Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 68
Текст из файла (страница 68)
при В -е оо такхсе и рч - оо. Это условие определяет связь второго и третьего коэффиниентов Эйнштейна, ,в(! - 2) = ы,в(г - ц и упрощает формулу лля р: А(2 -е 1) 1 В(2-~1) е" Ге — ! г) Чтобы исключить величину А(2 1)/В(2 -+ 1)), сопоставим полученный для р„результат в высокотемпературном пределе с классической формулой палея — Джинса (1900-1905; см, задачу 49) А(2 1) В йЬыз В !веге О В(2 -е 1) йыу 3Г2сз Й4Р тогда мы сразу приходим к стандартной записи формулы Планка з Ре = пзз еее и соотношению между коэффициентами А(2- 1) и В(2 1), которое можно полтверлить с помошью высокочастотной формулы Вина (1896; см.
задачу 49) А(г-е1) е Ге ! ! з -е ге В(2 1) Таким образом, в результате сделанных в пунктах а), б), в), г) предположений мы получили, следуя Эйнштейну, формулу Планка и следуюшие два соотношения, связыааюшяе три коэффициента Эйнштейна: В(2 !) = — В(1 2), ыз з и Ьи А(2 1) ж — В(2-е 1) = — — В(1 2). г'с' мз кзсэ д) Свяхсем коэффициент Эйнштейна В(! - 2) с коэффиниентом поглошения рассматрипаемого газа.
Пусть пучок электромагнитного излучения с интенсивностью 1 = р с (энергия„падаюшая за секунду нв плошадку ! см ) проходит через слой нашего газа. За счет взаимодействия излучении с молекулами газа его интенсивность при этом падает: -д1 = Х ахдх, 28) 0 1О. Формула Планка где величина а„ и есть коэффициент поглощения. Из этого дифференциального уравнения сразу следует 1 (а) = 1 (0)е в *.
Коэффициент а измеряется на эксперименте. С другой стороны, величину -В1 можно выразить через коэффициенты Эйнштейна -В1 = йи/тгз Вв Р„В1,1 -в 2) — йи/з/г дя рвВ(2 -в 1) (первое слагаемое — вынужденное поглощение, второе — вынужденное излучение), откуда йи / из йи 1 /Уг из'з а = — ( !тзВ(1 -в 2) — 29г — В(1 -г 2)/1 и — !Уз ~1 — — — /1 В(1 2) с х иг 29,,) нли, используя выражение для /згз//згг, введенное в и.
б), с В(1 2) = ! ав, -д!Уг = /тзгА(2 -~ !) Вт, откуда /уг(!) = /Зтг(0)е "П"'!г = !!Гг(0)е В', где т = 1/(А(2 — 1)) — среднее время жизни возбу.кденного состояния и х 1=/!е МАГ///е Г дг=г, в а Задача в!9. Получить формулу Рэлея — Джинса и Вина для спектральной плотности энергии равновесного излучения. Решеное. Так как средняя энергия гармонического осциллятора (без учета энергии нулевых колебаний) в случае В » йи (классический предел, соответствующий случаю малых частот) и в случае д ч; йи (случай высоких частот — существенно квантовый случай) равна йи ) д, в случае и ч. В/й, ег"'~в — 1 (Пие ~!~, в случае и >>В/й, то из формулы Планка следует в соответствующих случаях (см. рис.
73) и — д ,гз з — е — формула Вина, -ввы ягсз ВГ(и) 1 пиз р.(в) — . Ви зггсз езиlв — 1 — формула Рэлея — Джинса, В идейном плане обе эти формулы являются предшественницами формулы Планка 1900 г. н обе в определенном сммсле исходят из представлений классической теории: формула Рэлея — Джинса ()ого йлу1е(уй — он же Е уу. 5!пзп, !900; 8теапз, 1905) — это плотность числа осцилляторов поля в диапазоне частот (и, и+ В в), т.
