Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Термодинамические сиовемы независимых осцилляязоров 193 с частотой иг в случае статистического равновесия приходится энергия с, то спект- ральная плотность энергии (энергия 1 см' системы, приходяшаяся на интервал частот ы, пг + дги) равна ыз,! 1 Д 3 ' 1 Т,з Р (В) Игл = е,— = — — дги+ — дги. .з з = яз„з 2 язв ь!в Первое слагаемое в правой части, равное Р,(0) дги, представляет собой результат учета энергии нулевых колебаний осцилляторов поля. С этой частью связана формальная трудность: ввиду того что число колебательных степеней свободы в системе не ограничено сверху, обшая плотность энергии всех нулевых колебаний у„(пг) Уо 2яс з бв ьсз '(Ри(д) ды)окэ (Ри(б) дги)гмвнк = з,з з ув дги з з з Это и есть знаменитая формула Планка (Мах Р!апс!с, 1900).
Универсальный график функции /(~) = Сз/(е! — 1) приведен на рис. 73. Рассмотрим некоторые следствия полученного выше закона лля Р„(В). Рнс. 72. Зависимость спектральной плотности числа собственных колебаний 7„(ы) = ~т —,"„г ~ в системах одного, двух и трех изменений (и = 1, 2, 3) 7,(ьг) = Зз„к; где ув — число независимых поляризаций колебаний с данной частотой ы бесконечна, По физическому же смыслу — это энергия электромагнитного вакуума, т.е.
состояния, в котором отсутствуют возбуждения электромагнитного поля (энергия системы в случае В = О). С точки зрения термодинамики величина яо не зависит от термодинамических переменных, это термодинамическая константа (хотя н расходящаяся), поэтому все термодинамические эффекты, связанные с появлением над этим «вакуумом» газа фотонов, можно рассматривать на фоне нулевых колебаний, которые никакого вклада в термодинамические величины не дают. С точки зрения энергии такой подход означает простейшую процедуру перенормировки — перенос отсчета энергии электромагнитного излучения от урсгвня, соответствуюшего отсутствию электромагнитных возбуждений в системе. Заметим, что существование фона нулевых колебаний — это не фикция, связанная с какимито формальными моментами теории, он проявляется как поляризуюшая среда при взаимодействии с двантовым полем электронов, эти явления были подтверждены на экспериментах спектроскопически (тчг.
(лть, !947' и далее), объяснение которых послужило новым толчком для последующего мощного развития релятивистской квантовой электродинамики н квантовой теории поля в целом. Таким образом, без учета энергии электромагнитного вакуума равновесная спектральная плотность энергии фотонного газа имеет вид (С = Лы/ — безразмерная частота) 194 Глава 2.
Идеальные сиплеиы е оваогиопической нахониле ЛФ) Б5 1,О 0,5 в(й) = р (й)гйи = о О 2 4 б 8 4=Лги/О йч е чсз дчг тзсз вз / о = — — — й й 7,569 1О эрг/см ° град, 4 -15 3 4 хзсз лз 15 которое точно совпало с экспериментальным ее значением, а следовательно; и точный коэффициент в теплоемкости ав сг = — — — 4сгй, дй имеюшей характерную кубическую зависимость от температуры. Во-вторых, мы получили точный коэффициент в законе смешения Вина: условие др (О)/ды = О дает нам для расположения максимума планковского распреде- ления Если написать формулу Планка по отношению к длинам волн А = 2яс/ы, то условие Ор~(й)Г'йл = О даст .
2ясй 4,965... В-третьих, формула Планка, появившаяся за 24 года до квантовых статистик, включает в себя бозе-распределение — среднее число фотонов с часппой ы: ! Яч = Исторически это, несомненно, спровоцировало появление бозе-статистики, но для нас это не выглядит случайным, так как после материала В 2 мы можем использовать непосредственно корпускулярный подход к излучению как к идеальному газу фотонов. Тогда сразу дГ(ог) Ри(О) = ниязи = (Рм(О))цвви ° Рис. УЗ. График лланковской спектральной плотности энергии равновесного электромагнитного из- Э лученил Щ) = +-н в безразмерных леременных б = — . Пунктирные линии показывают ее ловедение в области низких частот (высоких температур О Ъ Лы) З(С) Й (' (формула Рзлел — Джинса) и в области высоких частот (низких теилермур О ь Лы) Щ) й б~е т (формула Вина) Во-первых, функция р„(й) удовлетворяет всем требованиям, сформулированным в томе 1, гл.
