Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Неделя>пиеиопоай вырожденный фирме-газ с характерным для всех систем со спектром возбужденных состояний, отделенным от основ- мого состояния системы энерптической щелью, зкспоненциальнмм стремлением к нулю прн В- О. Здддче 13. Вывести фориуяу для осмотическога давления в случае, когда прииесь является не классической системой (как в случае Вант-Гоффа см. тои 1, раздел задач, 8 11, >й 56), а вырожденной разреженной ферии-жидкостью. Решение. Сохраняя обозначения, использованные в задаче 54 термодннамической части курса (см.
том 1) в разделе, посвященном слабь<м растворен, имеем для химического потенциала растворителя (нулееая компонента) при малых относительнмх концентрациях примеси и = >У</А>о (< 1 И,(В,р,и) = ! — 1 теро (В,Р)-рие<+Роие< = Ио (В Р) — Р>о~и Г Взг ~ <,> <о> Ввго вгщ гле И„~(В,Р) = уо(В,ео) + рео — химический потенциал чистого растворителя Ро и Р< <о> парциальные давления растворителя и примеси (р = ро + р>). В случае и и. 1 примесь образует разреженную систему, близкую к идеальному газу в тер- мостате, роль которого играет растворитель.
Справедливо считая малую молекулярную при- месь классической системой, мы полагали поэтому р,е, = В, что приводило к формуле Вант- Гоффа. Однако ляя вырожденного ферми-газа (практически «идеального») в случае В «с ег р,е, = -е«« — ег( >+ — ~ — ) +...) ге — ег, 3 5 <, 12~ее) ) 5 н мы получаем дяя химического потенциала растворителя несколько иное выражение Ио(В,Р,и) = Ив (В,Р) — — еги, <о> Лля получения формулы для осмотического давления приравняем, как в задаче 56 тома 1, химические поташ>малы нулевой компоненты по обе стороны цолупроницаемой перегородки, делащей систему на части А и В Ио(рврх ин) = Ио(р~ро,ив). В случае и С 1 имеем, полагая ро = р, ро — — р+ Ьр и Ьр и.
р, согласно полученной выше формуле дея химического потенциала Ио(В, р, и) Ио (В Р) — их' ег(ио) =Ив (В Р+1ЗР) — ив ее(ие) = Ио (В»Р)+ "ор — ие' ег(ие) <> <о> 5 5 (мм Учли, что (дро/ВР)о = ео), откУда 2 <«Рео (ие ег(ие) ио еу(иА)). 5 Если положить ио — — О, ио -- и (т.е. в подсистеме А примеси вообще нот), то вместо известной формулы Вант-ГофФа >1рео = ие получаем 2 арво — — — и ег(и). 5 Сопоставляя полученные вырюкения с материалом гл. 2, 6 2, п.
д) данного тома (раствор Не в Не ), имеем в гарантированном приведенной выше выкладкой первом порядке по'и, когда ЗУ> <У> ! 1 — и — и, А>о+<Ув 1>>о 1+!У<в>1У» !+и зависимость осмотического давления от относительной концентрации'примеси х значительно более сильную, чем первая степень, 2 Ь~ у х<>И в5рео гл -х — ( Зе — ) 5 2ги1, е) 8зв«, и 224 Задача и дололнотельные вопросы к главе Р Возврашаясь к схеме рефрижератора, изображенной на рис. 65, заметим, что растворителем (нулевым компонентом) здесь является Не — сверхтекучая жидкость, беспрепятственно прохоляшая через трубку, соелиняюшую камеры 1 и 3.
Для несверхтекучего при этих температурах Не' эта трубка играет роль полупроницаемой (т. е. проницаемой только для Не') перегородки, изобржкенной на условной схеме рис. 120, том 1. Оценка осмотнческого дааяения гзр лля Не' в изображенной на рнс. 65 установке дает величину порядка 0,02 ат, чего достаточно для того, чтобы без каких-либо насосов поднять Не иа высоту до одного метра.
