Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В частных случаях (нерелятивистском и ультра- релятивистском) получаем знакомые результаты Згпс 1 / 3 з ~ з 3 рг — -(г ~1+ — Сг +.../1 = гпс + — — +... в случае рг < пос, (з 3 ( 1О ''') 5 2т е»» / / — -(р~1+ — +...) м -ряс~1+ 1 — ) + ...) в случае рг 3» пос, 4 Х Сгз ) 4 ~ (,,рг / Остановимся кратко на физических обстоятельствах, связаннмх с рассмотренной задачей. Традиционно равновесный релятивисюкий ферми-газ связывают с электронным газом в белых карликах («старые» звезды, состояние которых в некотором смысле близко к тер-, модинамически равновесному).
Приведем некоторые численные оценки для этою случая. Массовая плотность карлика порядка 1О' г/смз (в 10' раз больше плотности Солнца). Основной состав — а-частицы н электроны (по даа на каждую а-частицу). Так как по — й4 2 10, по гй10 г, по, то плотность числа электронов оказывается порядка !т/$" 2 1О'о см 1. При такой высокой плотности критерий «иитегркаьной» идекаьности (см. б 2, и. в 3) выполняется с большим запасом, е„„„/е„„"„- 2. 10 ', т.е. идеальность системы обеспечена в самом грубом смысле. Даосе.
рассчитывая лля указанной плотности энергию Ферми, получаем, что ег 1,5 10 о эрггй Ю'о К, в то время как температура карлика (порядка солнечной) Е» Ю К, т.е. Е/ег 10 з, и электронный газ оказывается глубоко вырожденным. Температурные поправки к химическому потенциалу, внутренней энергии, теплоемкость и т.д. в случае рг < тс считаются по нерелятивистским формулам (см. б 2, п. в 2), при рг 3» ьчс— ультрарелятнвистским (см, пргдьшушую шлачу)„в промежуточной области — с помошью ЭВМ. Так как нос~ 10'о К, то приведенный выше пример !т/г 2 10 как раз попааает в этот промежуточный случай авилу того, что ег Ю|о К.
Заметим в заключение, что случаи ег,р гпс, Е д тс' связаны с появлением в системе еше одной компоненты — газа позитронов. При укаэанной плотности электрон-позитронный газ остается идеальным, но фактор 1 равен уже не двум, а, орубо говоря, четырем (избыток электронов над позитронами фиксирован, он обеспечивает электрическую нейтральность всей системы в целом). 1» гйо Задачи и дополнительные вопросы «главе 7 Задача 22. Считая, что электрон-позитронная система находится в состоянии териойинамического равновесия с электромагнитным мзлучениеи (с газом фотонов), определить зависииость от температуры В плотности числа электронов !т' /г = и и позитронов Ф+/Ьг = и+.
В ультрарелятивистскои случае сравнить их с плотностью фотонного газа и, а плотности их энергий иь = й/)г — с плотностью энергии равновесного электромагнитного излучения и„ = оВ4. Решение. Так как «химическая» реакция (см. том 1, гл.!, задачу 58) в данном случае имеет вид' е +е»=пт, то условие равновесия такой системы, учитывая, что химический потенциал Р„равновесного излучения равен нулю, запишется как Р +р»'=по,=б. В нерелятивистском случае, когда гг « глс, В « тс', можно положить (см, предыдушую задачу) Е = тс + р'/2т, и мы получим (аналогичная ситуация с шелью в энергетическом спектре была рассмотрена в задачах 11 и 12) пт = — ~ (пр)» = — ехре + ) ~ ехрс — — З4«р Ир= Р г+ (2«Л)з ( В ) / ( 2тв) ехр ~- — ) ехр ~ — ), откуда, обозначая плотность избыточных электронов как и = 2»г/Р (их заряд компенсирУется а-частицами), получаем для п„и и два уравнения п = и+и„ (2(2«тв)ач ( тсз )) ( р.
+ Р ) 4(2ятв)з ( 2тс» ) Решение их имеет вид и = и+и~ = -+( — +4( —,) ехр ~- — )) = п(1+ —,( —,) ехр ( — — )). В ультрарелятивистском случае, полагая, что при достаточной плотности электронного и позитронного газов избыток электронного газа и несушествен, мы должны положить р = р„откуда сразу следует, что р» = Р = О и что г(»=е (2лЛ)з / ег»Ф+ ! р о Ограничиваясь приближением Е = рс и вводя переменную рс/В = *, получим 3 ! (В) У хздх о Вспоминая, что равновесная плотность числа фотонов равна (см.
гл, 2, й 4 данного тома) 24! 9 4. Релятивистской фермв-газ и что (см. задачу 5) хг 34х г хг-3 кх получим, что рввно3ыснш3 плотность числа электронов н позитронов 3 и =п,=-п. 4 Аналогично проводится расчет плотности энергии и = г/!г электронного н позитронного газов: 1,~ В4 /х йх 7 )г~ «3( )3/ * 1 8 г где и„— энергия равновесною электромагнитного излучения: В /,~ 1 4 4 3 «т-— еВ = — — = —.— В. «3(лс)3 / е* — 1 к3(лс)3 15 о Расчет теплоемкастн сгл — — дг/дВ, уравнения состояния Р» = г/3, энтропии и т.д, предоставляется читателю (см.