е. величины ВГ(и)/Ди = и~/(к~со), умно:кенной на среднюю энергию классического осциллятора (е,) = В; формула Вина (М. язеп, 1096) базируется на представлении о газе фотонов как о классическом больцмановском газе, для которого и = е ввз~, где в отличие от Ер — — р'/(2ш) откупа следует, что как В(1 - 2), так и все другие коэффициенты Эйнштейна могут быть выражены через измеряемую на экспериментах величину коэффициента поглощения а,. Отметим напоследок, что коэффициент А(2 — 1) (также выразкаемый через а„) непосредственно связан со средним временем жизни возбу;кденного состояния молекулы.
Действительно, среднее число спонтанных переходов 2 - ! за время В! равно 282 Задано о дололношельные вопросы к главе 2 в случае газа из частиц стоит энергия фотона Ер -- рс = Ьи и спектральная плотность энергии формулируется как р„(В) ди = ВГ(и)Е, Исторически диапазон частот и к В/Ь связывался с областью, где особенно четко проявляются волновые свойства излучения (классические осцилллторы — это стоячие электромагнитные волны максвелловской теории), а в диапазоне и л«В/Ь, в котором электромагнитное излучение «больцман-подобно», — с областью, гле преобладают корпускулярные его свойства (аналогичное разделение областей частот проявляется и в особенностях флуктуаций энергии равновесного излучения, см.
том 3, гл. 1, зздачу 13). После полною осознания смысла формулы Планка и признания безусловного авторитета ее автора такое интерпретационное разлеление свойств электромагнитного излучения (сыгравшее, между прочим, значительную роль в становлении волновой механики) для излучения стало совершенно излишним: оно во всех диапазонах и корпускулярное, и волновое одновременно, гз Задача 50. Определить спектральную платность энергии равновесного электромагнитного излучения в полости, заполненной диспергирующей средой с заданными показателем преломления м(и). Решеное. Определяя коэффициент преломления в соответствии с традиционной формулой 1 с(и) = — с, п(ь ) где с — скорость света в вакууме, получим лля импульса фотона и его дифференциала Ьи ( и Вп(и)~ Ь р = п(и) —, Фр = п(и) ( 1+ — — ) — ди, с ' х п(и) ди / с откуда для числа собственных колебаний электромагнитною излучения в диапазоне частот (и, и+ Ви) в расчете на 1 см имеем 4крз др з ( и Вп(и) ~ 1 НГ(и) = 2 — = пп(и) ~1+ — — гг — и Ви, (2ад)з ~ п(и) Ви / ггзсз откуда для спектральной плотности энергии получаем и Вп(и) ! ! Ьиз з ( и дп(и) г р (В) = пз(и) ( 1+ — — ) — = пз(и) ( 1+ — — ) (р (В)) «„.
п(и) Ви / к'сз е™г« — ! 'Х п(и) Ви / Коэффициент преломления п(и) связан с динамической диэлектрической проницаемостью среды известным соотношением п(и) = ь(е(и). Из полученного выше результата слелует, что плотность равновесного излучения возрастает (по сравнению с (р (В)) „) при приближении к резонансной частоте среды (см. том 3, задачи к гл. 4), достигая в этой области своего наибольшего значения. г> 5 11. Твердое тело как система связанных осцилляторов Задача 52. Определить спектр собственных частот линейной цепочки Ф упруго связанных друг с другом одинаковых точечных масс.
Решеное. Пусть на отрезке данны Ъ располокено Ьг масс так, что равновесное расстояние межау соседями равно о = Ь/)г/. Коорлинаты узлов этой одномерной решетки будем обозначать я„ з = 1,2,..., Ьг, а отклонение масс от положений равновесия (только продольные) — о, гл о(1, я,). Чтобы не усложнять рассмотрение задачи граничными условиями в точках еа и и», совместим концы цепочки, свернув ее в кольцо большого ралиуса (теперь булет лн„= и„т.е.