ш 5 3. Электронный газ в магнитном поле Задача 14. Определить парамагнитную восприимчивость газа свободных электронов, связанную с наличием у них собственных магнитных моментов (спииовый парвмагиетизи Паули, Ф. Рац(1, 1927). Рассмотреть случаи вырожденного и иевырожденного газов. Решение. В заааче требуется определить только ту часть реакции системы на внешнее магнитное поле Н, которая связана с наличием у каждой частицы магнитного момента гз = ))о, где о — матрицы Паули, )5 = еЬ/(2пзс) — магнетон Бора. В связи с этим будем полагать, что энергия электрона в поле Н = (О, О, Н) имеет вид энергии свободной частицы пяюс энергия взаимодействия — (НН) магнитного момента с внешним полем: Н =Н, ~ — -))Нв = р' 2ш где р = р,'+р„+р„в ш в, = ж1.
С йюрмальной точки зрения такой энергией обладала бы частица, лишенйая заряда, но с отличным от нуля ма~нитным моментом. Реальный:ке электрон обладает и тем. и другим, и его движение в магнитном поле не явяяется подобным движению свободной частицы. Более полробно эта ситуация будет рассмотрена в задачах 16 и 18. Исследуемый в данной задаче спиновый парамагнетизм, связанный с учетом в гамильтониане системы члена и , гт = — ~~ )5Нап !=! в полной мере проявляется в системах, в которых электроны не совершают свободного движения (например, закреплены за узлами кристаллической решетки или молекулами классического газа, добавляя к ним спиновую степень свободы ог = ж1) и поэтому не ослабляют своим круговым движением основной парамагнитной реакции системы на включение внешнего поли Н. Введем две величины Пь = -В~~ 1и (1+ехр~- — ( — — рь) ~) — как бы потенциалы й лля ферми-газов из бесспиновых частиц с химическими потенциалами гзь = д ж ))Н. Введем соответствуюшие числа частиц бпь М„ю — — = ~ Пр(рь), др, где и (ггь) — стандартные выражения для средних чисел заполнения идеального ферми-газа с химическим потенциалом рь.
Тогда термодииамический потенциал П системы, полное число частиц Х и намагничение системы М можно представить в виде -д ~ 1и (1+ ехр ~ — — ( — — )5Нв — гр) ~) = П, + П, РП ВП, аа — — — '= м~+ дг, ар Вр, Ор 225 р' 3. Элекаронный гоз в могнншлам поле Интересуясь только намагничением системы и случаем слабых полей, разлагая М а ряд по 33Н и улержиаая только первую степень этого разложения, имеем М = 33 — ~Ч~ (пт(И+ дН) — пг(И вЂ” /3Н)) ос /3 Н( — 2 ~~~ ) 1 в тг Р ОИ лье .= /3'Н( — — ~,) = Д'Н( — ( — „) ) Определяя аосприимчняостысак М Х и-о Н' получаем для искомой величины Х=Р (д ~) Характерно, что в зто выражение входат характеристики ферми-газа при Н = О, причем из них нам понадобятся лишь формулы, выражающие зависимость ссг от и (или и от и/к), которые были нами получены ранее.
Так, в случае Р < ег мы имели (см. б 2, и. в 2)) СИ (1+ ( ) + )1 откуда при Е = О получаем для взсприимчиеости Паули Х з ! 3 дГ 33~и Хо =33 — '- — = —, У 2 Ие 2ег/3' гле и =Н/г', Ие = гг В случае Е ч. ег Х Хе(1 ( ) + ) Хо В иевырождеином случае (б 2, и. б)) !с/=~ пг =ем А(д, гг), У ОН /с/ ОИ В' О 2 аг Π— ЕР 3 откупа Задача Зб Для кРайних случаев д = О и д Ъ ер сравнить поведение намагниченности М = М(Н) ферми-снстемы, рассмотренной е предыдущей задаче, прн любых значениях /ЗН, еключая область насыщения магнитного момента.
