п 2 /т — м(р) т(р гм и Р* 2 /Рг + Рг +Рэ ,/ 2гп 31, 2ш 0 ен В Рис. 83. График температурной зависимости среднего числа соударений частиц ферми-га.за со стенкой или 2 ре= -е, 3 где в низкатемпературном случае (см.
8 2, п. в)) (в невырожденном случае е = ЗВ/2). Задача 7, Определить среднее число частиц вырожденного идеального ферми-газа, падающих за секунду на 1 см' стенки с импульсами, нормальные составляющие которых больше ро в случае р',/(2гп) — сн» В. Решение. Залача имеет непосредственное отношение к оценке тока насыщения электронной эмиссии из катода (формула Ричардсона, см. гл. 1 данного тома, эааачу 35), где ре/(2ш)— это полная высота барьера стенки (полагается, что она выше энергии Ферми). Проведя интегрирование по р„и р, (см. предыдущую задачу), имеем в данном случае Р* > Рз э мг,>з —— — — — 2ягпВ / р эзр !и (1 + ехр ~-- ( — * — Р) ) ), ээ Так как в соответствии с условием 2 э Р* Ре — — Р > — — ег» В 2гп 2т второе слагаемое под знаком логарифма значительно меньше единицы во всей области интегрирования па Р, мы получим, ограничиваясь приближением Р ск сг, и Р 2 П Ыз лнгпр ! Ре и„>, = — — — 2эгтВ ~ р,гЗр,е >Ы ем = — ехр) --( — — ег)), эь»м — „э 1у (2яд)э / ' * (2яд)з ( В 1,2гп где ре/(2т) -ег — величина потенциального барьера наа уровнем граничной энергии Ферми.
Интересно отметить, что если в классической формуле Ричардсона, полученной в гл. !данного тома (см. задачу 35), исключить плотность числа частиц и, выразив ее через химический потенциал невырожаенного газа: М (2атпВ)нэ !г (2эгд)' то мы палУчим в точности тУ же фоРмУлУ длЯ и >и, в катоРой только Р „„заменено на Ре й сг. 217 8 2. Нерелятивистсний вырожденный ферми-гпэ Задача 8.
Найти распределение по модулю относительной скорости двух частиц идеального полностью вырожденного ферми-газа. Решение. В случае Р = 0 приведенное в задаче 6 распределение по импульсу ю(р) вырождается в ферми- ступеньку: аг 2 11 при х>0, и~(р) = — — О(рг — р ) 9(х) = ~ 2у (2хд)з ' ( О при а<0. Введем, как в аналогичной классической амане (см. гл. 1 данного тома, задачу 27), вместо импульсов частиц р, н рз величины (рис,84) Р Р~ = Р+ —, 2' Р=Р~ Рн Р~ + Рз 2 Р рт = Р 2' Рис. 84.
Взаимное расположение векторов импульсов частиц Р„ Рз (внутри сферы Ферми), относительного иипУльса Р = Р, — Рз и импУльса центРа инерции Р = (р, + рз)/2 — др др мдрдр, 1 27(Р!рз) 27(РР) ! и, проинтегрировав произведение ю(рг)ю(рз) по всем значениям импульса центра инерции Р двух частиц, получим распределение по ик относительному импульсу ю „(р) = ( ю(Р+ -р)ю(Р— -р) др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