также том 1, гл. 1, задачу 22). Задача 23. Исходя из модели адронного мешка и данных о плотности числа нуклонов в нем: Д. Оценить в квантовомеханическом варианте плотность числа частиц вырожденного газа кварков, образующих зто адронное состояние, и «внешнее» давление, необходниое для удержания этого газа внутри мешка. 6. Предполагая, что состояние внутри мешка реализуется как высокотемпературная кваркглюонная плазма, оценить ее температуру, химический потенциал газа кварков и плотность их числа частиц, сопоставив ее с плотностью числа глюонов в системе. Релятивистская часть данной задачи нашла свое применение в модельных попроениях квантовой хромодинамики для полупения грубых оценок характерных для многочастичных систем свойств и качеств этих моделей, Вторжению макроскопической идеологии в супермикроскопическую область с использованием специфических для термодинамической теории величин и понятий (таких, как температура, химический потенциал, энтропия, аддитивные свойства системы и т.д.) для описания систем, имеющих'размеры ядер, измеряемые в единицах )пз = !О '3 см, вряд ли можно подыскать научное оправдание, так как все эти понятия органично связаны с системами совсем иных масштабов (см.
том 1). Но пробный «эксперимент» привлекателен хотя бы тем, что 03ь являясь чисто «теоретическим» и достаточно злеиентарным, не требует особых усилий для его реализации и проведения необходимых оценок. Еще в 1950 г. великий ферми использовал термодинамические понятия.и модель равновесного излучения при рассмотрении множественного рождения я'-мезонов, возникающих в промежуточном состоянии в результате столкновения частиц высокой энергии. Это придает нам смелость при подходе к рассмотрению кварк-глюоннод системы методами статистической теории, хотя, следуя примеру божества, мы можем, забывшись, попасть в незавидное пдложение того быка, которому по природе своей подобные деяния недозволены.
Ниже мы рассмотрим только одну такую модельную задачу, которая в высокотемпературном варианте является откровенным слепком только что рассмотренной задачи об ультрарелятивистскод электрон-позитронной плазме, 242 Задачи и дополншпельные вопросы к главе 2 решение. Рассматриваемая в задаче модель требует пояснений. не давая себя увлечь детской игрой, которую придумали взрослые дяди, ограничимся необходимым для нас самым минимумом сведений, касающихся схемы квантовой хромодинамики. 1. Адрон ы, в нашем случае только протоны н нейтроны (без полей я-мезонов), комплектуются из кварков (упомянутые нуклоны — из трех), которые являются ферми-частицами с отличной от нуля массой покоя, имеют спин '/и электрический заряд '/з и — ~/э и дополнительно цветовой заряд трех видов: красный, зеленый и синий (их смесь в равных долях полагается нейтральным цветовым зарядом и условно считается белым цветом).
Кварки различаются по ароматам, число которых с того времени, как их в 1964 г. придумали, увеличивалось и стало уже более пяти. Нам нужны для формирования нуклонов только первые зна нз них: ц- и д-кварки (ир олг/ «го«рл) без странностей, очарований и т. д, Взаимодействие ьварков друг с другом не только сильное (их до сих пор не удалось обнаружить в свободном друг от друга состоянии, они все время как бы склеены), но и своеобразное: оно растет с увеличением расстояния между ними предположительно по закону У(г) г" при малых г, гэе о > О, и резко возрастает, стремясь к +са, когда г достигает размеров аарона. Разорвать кварки, т.е. создать цветовой ион, благодаря этому неубывающему с ростом г взаимодействию не удается (впрочем как и ион дробного электрического заряда), и это удержание цвета !гогоиг солдлерлел!) является одной из наиболее характерных особенностей кварковой модели.
Образна говоря, поле Г/(г) не распространяется во все стороны, как, например, кулоновское нлн юкавское, а сжата в узком канале (или трубке) между взаимодействующими кварками, Прн укорочении этой трубки, т, е, при г — О, это взаимодействие каарков исчезает, и тогда юворят об асимптотической их свободе. Рассматривая систему в ультрарелятивистском варианте, т.е. при условии ер л гп„с' в случае Р = О (см. задачу 21) или при температурах Е Ъ т„сэ, мы полагаем, что зависимость энергии кварков от импульса перестает зависеть от нх масс и определяется линейной формой Е„= рс.
Число различных кварковых состояний с импульсом й оцределяется фактором , = 2. 3. 2 = ! 2 (лва спиновых состояния, три цвета и два аромата), 2. Глконы — кванты палей, осуществляющих взаимодействие кварков, — безмассовые чзсззщы с энергией Ер —— рс, подобно фотонам имеют спин 1 и две независимые его поляризации и дополнительно один из трех цветовых зарядов. В соответствии с особенностями группы ЯИЗ) имеется восемь независимых компонент глюонов (матрица А имеет 3 х 3 комплексных элементов, т.е. 18 действительных величин, половина из которых убирается зсзовием АА' = 1, с учетом условия г!ш А = 1 остается тол ькооктет независимых генераторов), те. 1,=2 8=16. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
