Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Поэтому, если имеется какая-либо практическая возможность «дозарядить» систему, искусственно создавая перенаселенность возбужденного уровня Е,, то можно добиться/чтобы значение е,„, превысило бы предельное значение внутренней энергии прн  — оо, т. е. е,„> Ь/2 (но е„„р < Е~ = Ь). Если теперь прелположить, что между внутренними движениями в отдельных молекулах достаточно быстро устанавливается состояние равновесия (т. е. перенаселенность верхних уровней для всех /!/ молекул в среднем одинакова), то можно определить температуру этого каазиравновесного состояния на основе полУченных выше гиббсовских фоРмУХ длЯ Равновесных юв, ы, и е,„,.
Мы сРазУ увидим, что эти состояния соответствуюттемпературе, которая имеет отрицяшльйое значение, но с Физической точки зрения является более высокой, чем В и оо, так как соответствует состоянкю системы, нагретой выше бесконечно большой температуры. Таким образом,.температура, хагзактеризуюгпвя добавки к термодинамическим величинам, связанным с учетом внутренних движения данного вида, может принимать значения в интервале +О < В < +со н далее -оо < В < — 0 (в терминах обратной температуры /у = 1/В, «сквчка» в точке (жоз) нет: +со > /5 > -оо).
Поведение термодннамических характеристик во всем этом лиапазоне температур с характерной симметрией графиков относительно вертикали В = жсо и горизонтального уровня 0,5 представлено на рис. 120. Отметим еще раз, что этв температура характеризует только среднее (терм оди нам ич еское) состояние внутренних степеней свободы молекул системы, которые сами по себе продолжают совершать трансляционное движение, характеризующееся всегла положительной температурой, меньшей бесконечности.
Вся система в целом, конечно, равновесной не является. Наличие двух температур (нх может быль в принципе и больше), характеризующих разные типы движения (как бы две разные, но пространственно совмещенные термодинамические 1,0 0,5 Ь Ь -— — е В +О Ь В В=+»» В=-м В -Ь -0 Рне.120. Схема тенавратурного поведения вероятностей ы», м, = г/хх, теллоеикосгн с = де/ВВ и энгропин в в диапазоне температур +О < В < -0 Задачи и дапалнишяльные вопросы я главе 2 системы), возможно только в том случае, когда релаксация перевозбухщенных степеней свободы происходит достаточно медленно, и само по себе с рассматриваемой в задаче конкретной моделью внутреннего движения не связано (так, например, известно, что авилу быстрой релаксации к квазиравновесному состоянию электронного газа по сравнению с аналогичным процессом для тяжелых ионов в электронно-ионной плазме возможны кваэиравновесные состояния с различающимися положительными электронной и ионной температурами).
Сформулируем в качестве итога нашего рассмотрения основные условия существования отрицательных абсолютных температур лля описания каазиравновесных состояний статистических систем. а) Внутренние движения в молекулах в динамическом и статистическом смыслах отделены от трансляционного. б Достаточно «слабое» взаимодействие внутренних движений с трансляционным (или каким-либо другим, имеющим неограниченный сверху энергетический спектр), такое, что время общей релаксации г к состоянию полного термодинамического равновесия и время проведения эксперимента 2тт связаны неравенством т З» Ж. в) Энергетический спектр, характеризующий внутреннее движение, ограничен сверху, о„< Л,„< сю (для систем, претендующих не только на двухтейпературное состояние, но и на случай, когда одна из температур отрицательна). г) Достаточно «сильное» взаимодействие внутренних движений в разных молекулах, такое, что время образования температуры и других термодинамических характеристик,, описывающих это движение, гв оказывается значительно меньшим времени проведения эксперимента, гв «ь Ы.
д) Имеется реальная физическая возможность с помощью внешнею воздействия на систему (переменные поля и т.д.) «дозарядить» внутренние степени свободы («накачать» энергию) до состояния с энергией е, такой, что е(, '. < е < 8 Благоприятной в отношении реализации перечисленных выше условий (и исторически первой) оказаяась система ядерных спинов.
Ее теоретическое описание (движение ядерных магнитных моментов в магнитном поле и ядерный магнитный резонанс) было дано Феликсом Блохом (Е В1осй, 1946) (см. том 3, гл. 5). Эксперименты показали, чжт в таких системах время спин-спинозой релаксации (гв 1О ' с) пампою меньше спин-решеточного времени релаксации т (от 1О ' с до часов). В 1948 г. Эдвард Парселл (Е. Рцтсей) указал на возмохтность получения двухтемпературных состояний в такой системе и в 1951 г.
методом накачки впервые достиг и отрицательных температур в спинозой подсистеме. Представление об отрицательных температурах теперь широко используется лля описания, например, особенностей лазерных си~тем и во многих звлачах, включая биофизические, в которых перенаселение верхних энергетических уровней является необходимым условием какого-либо характерного действия системы. т» а 10. Формула Планка Задача 42. Вывести формулу Планка, исходя из первоначальных идей ее автора (Мах Р(апсй, 2900).
