Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В случаях слабых полей, учитывая, г",Цв) что его( = -'4 !2+... при Р ч, 1. имеем лла на! магничення закон Кюри (Р Сапе, 1895): 0,5 3: 1РН, М 1 р'и — = — — +".: Х =!!ш '— = — —. Рп 3 д ' и-»Н 3 В В сильных поляк наступает насыщение 5 1О с м в — =1 — — +.... Рнс. 114. График (функцнн Ланжеаена) от- рп' РН носительной нанагннченностн как функции Изложенная выше классическая теорня панапряженностн магнитного поля Г =/гн/В рамагнетизма была разработана Ланжевеном н Дебаем (Р 1лпает!и, 1905; Р. Оебуе, !9! 8).
Отметим, что полученные результаты для намагничения н других термодинамических характеристик идеального газа из классических мап2итных моментов являются предельными в отношении величины самого магнитного момента: (/2! ~ В = еь/(2птс). другой крайний случай, когда ! Р ! = /3, И = /Га, рассмотрен в задачах 14 и 15. Функция распределения магнитных моментов /э по углу является следствием гиббсов- ской формулы м,„е и "»М, проинтегрнроаанной по компонентам момента количества лвижения, углу ~р н нормированной на единицу. Она является вариантом классического больцмановского расйределения Задачи и дополншпельные вппрасы к главе 2 откуда дяя средней длины цепочки. .У = ~~ ! соз в; =.дг! соо В.
щгк» в расчете на одно звено получаем Рнс. 115. Схема молекулярной цепочки из свободно сочлененных друг с друшн гле Ь(Р!/В) — функция Ланжеаена (см. задачу 43). одинаковых звеньев Закон Гука, как мы видим из рис.'116, реализуется при Р!/В ч, 1, а при больших значениях растягиваюшей снаы Р 2Ь В/! величина лимитируется ее максимальной длиной вплоть до натяжения разрыва цепочки Ро. Отметим, что эффект с;кимания средней длины цепочки к нулю связан не с динамическими ее особенностями (межлу звеньями никаких пружин нет), а с действием на нее термостата (например, той низкомолекулярной сре- Ро! лы, в которую помещена цепочка).'Термодинамиче- д окне свойства цепочки также аналогичны свойствам рассмотренной в предыдущей задаче системы классических магнитных момантов. 3 Задача 45.
Исследовать термодинамические и динамические свойства одномерной идеальной цепочки из Ф независимых элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях: в) основное состояние — энергия Ео, длина (о (скрученное состояние); б) возбужденное состояние — энергия Еп + Е, длина 1о + ! (развернутое состояние). В =созд Рис.! 16. График зависимости натяже- ния — длина дпя свободно сочленен- ной цепочки о=ю з = ~ ехр ~ — — '~ = ехр ( — — (Ео+ — ) + — (!о+ -) Р~ 2с!г —.
Длина цепочки 1~ ! ,о ы ДГ (1~+ — ) — ) распрелелению, в расчете на одно звено рвана (рис. 117) 1 ! ! ! !Р— Е !о+ — + - В = !о+ — + - гп 2 2 2 2 2В усредненная по каноническому решение. Рассматриваемая система может служить моделью для молекул кератина, вхолящнх в состав шерсти и т. и, Введем индекс состояния каждого звена цепочки 1+ и ) 0 — скрученное состояние, 2 ( 1 — развернутое состояние (величина и = -1, +1 — аналог з-компоненты матрицы Паули).
Тогла, учитывая, что потенциальная энергия отдельного элемента в поле растягивающей всю цепочку силы Р равна -1,Р или -(!о+!)Р, имеет для энергии г-го звена: Е'г г' !'о .Е-1Р Е, = Ео + Ещ — !оР— !Ркч = ~~Ео + — ) — ~!о+ -) Р+ 2г 'х 2/ 2 ан Так как отдельные звенья цепочки друг с другом не взаимодействуют, то статистическая сумма распалается на произвеление йг одинаковых сомножителей, Я = (з)».
Внутренняя сумма з включает только лва слагаемыж 275 8 8. Идеальныд гоз в ногнишном поле Этот же результат можно получить с поьазшью выражения для свободной энергии (в расчете на звено цепочки) Е / /=-В!па=Ее+ — — (1е+-) Е- 2 х 2/ Š— !Š— В!п2сЬ вЂ”, 2В 1 — д/ д!пз —.7= — — =  —. РГ ВЕ И' Для внутренней энергии и теплоемкости получаем стандартные результаты, характерные для двухуровневых систем: Е 2В 1 зд1пз е= — Ф'= — = !зг дВ Рис. 117. График зависимости иатяжеиие— длина дая одномерной цепочки, каждый элемент которой представляет двухуровневую систену, для трех значений температур В, < Вз < Вз Е / 1~ Š— М' Е-!Е =Ее+ — (!о+-/ Š— — ТЬ вЂ”, 2 (, 2/ 2 2В (рис. 118). Определим еше коэффициент теплового расширения цепочки при Е = сопя!: /д1~ ! Е-!Е (ж), = ~ — /! 2ьд = —;-й--,„- —, ~ВВ~, сЬ' (=„'") В' (при 1Е < Е с повышением температуры молекула расширяется, при И' ) Š— наоборот, сжимается) и коэффициент изотермической упругости (закон Гука) /д! ! (,) ~ /~) ~ВЕ) 2сЬТ (л ш) 2В В!з (Š— !Е) з 1 дгВ = с — гЬ Š— !Е 0,4 0,3 0,2 О,! Частный случай одномерной цепочки из свободных (не скручиваюшихся) звеньев соответствует выбору Е = О, !е -- — !/2 (у каждого звена ллиной а = !/2 только два расположения — вдоль силы и против нее), что дает для ее удельной длины 0 ! 2 В/!з Рис.