1, в 5. Из нее следует не только закон Стефана— Больцмана для плотности энергии равновесного излучения го о ч 4 = — — — Ф =ой тгзсз лз 15 (мы учли здесь интегральное представление г,-функции римана, введенное в В 2, п. г) и ее значение Г(4)г,(4) = я~/15), но и численное значение константы о в этом законе: й 4. Термодцчамячесаие гцгтемы нвзависомых ясццлляяюрое !95 Характерно, что, привлекая стандартное бозе-распределение,мы должны положить р = — 0 (т.е. воспользоваться результатом, полученным ранее на термааинамическом уровне рассмотрения проблемы равновесного излучения).
С точки зрения микроскопической интерпретации равенства и = 0 — зто проявление неисчерпаемости резерва для фотонов, участвующих в формировании термодинамического состояния системы. Их число теперь можно точно олределитгс .Л'(д) = / я ИГ(ы) = 1г — / — = И йз Т Г' 1~ ВзГ(3)ДЗ) / Ю'х' =Р 0244....~ — ) .з\ьз / 1 ! .з зьз ' ''' ~Тс) Наконец, в-четвертых, немного истории.
Появление формулы Планка (1900) означало открытие эры физики ХХ в., связанной с отходом от представлений классической механики. Идея квантования энергии, воспринимавшаяся первоначально как удачный формальный прием, послужила затем основой для объяснения явления фотоэффекта (А. Е!пз!е1п, 1905), построения первоначальной квантовой теории (й.
Войт, 1913) и, наконец, в 1923-1926 гг. всей основной части нерелятивистской квантовой механики, радикально изменившей принципиальные основы всей современной физической теории. В задаче 47 мы остановимся на оригинальном выводе формулы для спектральной плотности энергии, основанном на так называемом принципе Больцмана для энтропии, впервые сформулированном Планком в 1900 г. в виде формулы Я = -!г 1и Я' (у нас 3Р = 1ТГ, где Г'- статистический вес равновесного состояния системы), и на предположении о дискретности значений энергии излучения с заданной частотой. Интересно отметить, что сам Планк в следующие годы в своих лекциях и книгах получал свою формулу, по существу исходя из идей Гиббса, т.
е, так, как мы это только что сделали. Так как формула Планка сразу же получила экспериментальное подтверждение, то идея дискретности энергии стала приобретать характер закона, противоречащего сложившимся к началу ХХ в. представлениям и поэтому требовавшего детального анализа. Анри Пуанкаре (Н. Ро!псаге) в 1911 г., т.е, за год до своей смерти, проведя математическое исследование этого вопроса, показал, что гипотеза квантов (т.е.
точная дискретность энергии резонаторов Е„= Тгыя) — зто единственная принципиальная гипотеза, которая приводит к закону Планка (если дискретность чуть-чуть нарушается или чуть-чуть приблизительна, то не будет и формулы Планка). Другую сторону проблемы равновесного излучения исследовал Эйнштейн в своих. известных работах по излучению (А. Е!пце!п, 1916). Он, как бы полностью игнорируя идею Планка о всеволновой черной пылинке (см. том 1, гл. 1, б 5), рассмотрел равновесие электромагнитного излучения с газом, молекулы которого могут находиться в двух энергетических состояниях, причем в соответствии с постулатом Бора Ез — Е~ — — Ьи, и на этой основе сделал свой вывод формулы Планка. Мы рассмотрим этот круг идей в задаче 43.
После утверждения квантовой механики надобность в интерпретации формулы Планка полностью отпала, и многие дискуссионные вопросы о природе излучения, корпускулярно-волновом дуализме, особенностях флуктуаций энергии излучения и даже такие вопросы, как что такое тЕмпература излучения и т. и., приобрели в основном историчсский интерес. Влияние идей Планка не ограничилось только использОванием их в теории равновесного излучения.
В следующем пункте мы увидим, что эти же идеи (причем в голы, предшествующие утверждению квантовой механики) сделали возможным объяснение характерных особенностей термодинамического поведения твердых тел. )96 Глава 2. Идеальные словемы а опапшспачесной мехонпне б) Качественная теория теплоемкости твердых тел Твердое тело как микроскопический объект представляет собой в целом очень сложную систему, это М сильно взаимодействующих друг с другом атомов, образующих вместе одну связанную систему — гигантскую Зт -атомную молекулу с огромным числом внугренних степеней свободы, возбуждение которых и составляет основу теплового лвижения твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