периодическое воспроизведение узлов, и поэтому иь „, = и,), н будем рассматривать всю задачу, имея в виду в дальнейшем статистический предельный переход ЬГ сю, о = Х/Ь/ = сола!. 283 й' 1! . 7вер2)ое шелл яоя спалено сллзоннык огцилллглоров Учитывая упругие связи соседних материальных точек, можем написать гамильтониан системы в виде Н= ~ — (и,) + ~ -(и,ы — и,) . 2<2<М 2<2<и Зафиксируем какой-либо номер ячейки е и напишем уравнение движения р, = -дН/ди,. Тогда получим птй2 = н(и„, — и,) — н(и, — и, 2) = н(и„, +и,, — 2и,). Это уравнение удовлетворяется решением типа вол- ны: и(г,х,) = ив гм в котором волновое (точное, квазиволновое) число й должно быть подчинено условию и(г,х,+л)=и(г,х,), Хай2<2хп, пи2*1,х2,..., т.е.
волновое число оказывается в допредельном случае дискретным: л ай 2 22г й = — и Ь \ 22г Ь или Л„= — = —. йь Рнс. 122. Зависимость собпвенной ча- стоты линейной цепочки от волнового чим спа в пределах первой зоны брнллюена Подставим величину и(1,х,) в уравнение движения для е-го узла решетки, тогда после сокрашения одинаковых сомножителей получим дисперсионное уравнение т и йо ы = — (-ет — е ' '+2) = 2 — (1 — соз ой) =4 — з!и —, тп тп пт 2 откуда ы = 2~ — ~мп — ~ . Этот спектр имеет *акустическое» начало (рнс.
122); при йа «К 1 )и ы Й )/ — ой = сй, гле мы обозначили у(м) ы /и с=— =~ о, ь-е и ограничение сверху: на границе ! -й зоны Бриллюена при йо= я Определим число собственных колебаний, приходящихся на интервал частот пы (т.е. на интервал квантовых чисел оп). Имеем 2т(н!'пт Ь Г т'охи я'Г(ы) = бп = — ок = — ~ — ~ вы 2 2я 2я 'хбй,~ откупа для плотности собственных частот в расчете на единицу данны цепочки (рис. 123) получаем 1 ЫГ(ы) 1 1 Т(ы) ='- — =— 2 2 2 2Г:27~Я2 Рис.
121. Платность собственных час- тот дпя единицы длины линейной од- ноатомной цепочки ы =. 2~. 284 Задачи и допалнагпельные вопросы к главе 2 В длинноволновом пределе ай К 1 из этой формулы следует «акустическое» поведение этой величины 1 7(ы) — —, 2?гс' характерное лля одномерного случая (см, для сравнения рнс. 72). В длинношшновом же пределе можно преобразовать исходное уравнение движения лля и, в уравнение гиперболического типа.
Действительно, ди и„, — и, д?и 1 г'и»»? — и, и, — и, ?'т 1 дв а ' дя? а т а а ) — а? и поэтому получаем д?и на' д?и д!? гп да" откуда лля фазовой скорости распространения колебаний вдоль цепочки снова получаем с = ат/к7т. Для любых длин волн фа?оная и групповая скорости имеют вид и(Ь) ?гх 1, ай аы Й«(й) l с= — =2 г — -з(о — = с = — =с 1 — ~ Ь й у тп й 2 2агсмп — Ф вЂ” ?!й ~,2;/м/т/ ?ы«/ Задача 52.
Определить спектр собственных частот линейной «двухвтомной» гармонической цепочки, в каждой ячейке которой находятся две упруго связанные массы М н пз. пп?, = КУ, + нУ,»? — Ки, — ни„ МУ, = Ки, + ни, ~ — КУ, — м«1„ (константы «короткой» и «длинной» упругих связей обозначены К и х) решение которых, так же как и раньше, ищется в виде продольной вопим: Бг = Бге ы+' *" -ькы»1*,»ь) и, = ие У„, и, К,' а Ы 1К' а ! 3 х, к»+о 3 к,, я» ?+Л а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