Решение. а) Представим равновесное электромагнитное излучение как очень большое число независимых друг от друга групп. состоящих из большого числа ттт резонаторов с одинаковой собственной частотой ы. Так как все группы независимы, то рассмотрим только олпу из них (индекс ы будем по возможности опускать). Предположим (основное преаположение Планка), что энергия каждою из резонаторов данной труппы кратна величине кванта энергии о„= Дып, где и = О, 1, 2,....
Тогда общая энергия системы из Дт такиХ резонаторов будет также кратна величине Ьы: Е = Рвы. б) Подсчитаем статистический вес этого состояния (т. е. степень вырожаения энергии 1тт-кратного гармонического осциллятора). Для этого надо определить, сколькими способами можно разбросать Р шаров по Дт ящикам. Чтобы решить зту несложную комбинаторную задачу, рассмотрим на прямой (рис. 121) Р шариков (пустые кружочки), разделенные 5 1О. Формула Планка ОЗЗООЗОЗЗЗООООЗООЗОО Рис.
121. К яодсчету сштистичесхого веса сметены 1У осцилляторов (иа рисунке АГ = 9), ииеюших энергию Е = Рйы (иа рисунке Р = 12) ()У вЂ” 1) перегорияками (перечеркнутые шарики). число способов различных комбинаций этих элементов (общее их число 19+ Р— 1), исключая переостановки одинаковых по типу кружочков друг с другом, будет равно (АГ+ Р— 1)1 '= Р1(19-!)! ' или, произведя асимптотическую оценку факториалов с помощью формулы Стирлингв (см.
гл. 1 данного тома, закачу 4), получим (Аг Р)».~г Г= Рль!» в) Определим энтропию этой группы независимых резонаторов как логарифм статистического веса (Планк назвал соотношение Я = 1и Г принципом Больимвна) Я = 1и Г = ()У + Р) 1и (1У + Р) — Р 1и Р— АГ 1и Аг н опредеяим ее температуру в соответствии с термолинамическнм соотношением !9 = 1/д = дд/дЕ. Тогда 1 д1иГ д!иГ дР 1 19+Р 1 ( Х) — — !п — 1и !+в д дЕ дР дЕ йы Р йы Р г) Обратим внимание, что входящая в это выражение величина Р/1! выражается через среднюю энергию отдельного резонатора из группы Аг, имеющих одну и ту же частоту ьи Е Р е» = — =йы —, Аг 19' поэтому, раскрывая логарифм, для средней энергии резонатора сразу получаем Ьы е' М вЂ” 1 Умножая эту величину на плотность числа осцилляторов электромагнитного поля ИГ(ы) в спектральном интервале ы, ы+ ды, получим для сиектрахьной плотности энергии р,(д) Формулу Планка 1 ам~ ды р (д) г™ ~ е, НГ(ы) =— или в варианте, когда вместо частоты используется длина волны (ы = 2яс/Л), 16 я'са ИЛ р,(В) дЛ = —, Л ехр ( ~'~') — 1 Задача 4В.
Вывести формулу Планка, следуя Эйнштейну (А. Е~пзсе!п, 1916). решение. а) Рассмотрим полость с идеальными зеркальными стенками и в ней — газ, молекулы которого могут находиться в двух состояниях с энергиями Е, и Е, с кратностями вырождения ы~ и ип Принимая постулат Бора (М. Вопг, 1913), будем считать, что Е, -Е, = Лы и что молекулы испускают и поглощают кванты энергии йы, совершая переходы 2 1 и 1 2, Введем величины, характеризующие эти проиессы перехода: .4(2 1) — веровтность спонтанного испускания — первый коэффициент Эйнштейна; В(2 1) — коэффициент вынужленного излучения — второй коэффициент Эйнштейна; В'(2 - 1) = А(2 - 1) + р„В(2 -+ 1) — полная вероятность испускания кванта электромагнитною излучения йы, где р — плотность энергии существующего в полости электромагнитного излучения; ' р В(1 2) — вероятность поглощения молекулой кванта энергии Льи В(1 -+ 2) — третий коэффициент Эйнштейна.
230 Зодочо о дополншпельныв вопросы к глава Г Тогда условие равновесия межлу излучением и молекулами газа можно записать в виде уравнения кинетического баланса ЖР В(! .~ 2) = етз2У(2-' 1) = !Уз(А(2 !)+лев(2-е!)), где Ф~ и !!гз — числа молекул газа, находяшихся в состояниях с энергией Б~ и Ез соответственно. б) В соответствии с формулой Больцмана лля вероятности обнаружить молекулу в состоянии с энергией Е;, ю, ьче лне, имеем ы1 е ы~ еГе -в~ге м, „,, е-лне „,, В сочетании с условием кинетического баланса зто дает формулу для плотности энергии лп и, Р" тьв(~-г~ееге ,вп 1! В) Исходя из физических соображений, при неограниченном увеличении температуры можно предположить, что плотность энергии Р„также должна расти неограниченно, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
