Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В нашем изложении ограничимся рассмотрением простейшей модели твердого тела (так сказать, базовой, критиковать которую и уточнять можно уже будет потом): а) булем полагать, что пространственная кристаллическая решетка совершенно правильна, без каких-либо дефектов, а сам кристалл — олноатомный. т.е.
в каждом узле решетки находится только один атом (без дополнительных внутренних степеней свободы); б) ограничимся только гармоническим приближением, т.е. случаем малых колебаний пространственной решетки, заполненной по узлам точечными массами. С точки зрения механики движение такой Зт -атомной молекулы, представляющей собой 3!У связанных осцилляторов, может быть приведено к 31х нормальным колебаниям, т.
е. не зависящим друг от друга гармоническим колебаниям с разными собственными частотами, образующими набор значений (ы). При этом каждое нормальное колебание представляет суперпозицию смещений сразу очень большого числа узлов решетки, это характерный коллективный эффект для всего кристалла в целом. С введением для описания механического состояния системы нормальных колебаний ее тепловое движение можно описывать не только на языке пространственных смещений узлов решетки, т. е. с помощью набора импульсов и координат частиц,'как это мы делали лля газовых систем (рн, рм, ги..., ги) (31т трансляционных степеней свободы, по три на каждый узел решетки), но н как возбужления ЗФ нормальных колебаний системы с частотами (ын..., ызн) (так сказать, представлять состояния системы в разных базисах).
Характеризуя этот набор собственных частот спектральной плотностью -„'аГ(ы)/Вгп, такой, что полное их число равно полному числу степеней свободы системы г!Г(ы) = ЗЮ, зл Е(„1=~~ Ь;ьл~п!+-), и;=0,1,2..., ыи статистическая сумма распадается на произведение независимых колебательных сумм м =мы 2=П ., м=м -Ьм!(2У! 1 — егн откуда для свободной энергии .-7 = — В!п Я = — В~~> !пх = ~~~ — +В~~~ '1п (1-' е ь'!г) 2 мы практически сразу можем записать для данной модели твердого тела ~очное решение статистической задачи. Действительно, так как собственные колебания считаются независимыми друг от лруга, то микроскопическое значение энергии системы равно сумме независимых слагаемых 94. 7ермодииаличесяое системы незовисимык остзилллтарав )97 с(с'(оз) сйо Рис.
74. Епектральная плотность собственных колебаний 9Г(ы)/йи в алюминии. Пунктирные линии 1 и 2 — спектральные плотности числа различно поляризованных поперечных колебаний в кристалле А!, 3 — то же для продольных колебаний.
Спловная линия представляет сумму этих трех графиков. Частота ио Гд 0,87 ГО'з Гц соответствует дебаевской температуре 2'о су 396 К 1. Модель Эйнштейна (д. Е!пв1е(п, 1907) Самое простое предположение о колебательном движении узлов кристаллической решетки — зто положить, что все они колеблются с одинаковой частотой, т. е, спектральная плотность собственных частот представляет собой сосредоточенный единичный пик в области некоторой частоты ые.' ИГ(ы) = Зггб(ш — ые) дм. Внутренняя энергия такой системы, представляющей собой Зйг-кратный осцнллятор, равна г = ЗйЪ~„= Ззч ~ — + / ссиЕ мсиЕ 2 ельм/Я вЂ” 1 (а ее колебательную теплоемкость мы подробно рассмотрели в э 3, и.
в) (см. рис. 70). При высоких температурах 9 Ъ Гиле выход удельной теплоемкости с = С/11Г = Зде,/99 на константу, равную с = 3, можно с достаточно хорошим совпадением с экспериментальными данными описать, подбирая параметр ые. Однако прн 9 чЕ лхие — ничего общего с экспериментом, кроме общей тенденции с — О при 9 — 0; вместо экспоненциального поведения теплоемкости осциллятора наблюдается степенная зависимость от температуры: 9 ) и т.д. Для внутренней энергии Ф запишем аналогичное выражение не в виде суммы, а с использованием выражения дпя ИГ(ы) в виде интеграла по частотам — + — ИГ( ), откуда уже следует теплоемкость С = дзг/99, и т.д.
Таким образом, оставшаяся про- зо 087 блема заключается в построении величины сГГ(ы)/9си и взятии однократного интеграла по частотам для интересующих нас значений 9, Конечно, эта 2 О проблема хотя и остается задачей теоретической физики, но это уже не статистическая проблема — она уже нами изс 10 решена.
В конце концов, спектральную плотность числа собственных колебаний для данного образца данного твердого тела можно заимствовать из соответствующих экспериментов по рассеянию на криаталле Х-лучей, нейтронов и т.д. (рис. 74), тогда дальнейшее рассмотрение превратится в расшифровку расчетов, выполненных с помощью ЭВМ (еше с большим экономическим успехом можно было бы заимствовать из эксперимента сразу график температурной зависимости теплоемкости). Не ставя перед собой задачи убивать теоретическую физику на столь раннем этапе, рассмотрим некоторые варианты теоретического построения функции ИГ(ы)/9оз на основе простейших общих представлений о тепловом движении в твердом теле.
198 Глава 2. Идеальные сосееиы в апаюигяачеглоб мехалглге Такое температурное поведение теплоемкости сразу наводит на мысль о сушествовании сходного механизма теплового движения в твердых телах при малых е и теплового движения в равновесном излучении (фотонный газ). 2. Модель Дебая (Р.
