Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Выделить парамагнитный и диамагнитный вклады, Решенце. Напомним кратко известную звлачу квантовой механики о движении эле«трического заряда е в однородном магнитном поле Н = (О, О, Н). Введем соответствуюший этомУ полю векторный потенциал А = (О, На, О). Предположим сначала, что частицм не обладают собственным магнитным моментом. Волновая функция тогда является однокомпонентной и удовлетворяет уравнению Шредингера лля свободной частицы. в котором слелана замена с ь 8 с р р — 2Д =-,.
— —;Ня Л рсдс(с дс)сср Л Уд р еН ЕФ(хс рс з) = — ( — +— 2рп (,дяр длр ) 2ш ~др Л с ) Оно допускает разделение переменных сг(в, р, «) = ехр С вЂ” р„р)1 ехр С( — р,т ~сР(х) (обратим внимание на то, что по отношению к переменным у и з волновая функция имеет вил плоских волн, характеризующихся квантовмми числами р„и р,), где ус(к) удовлетворяет уравнению Р + — (Р— — и) р=(Е *~р, являющемуся по сушеству уравнением Шредингера для гармонического осциллятора (' — + )ср(х) = Еср(я), Рс п«8 (* — ЯР) 1 2гп 2 где р еН гл' еН' ' 2гп Это уравнение имеет нетривиальное решение только при определенных значениях Е Лас(и+ 1/2), ВВЕдя МатистОН БОра )3 = ЕЛ/(2тс) КаК аЕЛИЧИНУ, ЗаМЕНяЮШУЮ Заряд ЗЛЕ«трОНа Е, получим для бесспиновой заряженной частицы, двигающейся в поле Н, известный результат Р* 1~ Е ж +2дН ~~и+ -).
2 1, 2) Для подсчета статистической суммы нам понадобится формула, вырывающая число квантовых состояний, приходящихся на интервалы дсррЬР, значений непрерывных, квантовых чисел Р„и р,. Так как в направлениях у и е волновая функция частицы прелставляет собой плоские волны, то справедлива.стандартная формулл (см. гя. 1, $6, п. 6)): ьг(Р„Р,) = —, сьр,,бр., урХс (2яд)Р (Ьс„бр, Ь, — размеры сосуда пв осям в, у, з; объем' системы Р = Ь,Х8.6,). Ввиду того, что уровни энергии вмрожлены по квантовому числу р, суммирование по этой величине можно 228 Задачи и да/галмишельные вопросы и'главе 3 произвести заранее. Полагая дхя конкретности стенки сосула непроницаемыми, мы должны учитывать, что центр ке, около которого происходит гармоническое колебание в направлении оси я, должен всегда находиться внутри сосуда, т.е.
О < яе < Ь,. Поясним использованный здесь знак ~. Волновая функция гармонического осциллятора достаточно жестко сосредоточена около центра параболической потенциальной ямы, распо- ложенной в точке яе. Пусть Ь ((я — яа) ) — тот интервал, внутри которого волновая 2 функция осциллятора сушеатвенно отлична от нуля. Если зЗ < хе < Ь, — зЛ, то осциллятор не ощущает наличие стенок, расположенных на уровнях я = О и я = Ь,, Если же яа попалает в пристеночные Ь-слои, то там и гармонического колебания не будет — будет движение в асимметричной потенциальной яме (т. е.
волновая функция р(х — ке) уже не будет иметь — (ю- д2 вида экспоненты е М* *'~, умноЖенной на соответствуюший полинам Эрмита). Эта задача точно не решается даже для простейшей вертикальной модели стенки. Однако все эти непри- ятности лля нас несушеспюнны, так как в предельпом статистическом случае, когда Ь, - оо, все эти уточнения уходят в негарантированные основной асимптотикой члены и все равно отбрасываются. Подставляя в написанное выше условное неравенство выражение для ка, получаем, что в пренебрежении граничными эффектами Ь,еН О < р„< — * = /зр„, где Ьрг — полный интервал допустимых значений квантового числа р„.