Решелое, при е = О н рн се О сфера Ферми разлааивается: злектроны со спинам вдаль поля Н имеют граничную знергню гс+ се И+ 1ЗН, против поля — граничную энергию И = И вЂ” 13Н (рис,92). Обозначая трааипионио граничную энергию Ферми в случае Н = О как гг = Л.(Зязп)зр/(2гл), пв и = Н/Згт и виола максимальное значение намагничения Ме = /гп (спины всех частии направлены ааоль поля Н), будем иметь лля спносительного 33~и Х се е т. е.
еосприимчивость невыроашенного газа подчиняется закону Кюри (см, том 1, задача 18). График зависимости парамагнитиой спиновой восприимчивости от температуры приведен на рнс. 9!. г> рмс. 91. График температурной зае исииости сарамагиитиой восприимчивости: ! — восприимчивость Паули. Х = Хо: 2 — закон Нори Х 1/Е. 226 Задачи и дополншпельные вопросы м алове Г нвмагннчения У'= М/Мв и химического потенциала и и = р(Н) в случае В < 1 (т.е.
когда К > 0) систему уравнений зтз Н зы 0 1г-РН зг. гз+РН е а в случае более сильных полей, Н ) Нв, когда элек- тронов со олином против поля утке нет, ззГ = О,,оба зтн уравнения превращаются в одно; Ряс. 92. Расслоение сферы Ферми при наличии поля Н. Область несконпенсированных спиноз, создающих нанагничение М, зажтрихована Из последнего соотношения следует, что поле Н = Нв, при котором устанавливаетсн маг- нитное насыщение, т. е. р = р — РНв = О, н химический потенннал системы для значе- ний РН ) РНв определяются соотношения- ми (см. рнс.93) РНо = 2 Г сг Й 0,794сг, „= 2згзсг — Рн = 2РН, — Рн. 'При подходе к насыщению, т.е.
при РН < РНв, имеем в низших порядках по (РНв-1И?) 1 (2(РНв — РН)' "' 2з ег р = РНа + (РНв РН) В случае слабых полей в смысле РН ч. сг, из написанной выше системм уравнений для восприимчивости Паули Хв сразу следует ре- зультат, полученный в предыдущей ззлаче. М В=в Рп 1,0 0,83 Рис.
93. Зависимость хиничесхого потенциала вырожденного ферми-газа от напряженности магнитного поля; РНв = 0,794вг Рассмотрение случая В С сг предоставляется читателю. Приведем только ответлля химического потенциала системы в случае слабых полей (сохранены лйшь первые поправки по полю и по температурее): (, 1(РН)' «(В)' ) нз которого следует, что восприимчивость д, определяемая в пределе Н - 0 по линейной зависиморти величины В от Н, нечувствительна к полученной полевой добавке к химическому потенциалу. В вырожденном случае, как было показано в 83, лля свободной энергии системы после исключения химического потенциала имеем 0,5 1,0 1,19 г)Н Рнс. 94. Зависимость спннового удельного нанагничення М (в единицах Мв = Рп) от величины нагнитного поля. Для случая В = 0 паранетр т) = Р/(з/зсг); дяя случая В Ъ сг он равен г) = Р/В ' Х = -НВ1 где внащем случае Е = р~/(2т)-.РНп, сумма з включаетл себя трехмерный нормировочный максвелловский интеграл и сумму по и = Вг!: й' 3.
Элелтроиньв еаз в иогниглнои лоле зм — Э е ' = — — (2кшд)' сз е ' мзрей —, Е ЛГ8 Е Р рд дя,ср )УН откуда лля относительного намагничения получаем М 1/ 1дзк~ )ЗН д= — = — (- — — ') =гй —. )эп дп(, )с дН) Р В случае слабых полей, т.е. ВН и. ег или )УН и'.
В, из полученных для М формул следуют результаты предыдушей задачи для восприимчижкти эс = м/н. 1)юфики лля н в случаях Р =' О И Р зр ег приведены на рис. 94. Задача 16. Определить в переменных (д, рг,)т",Н) наиагничение невырожденного газа свободных электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
