Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1 В случае Е = 0 это интегрирование несложно. Обозначим сов д = х (-1 < х < 1), введем безразмерную величину б = (р~ — Рз(г'(2рг) = р)(2рт), тогда получим х = =(Р ') '""" а Рис. 88. Область интегрирования по переиенныи х и Р а формуле дпя ю„„,(р) 1 к / ег(рт(1 — б~) — Р— 2ртРбх) к 0 Р х 9(рт(1 — б~) — Р + 2ртРбх)2х их.
Полынтегральная функция симметрична по переменной х, поэтому мы можем взять удвоеннмй интеграл по х в пределах 0 < х < 1. Тогда первая Е-функция определит область изменения х (рис.85): Рт(! с ) 0<х< =ха(Р) Р 2ргб з вторая удовлетворится автоматически (х > О) Как это видно из рис. 85, интеграл по переменным Р и х распачается на интеграл зо прямоугольной области 0 < Р < (1 — б)рг единичной высоты и по области (1 — б)рг < Р < тггг — бз рт, ограниченной сверху линией х = ха(Р); х аги-О ! агФ:Р *а!У! ...+ з( дР ~ дх.... а а а а аги-11 а Выполняя несложное интегрирование, получаем в безразмерных переменных ю(р) 4ар др= ю(б) дб = 12б~(1 — 8) (2+8) Иб. 2!8 Зодпчц и дополноглельные вопросы я главе 2 График этого распределения приведен на рис.
86. Расчет наивероятнейшего значения (ы и среднего Сг чнтатель может выполнить самостоятельно: (нв = 0 511 (!Рг Рз!)нв — ! 02ря м(с) ( м 0,56, !Р~ Рз! = 1,12рю Гь Задача 9. Рассчитать время жизни простейшего возбужденного состояния вырожденного ферми-газа в виде частицы над заполненной сферой Ферми с импульсом р ((р! = р > ря), связанное с ее взаимодействием с другими частицами системы, полагая фурье-образ потенциала этого взаимодействия и(д) эффективной константой (см. д 2, и.
в)-3 основного текста) и р — ря с,ря. Рис,бб. График плотности вероятности распределения по относительной скоро- сти двух частиц идеального ферми-газа при И = О, („, = 0,51, б = 0,56 Решение. Время жизни тг возбужденного состояния связано с его затуханием Гр простым соотношением тр — — Д/Г, где Г = Дыр/2, а м представляет собой вероятность перейти ферми-частице с импульсом р за секунду в любое другое допустимое принципом Паули и законами сохранения состояние. При рассмотрении вопроса о применимости молели наеалыюго ферми-газа для описания электронного газа в металлах в э 2, используя борновское приближение и исходя из самых общих соображений, была произведена завышенная оценка этой величины, которая оказалась для нас вполне достаточной и которая была связана с тем, что в исходной формуле юр = ~~ — ~ — ) б(Ер + Еь — Ет ч — Ек.,ч) пк(1 — пф ° ) (! — пете) 2 я / м(д) т ' ьг области интегрирования по а и р' = р — Е аппроксимировались шаровыми слоями ралиуса рт и толщины р — рг.
На самом же деле множитель и„(! — и )(1 — пь, ), обеспечивающий Условна !а! < Ря, )Р— ц! > рт и !1г+д! > Рт, вырезает в этих слоях тонкие сферические луночки, и данная зааача представляет характерный для электронной теории пример расчета этих геометрически сложных объемов. Вынося за знак сумм величину В(д) ш и и переходя к интегрированию, имеем пм 'Рг 1 / / / Р' а' (Р-а)' (а+ я)'т мг = ° /! и!г ! Нд6( — + — — — — — )пк(1 — и )(1 — пь ) хзя' я'!бр' т,/,/ (,2пт 2пг 2пг 2т или, вводя безразмерные переменные для импульснмх величин 4 = й/рг. д = д/рг н ь = р/ря, обозначая косинусы соответствующих углов как х = Вя/ад и у = рд/рд и учитывая свой- ство б-функции б(ах) = б(з)/а, позволяющее записать ее относительно безразмерного аргумента, шмрг 1 т е Р 37 4/( ~/д !/ / Р (! с условиями, ограничивающими области интегрирования по (, О, х и у, !р — д! > рг Г~+ 0 — 2ЬОР > 1, !й+е!>Рг 4'+д +2бдх>1 й<р„ -(<1.