Оебуе, 1912) Модель Эйнштейна — это модель индивидуальных колебаний каждого узла решетки. Как создается и чем улерживается эта пространственная система потенциальных ям — неясно, какими-то внешними силами. На самом же деле решетка создается самими же атомами кристалла, смешение узла сразу же сказывается на его соседях, поэтому никакой независимости индивидуальных колебаний в твердом теле нет и именно поэтому выбор г1Г(ы) по Эйнштейну привел к экспериментально ненаблюдаемому ходу теплоемкости при низких температурах. Заметим, что при и 0 результаты гиббсовской теории вообще очень чувствительны к особенностям спектра низколежаших возбужденных состояний системы: во всех формулах температура ГГ фигурирует в комбинации вида е л1г1~г, при малых д эта экспонента существенно изменяет свою величину в области малых Е(р), и особенности начала спектра возбуждений системы оказываются чрезвычайно существеннымии лля всех величин, в расчете которых участвует зта экспонента (мы уже имели случай убедиться в этом при исследовании низкотемпературных особенностей идеальных ферми- и бозе-газов в $2, а также вкладов в теплоемкость от различных типов внутреннего движения в молекулах в 6 3).
Так как с, „° Ф, то характер низколежаших возбуждений существенно не эйнштейновский (у осциллятора А = Е~ -Ее = Ьы — возбужденное состояние отделено от основного конечной энергетической щелью Ьы). Как мы выяснили в п. а) этого параграфа, у фотонного газа тоже сф ез, Это было связано с тем, что для фотонов Еф(р) = ср.
Таким образом, мы получаем уже целое «руководяшее указание» по поводу структуры Е(р) лля твердого тела. ,Вернемся к системе 1т связанных атомов, совершающих малые колебания. Каждое собственное колебание системы (возбужденное нормальное колебание)— это суперпозиция индивидуальных движений, вообще говоря, всех атомов системы. Математическое решение задачи о собственных колебаниях такой системы в общем случае очень сложно (исключение составляет одномерная модель кристалла, рассмотренная в задаче 51), поэтому используем физические соображения. Практически мы просто знаем о таких коллективных колебаниях в твердом теле: при Л» а = (( — — зто акустические волны.
которые получили название з/г фононов (по аналогии с колебаниями электромагнитного поля — фотонами)— лля каждой частоты ы одно продольное и два поперечных независимых колебания. В случае Л Ъ а систему можно считать непрерывной (как в механике сплошных сред) и при полсчете величины 4Г(ы) использовать аналогию с электромагнитным излучением (исторически было наоборот: от механики сплошных сред — к понятию твердого эфира в электродинамике, а затем уже к понятию поля; теперь же мы как бы совершаем обратный переход).
Тогда. объединяя оба поперечных колебания в одно слагаемое, имеем 2 „~<Ы 1 ыгщ„3ытй„ вЂ” ИГ(ы) =— + — — =— У' сз 2яг сз 2я2 2ягсз 1 где мы ввели параметр, характеризуюший среднюю скорость распространения акустических колебаний (вместо с1 и с„): 3 1 2 — = — +— сз ~'~ сзг 199 б 4. Термодинамические системы независимых осциляягооров Условие Г 3ы~йи 3!г ыз «» 3!!Г= 4Г(ы) = / !г 2я зсз 2язсз 3 о определяет максимальную частоту фононов ы„,„= ыо. Используя последнюю формулу, можно записать окончательно структуру величины 4Г(ы) лля дебаевской модели 3$' з 9!!г — гы»ы= з ы Й~ если ы(ю~«х™0~ 4Г(ы) = 2я'с' ььз,»* О, если ы > ымм»»ып.
Обрезание на максимальной частоте ы = с(бя !»/!г) помимо формальных г ьч оснований (сохранение полного числа степеней свободы вне зависимости от способа описания состояний системы) имеет и физические: для соответствуюшей ы „длины волны имеем цч Таким образом, дебаевское обрезание эквивалентно требованию, исключающему сушествование «гидродинамических» волн с длиной, меньшей межатомного расстояния. Мы видим, что принимаемая лля ЙГ(ы)/йо модель имеет физическое оправдание в области длинных волн Л > а (ы «С ып — фононы) и имеет разумное обрезание при Л а (ы = ыо), Конечно, в промежуточной области Л < а интерполяция 4Г(ы)/йг очень приблизительна, и экспериментально снятые графики этой величины подтвержлают эту «приблизительность» (сы.
рис. 74), Но зато имеется и большой выигрыш, мы имеем простое по виду, универсальное, однопараметрическое распределение для спектральной плотности собственных колебаний в твердом теле. Исследуем сначала (прежде чем наводить критику), что оно лает. Для удельной внутренней энергии имеем г,7» е = — = — + !!Г / з, 2 е' 7г — 1) ыз„„8 до,/ е' — ! о о где мы положили х = Ъы/д н обозначили Ды„„„= Оо. Сразу заметим, что в отличие от излучения энергия нулевых колебаний ге — — 9дп/8 конечна и лля каждого тверлого тела имеет свое значение (так что об обшей «перенормнровке» энергии в данном случае не может быть и речи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