Учтем, что заряженная частица может обладать магнитным моментом, в частности, лля электрона /з = дгг, что энергия взаимодействия его с полем Н равна -д(ггН), н подведем итог динамического этапа рассмотрения проблемы. Микроскопическое состояние заряженной частицы со спинам '/г во внешнем поле Н = (О,О,Н) определяется квантовыми числами Л = (р„п,а) и р„, принимаюшими значения -оо < р, < +со; гг = О, 1, 2,,; а = — 1, +1; О < р„< ххрг, энергетические уровни частицы по квантовому числу р„вырождены; е„= — ч 21ун(п+ -~ — /зна, 2пз ~ 2/ число микроскопических состояний, приходяшихся на данный интервал Вр, при всех допу- стимых значениях р„, равно Ьг:6, еЕЫ, )геН аг(р.) = " * * Вр, = — ар,.
(2эЛ)з с ' (2яЛ)'с Перейдем теперь собственно к статистической задаче~ Для невырожденного квантового аза, когда ехр (р/В) ч. 1, имеем в нулевом (т. е, без квантовых поправок) квазиклассическом зриблнжении й(В,У,Н,р)=~В~~1п(1~ехр в" ии) =-Веш'~~~ е ви', ь ь дй(В, 1г, Н, р) др откуда, исключая химический потенциал, получаем для свободной энергии Зг = й + ~иЧ ш -Лгв - Лгв 1п — з е вьм = -/та 1и — 7 е енв = -Лгв 1и з здесь е — основание натурального яогарифма, не путать с зарядом электрона, обознааемым по традиции той же буквой). Заметим, что ставшее под знаком 1п выражение юедстввляет собой квазиклассическое выражение'лля статистического интеграла г = Я ил ааже мно:китель е/й/ — как бы остаток от 1/)т'! ш (е/Лг)п по формуле Стирлинга). Если, 2ЗО .Задачи и дополнительные вопросы л'гдова 2 Обратим внимание, что спиновая восприимчивость всегдя парамагнитна, восприимчивость, связанная с изменением характера движение заряженных частиц в магнитном поле, диамвгнитна (Л.Л.
Ландау. 1930). В случае сяабмх полей /ГН и'. В лля любой из восприимчивостей имеем закон Кгори /1зл Х=7 в где уг = ! (парамагнстиэм ПаУли). 7е = — !/З (диамагнетизм Ландау), 7из — — 2/3 (лла невыоожденного газа со олином 1/з). г> Рис. 95. Зависииеаь удельного иаизгииче. иия М (в единицах М = пд) ст величины иагнитяого поля дН/В в иевыроидеииои случае В > Вэ гг для газа заряженных частиц без елина, дяя газа заряженных частиц со 'слииои ~/з и для газа незаряженных частиц, обладавших иагнигиыи иоиеигои /йг (или пространственно локализованных электронов) Задача 27.
Полагая, что сумма по микроскопическим сопоянияи отдельной чапицы идеальной системы л(д) = ~ е д'/ г пожег быть сосчитана, построить процедуру расчета териодинаиического потенциала () идеального ферми-газа ()=-д гу 1п(1+е (д' "!2). Проверить полученные формулы, рассмотрев случай Ер — — рз/2лз, когда й = -2д/3, в вырожденном случае д < сл сопоставив результатй с полученными в 42, и. в)-2 основного текста.
решение. Расчегу потенциала П в общем случае мешает конструкция с логарифмом (в невы-' рожаенном случае, рассмотренном.а предыдущей задаче, она пропадает, и этой трудности нет). Покажем, что «вытащить» экспоненту е Г~г "!Л из-пад знака логарифма можно с помощью его интегрального представления / !и(1+ е*) = —, /! —, — с!*, дл, О < е < !. 2я$ 3!и я( Ф-гья Чтобы убедиться в этом, подсчитаем прямое преобразование Лапласа от функции !и ( !+ехр я). Ваоля переменную и м ехр х и беря по частям, чтобы избавиться от логарифма, получим при б < ! (подстановка в безымтегральном члене и = О и и ~ со дает нули, см.
для сравнения интеграл, рассмотренный в д 2, п. в)-2) +х х ди 1 Г ди 2 = / 1п (1+ е*) дл = /! !и (1+ «) . - / иг+' у / ог(! + и)' -х е 9 Рассмотрим такой же интеграл, но не по пути О ( и ( сс, а по контуру, июбраженному на рис, 44 в д 2, п. в). Интеграл по верхнему берегу рвзреэа дает искомую величину 2,. по нижнему — ту же величину, но умноженную на -е «"Г', интеграл по большой окружное(и при Л -ч сс обращается в нуль (б > О)„по мвюй прн г - Π— тоже в нуль (б < !), ' Учитывая, что внутри контура имеется единственная особенность -'" простой полюс в точас и = е" = -1, и свбирвя все части вместе, получаем (1 — ')2=2к! ' 2= ! ~ О<с<1, бз з!и яб' гз( й 3., Элекизранный газ е магнитном поле.
