Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Явление исчезновения упорядочения наблюдается (по Л-выбросу теплоемкости, по изменению сопротивления и т. п., а также рентгеноскопически) для очень большого числа веществ, температура Кюри может составлять величину от долей гралуса до тысячи (рекордсменами цо Юл являются ферромагнетики кобальт и железо, Со — 1404 К, ге — 1043 К; Л-переход в СцАи — 8б3 К, в латуни СцЕп — 739 К). Но весь этот сюжет не составляет темы данной главы: для объяснения явлений, связанных со спонтанным возникновением и исчезновением упорядочения состояний узлов в пространственно дискретной системе, существенным является учет их взаимодействия (хотя бы ближайших соседей, как наиболее сильных и определяющих основные эффекты).
Это специальный раздел теории неидеальных систем (см. гл. 3, 8 2), исходно дискретных и пространственно, и по микроскопиче- О ! 2 3 4! 5 6 ТК О '.500 1000 Т, К Т о Т„ Рис. 60. Два примера наложения Л-кривой на дебаевскую теплоенкость в случае Тз < То (соль СиС!з х 2Н«0) и в случае Т, ) То (железо) ским состояниям узлов (это позволяет при описании микроскопических состояний решетки использовать двоичную систему счета «д໠— «нет или «плюс» — «минус»), причем процессы упорядочения обычно рассматриваются отдельно, а затем накладываются на вклады от колебаний решетки и т. п. Существенность общего вклада Сл в общую теплоемкость твердого тела показана на двух примерах экспериментальных кривых на рис.
80. е 5. Обсуждение Материал этой главы достаточно разнороден по физической тематике. Формальным моментом лля такого объединения послужило то, что все рассматриваемые системы были идеальными. Это позволило провести рассмотрение конкретных проблем на аналитическом уровне и более или менее точно. Точно же решаемые системы — это всегда украшение любой теории. Отсюда и стремление создать впечатление парада успехов статистической механики, продемонстрировав их на физических примерах, которые с той или иной степенью достоверности удается смоделировать с помощью идеальной системы и сделать их достаточно доступными 208 Глава 2. Идеальные сиапемы в сгпагпиппичеснай механике для математической обработки и, что тоже важно„для физической интерпретации, сколь условной она бы ни оказалась.
К сожалению, основная часть статистической механики — теория неилеальных систем — не обладает такой кавалерийской легкостью, каждый частный результат, даже каждая поправка лается там в результате большого труда, но об этом пойдет речь в следующей главе. Так как основные физические и формальные проблемы мы обсудили по ходу дела, то нам остается сделать традиционный обзор дополнительных вопросов, вынесенных в раздел задач.
Среди них выделяются две.большие группы. Первая — это идеальный ферми-газ — излюбленная модель лля описания. свободного электронного газа в, металлах. Тут будут рассмотрены достаточно традиционные не- релятивистские задачи (формула Ричардсона, барометрическое распределение при й (( ее в однородном силовом поле и т.д.), а также электронный газ в магнитном поле (включая эффект осцилляций де Гааза — ван Апьфена). Релятивистский же ферми-газ нацелен скорее во Вселенную, чем в область парастатистических (см. задачу 33) надежд в субчастичном микрокосмосе. И все же, любопытного читателя может заинтересовать исследование равновесных свойств релятивистской электрон- позитрон-фотонной плазмы (задача 22) и весьма схолной с ней в формальном отношении гипотетической модели столь же термолинамически равновесной кваркантикварк-глюонной системы (задача 23) с характерными плотностными характеристиками в ннх и межкомпонентным энергетическим балансом.
Вторая большая группа задач — это учет внутренних движений в неодноатомных газах. Большинство рассмотренных здесь проблем откровенно хрестоматийны. Среди них необходимо отметить задачу 46, в которой на примере двухуровневой системы введены в рассмотрение термодинамические состояния с отрицательной температурой, характеризующей перегретые состояния систем с ограниченным сверху энергетическим спектром.
