Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Запишем давление классического газа р = пв как функцию температуры и хими- ческого потенциала: ! В ч (2ягив)н~ лге Р= — !тГ=-~ и = Ве" — !г — !г 2 ° — (2яй)з Химический же потенциал газа р в случае его равновесия с твердым телом равен его химическому потенциалу. Для оценки последнего можно использовать и эйнштейновскую и дебаевскую модели — результаты практически оаинакавы. Выберем вторую как более реалистическую.
Учитывая, что согласна $4, и. 2 наставшей главы дшр/дттт = ьгп/(З)т/), имеем л /д,«гл'Х д / 9 !/ З! /з = ( — ' ) = — (-дггге.(.-Фив)'г+В') 1и (! — е ) — зьг Вьг) = ~дйг)„ВР/~ ' б ,/ 2я'с' = -(/е+ - Вр+ ЗВ!п (! — е лг ), де ! ! /В, е = -В т — т/В,В+..., сгл = — — — — ~ — т/ — «-.... 2 2т/2е ' дВ 2 4т/2и В Из паслелней формулы следует, что несмотря на то, что при В - ао теплоемкость сгл — 1/2, величина плошали Е фигуры 1/2 — стл(В) расходится на верхнем пределе лля бозе- и ферми- систем как — х/В, Воз! 2т/2я (конечна лишь их сумма, Ее, +Ее„„= '/зВе), и проблема сопоставления величин плошадей ниже и выше с = 1/2 дяя каждой из систем в отдельности теряет свай смысл и сама собой отпадает.
Задачи и йолалныпельиые вопросы к ееаеп Р откуда для давления газа получаем (2ггиз) зц г -» 1»» з ! (1/» — з/з Вп) ) Р= ( ), В !1 — е ) ехр)-, Г или в частных случаях (2 )Ц' (2 й)з ( ° )"' ( (у/ — з/В )) Вздехрг- у, вслучае В<(во, ( (!Гс — з/,В,)) — ехр !(- в случае В 2» Во. В '! В (2яй) 3 Заметим, что одним нз оправданий использования гармонического приближения являются неравенства !Г» л» Вр, 1/е Ъ В (общая глубина потенциальной ямы 7/е много больше уровня энергии колебательных движений), так что давление пара и его плотность и = Е е -ц»г» очень малы, что оправдывает предложенную лля него в условии задачи модель илеального классического газа.
г> Задача 55. Используя упрощенные микроскопические модели, рассмотреть вопрос о возможности возникновения в вырожденном электронном газе упорядоченного со- стояния — злеяглроиного твердого тело. Исследовать характеристики такого фазового перехода и возможную область его реализации. Решение. В качестве модели электронного газа используем ннзкотемпературный (В « сг) идеальный ферми-газ — РГ заряженных (е„= -е) частиц в объеме )г, на однородном положительно заряженном фоне (модель «желе») с плотностью заряда р = еттГ/!'.
Эта модель, игнорируюшая не только пространственную структуру ионной решетки металла и соответствующие изменения геометрии поверхности Ферми (см, гл, 2, $2, п. в)-3), но и вклад относительно тяжелых и малоподвижных (по сравнению с злектронамн) ионов в общие термодинамические характеристики системы, лостаточно распространена в электронной теории металлов как самая простая и однокомпонентная. Удельные значения внутренней энергии, энтропии, теплоемкостн и свободной энергии определяются выражениями (см. $2, п, в)-2) е сз -сг 1 + — —, з = стл = — —, 5 ~ 12 ~се/ /' 2 ея' / = с — Вз, где граничная энергия Ферми сг — — — (Зк~ — ) Химический пстенциав газа равен При выборе модели электронного твердого тела целесообразно воспользоваться зйнштейновской идеей (гл 2, б4, п б) — 1).
Каждый электрон, находящийся в узле своей решетки, ' испытывает силовое воздействие (кулоновское отталкивание) не только со стороны близ- ' ко„расположенных, но и в силу двльнодействуюшего характера кулоноеского потенциала всех вообще электронов системы. Ограничиваясь, как всегда, случаем малых колебаний, можно считать, что каждый электрон находится в параболической потенциальной яме, которая при пренебрежении эффектами анизогропии является сферической и имеет вид '/ггпм (х '+ у + з ) .