11й. График теелоеихосги двух- ураанеаой системы с = (зг/сЬ зг), где гЬ =.Š— Ы .ю аŠ— = агй —. л/ В Этот случай полносзъю аналогичен невырожденной системе магнитных моментов р = !)о, о = ~ 1, !Г = ел/2пгс, помещенной в магнитное поле Е, которую мы рассмотрелн в задаче 15. На примерах двух последних задач мы видим, что расчет термодинамики молекулярных цепочек из незавнсиммх друг от друш звеньев, модели которых можно усложнять (например, можно рассмотреть трехмерную цепочку из двухуровневых звеньев, цепочку с ограничениями на углы поворота и т.
п.), сводится в формальном отношении к рассмотрению парамагнитных иаеальных систем ланжевеновского типа. Учет взаимодействия отдельных звеньев друг с другом (например, только соседних) сушестеенно усложняет все рассмотрение, так как такие системы уже не являются идеальными, и статистическая сумма для них не распадается на произведение олинаковых з,„ 27б Задочп и дололниглельлые вопросы я алове 2 5 9. Состояния с отрицательной температурой Задача 46.
Определить вклад в свободную энергию и теплоемкость системы, обусловленный тем, что каждая частица системы может находиться на двух энергетических уровнях Ео и Е~ — — Ел+ вЗ, с единичными кратностями вырожденив. Рассмотреть вопрос о возможности такой систеие достичь состояний, которые характеризовались бы отрицательными значениями температуры. Ф е =е -лГв -и !вот -!в.ь!в Пе следует мультнпликативность статистической суммы я ч -вдв Я=да(з,„~), в„= р е я нли соответствуюшая аддитивная структура свобод- ной энергии ;Р =-В!пг=хз;+ЛГ,„; Гм =-В)пз,„„. Предлагаемый в условии задачи случай внутреннего движения — один из самых простых.
Рассмотрим сначала чисто формально запачу расчета зря~ я для двухуровневой системы. Положим для простоты Ев = О, тогда Е, = Ь. Вероятности обнаружить частицы системы в основном и возбужденном состояниях определяшзся соответственно формулами (рис. ! 19) ! 1 мв = — = агв з р 1+е -а!в и,= — е з.„ 1+ ел!в' О Ь В Рис. 11Р«ГрафиКи зависимостей от температуры вероятностей юр и и, обнаружить частицы системы в состояиивх с энергиями Ев — — О и Ев + Ь = д« удельной внутренней энергии е = дг м, и твплоемкости с = де/ВВ Добавка к улельной внутренней энергии, связанная с учетом внутренних состояний частиц, определяется как 1 е,„= Ев ь+Е,м~ — — х1 ! -1- елков Решение. Рассмотрим систему Х частиц, каждая нз которых имеет еше внутренние степени свободы, причем энергия частицы мохгет быть представлена как -Ев = (Ер) + (Ея)« гле Š— энергия трансляционного движения частицы, ń— энергия, связанная с возбуждением внутренних степеней свободы.
Такое разаеление уже налагает на систему ряд условий, но это условия динамического характера, и их обсуждение должно проводиться на уровне механики. Нас сейчас интересуют те возмо»сности, когда это разделение (уже реализованное на динамическом уровне) можно осуяаествить на уровне статистически-механического рассмотрения. Укажем на две практически реализуемые возможности такого разлеления: а) система невырождена по отношению к трансляпионному движению — классический газ из частиц с внугреннимн степенями свободы (примеры — 83 основного текста и 67 к 8 дополнительных вопросов); б) трансляционное движение частиц локализовано — твердое тело из атомов с внутренними степенями свободы (см. 84 основного текста).
В этих случаях из условия динамического разделения движения частиц на транслвцнонное и внутреннее, согласно которому 2 9. Востояния с отроцотельнод темперотуроц а добавка к удельной теплоемкости будет равна Так как /ы =-В!и (! ч-е ~/в), то энтропия в„, „= -д//ВВ будет равна в»н — 1и (!+в ) + ав /1 1 лв ! .!. еь/» =1п(1+е /) — —— В !+е а/» Обратим внимание на некоторые особенности полученных результатов. Прежде всего, ввиду ограниченности спектра Е„сверху, внутренняя энергия Е„при  — со е,„~(В)! „- — ьг < Е =/5 1 осиется конечной величиной, меньшей максимального значения Е„= Е,. Это обстоятель- стао не связано с двухуровневостью системы, важно только, что для всех и Е„< Е„м < со: при В -» со все состояния и становятся равновероятнымн, ю» = е /х,„- 1/х,„гм, энер- -в„/» 1МЯ Е,„„р ПРЕВРащастеа В СРЕЛНЕЕ аРИфМЕтИЧЕСКОЕ От ВСЕХ Еью КОТОРОЕ, ЕетветаЕНИО, МЕНЬШЕ максимального значения Е „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