Из остальных сюжетов упомянем задачи на исследование идеального бозе-газа из частиц (они изящны, но, к сожалению, не имеют практических выводов) и две исторические задачи: вывод формулы Планка по Планку (1900) и по Эйнштейну (1916). Задачи и дополнительные вопросы 51. Общие формулы для одноатомных квантовых газов Задача 1. Г(олучить основные общие формулы для расчета термодинамических характеристик идеальных квантовых газов (см. а 1, и. б)) в рамках канонического формализма Гиббса.
Решение. Воспользовавшись для кронекеровской Ь-функции интегральным представлением Вг(и) = —, / е '" На = —, (е "'" — !) = г( 2я(,/ 2х(я (О, и=Ы,~2,..., можем представить каноническую сумму В для идеального газа (см. 81, л.б) в виде зы зы 1 Г Г 2=~ — / иаехрс-алг+а 'г кх — ~~~ — глг ~ = — / 4аехр -лга+~~~1лГр 2ггт В г) 2 / 1лг! е г где Гг = ~ ехр (-( — — а)лг„~. г Так как в предельном статистическом случае сумма по р г =Хе, то для расчета статистической суммы Е мы можем воспользоваться методом перевала (см, гл.
1 данного тома, зааачу 3), положив 1 ш(а) = -а+ — ~ !в( (а), Определяя точку лереаала а = ае из условия ш'(а) = О, получим лля а уравнение гг=~ — ~ К ехр( — ( — г — а)Мр)~= 2 г Провала новый контур интегрирования на комплексной плоскости а через точку перевала (рис. 81), получим в главной ло К асимптотике для своболной энергии лк = -В(вЯ = -Кем(ар, ЛГ). Термодннамический смысл величины ае усматривается просто: Р = ( — ) =-В(-ае+ — ~ 1псе) — ВЛГ(- — ~ !оср) = Ваы аг г г т. е. 1' ае =— В' Эодочи и дололнилтельные вопросы к главе 2 (р = ~~~ ехр ( — — !у ~.
нр О аа=д/В а Для внутренней энергии, обозначая д = 1/В, получаем т д 1п Я д 1и В д / 1 ч ч-~ -рге -р1н 1 тР=В = — — = -Х вЂ” ~-дзт+ — ~1п рз е дд дд 'х ди 1 / дрт = !У (Р+ д — + — 2 ~% - и - д — ) "р, =, нрпр дд Р12 ~ ' дд/ и т.д. Доказательство того, что и = !Ур, предоставляется читателю. Для олноатомных бозеили ферми-газов суммы по !у легко считается; Ш ср = ~(! ~ е 'в '") и мы получаем все станлартные формулы 52. Задача 2. Выразить энтропию идеального бозе- или ферми-газа через средние числа заполнения.
Решение. Обозначая Кр — р = ср, имеем е„!пир —" = 1и — Р, В 1 и Р еяр/Р~ !' 1~е г — ет -р ге ! р гр 1~ир ! !апр пр откуда для термодинамического потенциала й получаем й = ~В '~ 1п (1 ~ е и и) у ВВ '5 !и (1 а ир), поэтому для энтропии системы дй 1 дп Я = — — = х- Е 1п (1 ~ ир) +  Š— Р, дВ ВВ ' р р учитывая, что т грез 1пи — =и е "à — рр — и (1~и )!п —, дВ Вт В и р получаем после приведения подобных членов Я = ~ ~((1 ~ и ) 1п (! ~ и) т пр 1п и ) . рис.ЗЗ. деформация нуги интегрирования по а при использовании метода перевала дяя расчета статистической суммы Я и полученное нами выше уравнение для ао преврашается в стандартное уравнение для расчета химического потенциала в переменных В, У, !У: д!пь !У=7 п„п д(Зт/В) Для свободной энергии имеем / й 1 ч 5 = -!уВ~ — — + — ~1пьр) = 14!у — В~!и 1,В Л~ откупа лля потенциала й следует станлартная формула й = эи — и!тГ = -В Ц~~ ~ 1и Ь . г11 е 1.