что и доказывает правомерность интегрального преаставления логарифмической функции. Поэтому дла термодинамического потенциала й и среднего числа частиц !з/ (уравнсния для определения химического потенциала и) имеем Ых й = - — / — — х(В/~) е гь(, ! / ! я1 мн 2я!,/ сг ни я( «-Зх ««гх /зг м — = — / — — э(В/1) е И(. дй ! 1 ! я( Рг/В др 2х! / ( з/и хе Ляя проверки этих формул рассмотрим случай Е = рг/2пг. Сумма а(В) считается с(мзу: В(В) = — (2ггте) /, г(ВЦ) = э(В)— (2х/г)з Рз/г ' и мы, сделав замену 1 = х В/и (или з = (р/В), получаем !«(2 )3/г / В«/Р+«х ««/Р-Зх В«/Вых В«/В-зх В случае низких температур, используя разложение получаем з/г(2т) 1 я /В 'з Уя (2т)з/г л /з/=(//РН~ — ~1 зн+ — ~-/) 1-Нг+ — ~-~ 1з/г+ ° "~з (2яй)э ~, 6 ~/г,/ 360 г,/В/ где Р«/РЫ"Ю т/х 1 ! 1, = — 1/ —,е оэ.
г э Р«/В-ЗС Чтобы вычислить все эти ннтеграаы, достаточно рассмотреть только один производяшнй В«/Вы«« о 1(!) = —. 1/ — е * з(х. г/з В«/В-эх Можно, конечно, деформировав путь интегрирования, кдк это показано на рис. 96, брать интеграл по берегам разреза и окружности вокруг точки э = О. Однако, проше вспомнить, что изображение Лапласа степенной функции неносредственно связано с интегральным представлением Г-функции: е !' Рй = х 'Г(е). В гзг Задачи и !Зололнилюльные вопросы к главе 2 Полагая д м 7/2 и выпись!вая обратное преобразова- ние (формула Меллмна) по обозначенному на рис. 96 контуру С, имеем !/ †, / е*з / ел ° ГН с откупа, учитывая, что Г(7/2) = 15»/е/8, для искомого интеграла 1(1) сразу получаем 1(!) = — 1'. 16 15 Рис.
98. Деформация первопачапьио- го пути интегрирования при расчете интеграла 1(1) Поэтому 16 д1(!) ) 8 1-7/2 1(1) ~ — я~ 1-5/2 15 ' О! ~ы! 3 1 /, — — я -~- — !) ... ~--(н-1) ндд ! 23... 15 2~2 ) '»2 н наше температурное разложение можно выписать до любого порядка: Мы не получили сейчас нового результат»: ряд для /»/ совпадает с рядом, полученным в 9 2, п. в), а ллв П вЂ” с рядом лля -2е/3, полученным там же. Но этот метод получения низкотемпсратурного разложения для ферми-интегралов оказывается эффективным в случаях, когда структуре функпии Е более сложна, чем изотропная структура р'/2т, как зто, в частности, имеет место при движении электронов в магнитном поле.
с Задача 18. Используя метод расчета фермиевских интегралов, предложенный в преды- дущей задаче, определить в переменнмх (В, У,!з!,Н) нвмагиичение Х вырожденного газа свободных электронов. Е» ) УеН»/2ятВ /ЗН д(е/с) = ~ ~схр ~ - — 67 = — — сгв — <, Е ) (2вй)зс .Д Е поэтому после замены 1 = ла/М получаем дд/дых дд/д-!х дд/д+!х У(2т)"' 3, ~/я — ~ — з ~ з!и — з) — — за!Ь вЂ” з) г)з. ад (2яд)з з,/ т,д / Р )л'/' // ».Р ) !х/д-!х Путь интегрирования вдоль вертикальной прямой (рис. 97) можно деформировать так, загибая его копны налево, что он распадается на петлю Св, охватывающую точку ветвления з = О, Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