Снимая интегрирование по д с помощью б-функции в точке 0 = ГР— бх, что всеедстщв 0 > 0 определяет нижнюю границу для переменной уе < хС/С (так как Г > 1 и б < 1, тп Эе < х), получаем мг =, т — ( ( И( ( ех/ ду((у — (х) шмтр4р 1 2)9 у 2. Нереллглывнсглскпй вырожденный ферииыаз (х У1 —; — 1'<х<+1, Проинтегрировав по переменной у, получаем 1 ы=г»ь»*1 ь»~ р Второе слагаемое подынтегрального выражения в силу нечетности по х вклада в интеграл не даст, а первое в.силу независимости разности (('+ (' — 2) Ун»»(х) Уны(х) = (3 .от величины х выносится за знак интеграла, и мы получаем ! ши р».
1 / (' — 2+ (' ай' 8 / (' т/з:с' Этот и»неграх по (, конечно же, берется элементарно, но нас интересует результат, соответ- ствующий пределу р - рг < рн. Полагая ( = 1 + Л, где Л = (р — рр)/ря << 1 и ( = 1 — а, имеем ;/»2 (Т= 1 — Л; (з 2+»' и 2(Л вЂ” а); (г ад 1! — ы 1, откуда следует, что с точностью до членов порялка Л' интеграл по (, преобразованный в интеграл по а, становится равным па 2(Л вЂ” а) = Л . о Таким образом, окончательно получаем величину вероятности г 8 хай » которая оказывается в восемь раз меньше полученной ее оценки в ф 2, п. в) — 3 основного текста. г> с условиями, ограничиваюшими область интегрирования по переменным х н у, (2+(2 т (2 !+(2 2 ( 2 'У 2 изображенную на рис.
87 (в первом неравенстве мы учли, что у Ъ (х/(). Более того, из первого из этих тзпех негпавенств слеауег, что 1 — ( < ( — 1, откуда лля области интегрирования по импульсной переменной ( = й/рт имеем /2-(г <( <1. 'Рис. 87. Область интегрирования по углоаын перененнын х = Кй/лу н у = Рй/ру а выражении дяя вероятности ыр (заштрихована) Задачн и дололннлжлелые вопросы к алове Я гго Задача 10. Определить барометрическое распределение для идеального ферми-газа, помещенного в однородное поле силы тяжести г/(з) = пздз, в случае В = О. Исследовать характер изменения этого распределения при В ть О. Плотность газа пе на уровне л = О считать заданной.
Решеное. В соответствии с общим условием термолинамического равновесия во внешнем потенциальном поле (см. том г, 86) имеем р(п(з),В)+глаз = р(пе,в). Прн В = О, обозначая ег = —,(Зя пз), сразу имеем зв з ЗГЗ глаз 'т / влвз'т зтз ег(з) = ет(! — — ), п(з) = не(! — — ) ст ез При включении температуры, даже такой, что на уровне з = О газ остается вырожденным, В ч:.
ег, на некоторой высоте зз его плотность уменьшается настолько. что он становится классическим: ет(зз) = — (За'п(зе)) й В 2гл и при з ) зз имеет место обычное классическое барометрическое распреаеление глв п(з) п(зз) ехр (- — (з — зе)). В На высотак з ( зе газ остается вырожденным, поэтому, удерживая только первую температурную поправку, имеем и/пз Рнс.88. Барометрическое раслределе- ние для идеального ферми-газа лри В=Он ВИО " (--'(Ь)') ="('--'(-',)')(- ("-"(.-',)')) илн, полагая в поправочном члене, ег — ет(з) й 2ет(ез — ет(з)) й 2етглвз, -="("-"(Ь)'(=,':) ( -7("-"(В'))"' Внд зависимости плотности п(з) от высоты представлен на рис.
88 (графики нормированы не на общее число частиц Ф, а привязаны к плотности пе на нулевом уровне). Задача 11. При переходе электронного газа из нормального состояния в сеерхпроводящее энергия возбужденного состояния электрона над заполненной сферой Ферми Ер = рл()з — рл)/пз существенно иеняется: появляется энергетическая щель 28 (порядка температуры перехода е сверхпроеодящее состояние В,„) Ер —— з."ь+ ер (рис 89). Аппроксииируя функцию ер как с„= (р — рзв)з/(гпз'), будем считать, что эта парабола очень крутая и что при В вс, Ь функция ехр( — (р — рр)з/(2гп'В)) ограничивает область интегрирования неболывим интервалом р вблизи р = ря. Определить в сделанных предположениях теплоемкость системы Скл.
Решение. В принятых условиях имеем для средних чисел заполнения .=..(~)„! =-(-в)- (-'1.".в') 221 9 2. Нерелятивистслай вырожденный ферма-газ Заметим, что, во-первых, в этом приближении теряется тип статистики (хотя В << Ь « ея) и, во-вторых, при В = 0 имеем н = О, т.