Общие формулы для одноолюмных квонлювых гогов В больцмановском приближении (невырожаеиный случай), когда п < 1, выражение лля энтропии значительно упрощается; Яь= — ~~~ пр(1пп -1), где п =е ПГ. с р Задача 3, Считая, что энтропия сипеиы определяется функционалом Я(пр) =~„~ ((!~пр)!п(1~па) ~па!пир), определить величины средних чисел заполнения пр из условия максииума энтропии при заданных значениях полной энергии системы и полного числа частиц в ней: Ерпр, Лг = ~ пр. Решение.
Используя методику Лагранжа (см, гл.! данного тома, задачу 6), определим без- условный экстремум функционала Я = д(пр) — 33(~ Е,п — 6) + а~~ п — 1у) = глах р по отношению к переменным п, д и а. Уравнение 6о/6пр = О сразу дает 1п (1 и ар) — 1п пр — 33Ер + а = О, откуда следует 1 елвр '~1 т.е. распрелеление Бозе (верхний знак) или Ферми (нижний знак), в которых величины 33 и а определяются из уравнений дэ/д)3 = О и дЗ/да = О: 1 ! =!У ~~Е =л рв„-а~1 г г ~Р рвр-аЛ1 р р Остается только выяснить термодинамический смысл величин д и а. Воспользоваться лля этого дифференциальными соотношениями нельзя, так как написанное в условии выражение для Я зависит от 6 и 3У не непосредственно, а через функции п (33, а).
Обозначая пр произволную функции пр по всему ее аргументу (дЕр — а), будем иметь дя да дя д1У (33Š— а)п Е = д — — а —, д!3 дд р дд д (33Ер — а)п' = 33 да да — Ерп',Ер, дд р д1У да Е !~п дп 1п — Р— Р = пр дд 1п — -с — = дпр пр да де — Еп'= да Р р д3У,~-, — п'Е =— дд=--' = р 2!2 Задачи и дололлиглельные вопросы к главе Г условие з1Г = сопя! означает дйг ВЛ дй — =О, — =- — =О, да ' дд да а условие Р = сопя!в дк дк дЖ вЂ” =О, — =- — =О, дд ' да дд поэтому /дд дд 'т дй ("д) = ~ — дд+ — д ) = д — (дд) = д(дг), 'хдд да /л дд / дд дд 'з д!У (г)Б)в — — ( — 43+ — в!а) = -а — (да), = -а(д3тг)в, (,дд да )в да и мы получаем т.е ! Р а=-, В' В' как это и лолжно быть в квантовых распределениях для средних чисел заполнения пр.
Задача 4. Показать, что вне зависимости от типа статистики для идеального газа выполняются соотношения ргг = 2д/3, и р)г = д/3 в нерелятивистском (Бх = рз/2гп) и ультрарелятивистском (Ер — — рс) случаях, соответственно. Решение. Пусть зависимость энергии свободной частицы от импульса определяется формулой .Е = ир" (а > О, а > О). Переход от суммирования по (р, и) к интегрированию можно представить в виде схемы х /(Е,) =, /1(Ев)ляр втр= с / /(е)еи' ~ Ые, в' в в тле згв-~ 7в 4я ( ! зГв е=ир, Ргтр= — 'е, с= з ( аизГ ' (2хйз) а т,а,~ Тогда внутренняя энергия К идеального газа запишется в виде е =,/' /' сн Ые К= Еп =с ,! вив,! вв 0 Для термодинамического потенциала П = -Ри имеем, беря исходный интеграл по частям, а 3 в а г езы с П = ~Вс в(/ !и (! =г е !' вг( ) е и гте = жВс — я Ы !и (! ж е !' ви~) ) — — с / 3 !в=в 3,/ е!' вив ж ! Первое слагаемое правой части обрашаетсв в нуль, а второе с точностью до множителя совпадает с величиной гт, поэтому получаем а РУ=-П= — в, 3 откуда в случаях а = 2 и а = ! следуют требуемые результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