е. возбуждений нет совсем. Подсчитывая общее число возбуждений при В Ф О, имеем х Дг"=~ нР— — е уГ ехРС( — — 2Р ЫР 74ЯГ -дж Г ( (Р— Рт) ) (2яй)з,/ '( 2 В о или, учитывая оговорку, сделанную в условии задачи, ДГ' = — рт~/2з из'В е 74ЯР з, -дж (2 Д)3 Лля энергии системы имеем ( 2 где Р = 1/В. Выполняя несложное дифференцирование, получим Рис. 89. Характер изменения энергии возбужденна электрона лри появлении энергетической щели гз, отделяющей энергию основного состояния от энергий возбужденных д = дг* ~ь+ - в). Длн теплоемкости отсюда следует С,я = — ' = дг* [( — ) + — + -~.
Рассчитывая эту теплоемкость в среднем не на число возбужленных состояний ДГ', а на чи- сло электронов Ф, получим для ее удельной величины 4яирх /2яш'В ш ("('Ь') Л 31 График температурного поведения удельной тсплоемкости электронного газа в сверхпроводящем состоянии при В «гз В„, приведен на рис. 50. г> , „.„„„„.„„„„.,„„,...,„„. ~ll~~ГГ щ сновное 'ВУ"-Р'Оодни Запр ценная ФУ зона' торого представляет полностью запал- у пенную валентную зону и пустую зону проводимости (см, рис. 90), пока- 0 р зать, что значение химического потен- Валентная (+2 циала р лежит в интервале О < р < з."ь зона 2 из' (т. е.
в запрещенной зоне), определить срайнее число возбужйенных состолний рис. 90, энергетическая схема простейшей мотипа частица — Дырка при температуре дели полупроводника В «з."ь, внутреннюю энергию и тепло- емкость системы, полагая для простоты, что эффективные массы электронного т и дырочного пз* возбуждений равны друг другу. 'ешение. Энергия электрона Ер. перешедшего в результате температурного возбуждения гз заполненной валентной зоны в зону проводимости, вблизи дна последней молгно аппрок- нмировать квадратичной зависимостью от импульса г22 Задачи и дополнительные вопросьз х главе Я Е =Ь+ —, Р' 2гп где т — аффективная масса электрона, а сама энергия отсчитывается от уровня потолка валентной зоны (см.
Рис. 90). Энергил же образовавшейсл «дырки» (вакантного места в заполненной валентной зоне) Ег, отсчитываемая от этого же уровня и также аиироксимируемая вблизи потолка зоны квадратичной зависимостью от импульса, будет отрицательной и будет характернзоватьсл своей эффективной массой зп' Р Е' = — —. 2гп' ' Так как условие ещ~ >> 1 практически выцслняетсл вплоть ло температур В !О К, то мы вправе положить е'а юз«» ! и е»л » 1 (мы нокажем далее, что !з гд ь/2), что сразу сводит проблему расчетов, как и в задаче 11, на уровень рассмотрения не вырожденного ферми- газа: срелние числа заполнения электронных состояний в зоне проводимости, гле Ер > Ь > О, запишутся, если отсчитывать энергию от уровня потолка заполненной валентной эоны, как 1 1 а средние числа «заполнения» дмрочных состояний внутри валентной зоны, гле Ер < О, как 1 1 Так как лмрочное возбуждение возникает ири переходе электрона из возможной зоны через Ь-барьер в зону проводимости, то число возбужденных состояний в системе можно записать в виде лг (Вз !г) ~ ~нр ~(1 нр)з или, переходя к интегрированию, 19'(В, 1г) = —, ехр ~ — ) / ехр ~ — — ) ВР»» —, ехр ~ — - ) (/ехр ~ - —, ) з!Р Интегралы ио импульсам электронов и дырок — максвелловские и равны соответственно (2зппВ)нз и (2лт'В)Н', а написанное выше соотношение (равенство числа электронных и дырочных состояний) представляет уравнение длл химического потенциала системы, Такий обраюм мы получаем Гз = — + -В1д — ы —, 2У'(В, И) = — (2х»Яы'В) е Ь 3 пз' Ь, 2У зо лззз»З 2 2 пз 2 ' ' (2лд)з Для температурной части внутренней энергии Ьзг' = зз — ззе, где Вс — энсргил основного состояния системы Ь«=~ Езнг+~(1-н;))ф= г = —,(ехр~ — ) ( ( — +Ь) ехр( — — )Вр+ехр( — — ) / — „ехр( — —,)з!Р) и тецлоемкости сразу в упрощенном варианте гп = пз' получаем в случае В м, Ь вырюкениа ЬВ = — (?КтВ)ко(3В -1- Ь)е ~гм й ЬМ'(В, !г)з (2, д)з Сз = — = дФ 2К з з/15 Ь 1 /Ь'з 'з д,зм! 1 /Ь'з (2хтВ) Ы~ — + 3 — + - ~ — ) /1Е ' Ы вЂ” ( — /З 1З"(Вз К) дВ (2хй)з 1,2 В 2~В) ) 2( В) 22З 82.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