Для удельных значений величин внутренней и свободной энергии имеем Маг» ет= 3( — + — /1; /,=3( — +В!п(! — е )~. ~2 е Ге-!) Дла вхоляшей в эти выражения частоты колебаний ы можно воспользоваться ложхзьно, простой оценкой. При отклонении электрона от пояожения равновесия на величину л, 292 Эпдпчи и дплолниюельные вопросы я иове 8 9 9 г(л) = — ет(ло) = — е(л,), 10 10 появляется упорядоченная фаза с минимальным для нее значением плотности лт — — ло. Плотность же газа оказывается равной р9хн' л = ~ — ) ло Ы 0,854ло.
ГО При лальнейшем повышении плотности сосушествуют обе фазы. В точке, определяемой соотношением 1О 10 ет(лт) = — е(ло) = — ет(ло), 9 9 когда плотность газа достигает своего максимального значения л = ло, лвухфазнсе состояние исчерпывается. Плотность же твердой фазы будет равна /10~2 лг — — ~ — ) ло И 1,243ло. 'х9) Мезкду точками 0,854 и 1,243 реализуется двухфазное состояние с плотностями газа 0,854 < л/ло < 1 и твердой фазы 1 < лт/ло < 1,243, определяемыми из соотношения ет(лт) = ~о/ое(л).
Таким образом, мм имеем здесь фазовый переход 1-го рода, характеризуемый конечнмм скачком плотности лт — л > О, равным нулю скачком энтропии (иапомним, что при Е = 0 з = зт — — 0) и равной нулю скрытой теплотой перехода 9 = Ез5в. Для численной оценки величины ло положим, пренебрегая поправкой на эффективную массу, зл ги0,9 1О 'г г, 8=1,05 ° !О "зрг с, с=4,8 1О 'о СОЗЕ. Тогда величина ,о о з ло — — ~ -) — гп 0,664 ° 10 см зз -з ~3) 3йоео практически достигает уровня пяотности реального электронного газа, Переходя к рассмотрению низкотемпературной области Е ч.
ер, вспомним (см. гл, 2, 8 2, п. б)), что результат лля пповой фазы о=сто Й вЂ”вЂ” 2 ер был получен в пренебрежении членами порядка е '™. Поэтому, учитывая, что для плотности л ло имеет место ер йм и что в случае Е ч. йм температурное поведение энтропии эйнштейновской модели твердого тела определяется экспонентой е шГо, мы имеем право, не занимаясь превышением точности рассмотрения, проигнорировать подобные члены, положив зт И О. Тогда для скачка энтропии в точке фазового перехода получаем опенку е ззв = з — от ьи в =— 2 ер' и скрытая теплота перехода (числитель в формуле Клапейрона-Клаузиуса) оказывается равной зг' е' 9 = Ез5з зй — —.
2 ер Теперь рассмотрим вопрос о возможности сушествования пространственно-упорядоченного расположения электронов с чисто квантовомеханической точки зрения. Опрелеляя разммтие волновой функции гармонического осциллятора, иахшшшегося в основном состоянии, из соотношения пир~в~о/2 '/зйозг2 (или с помошью соотношения неопределенности Гейзенберга), будем иметь В 1! . 7вердое тело явя система связанных осцилляторов Так как среднее расстояние между частицами а = (Зг/1т')П', то для плотности и = по, при которой с термодинамической точки зрения возможно появление упорядоченной фвзм, получим 2 — ш З,В4, ло Ьл= Доо 0,51а < а, т. е.
в области появления твердой фазы при В = О необходимая пространственная локали- зация электронов в узлах решетки возможна (волновые функции электронов нз соседних узлов не перекрываются), Олнако с повышением плотности критерий яо/а < 1 ослабевает как (У/1т")'М. Если определить критическую плотность существования упорядоченной фазы из условия полного перекрытия волновых функций, положив ло ов а', то получим, что ( ~.'"- — -( )..= — =- — Ш0,59 ° !О н и = ( — ) ИЗ,З !Омом '.
/т) 2е~/ш ' ~!г)м При плотностях и > пю пространственная локализация электронов по узлам решетки стано- вится невозможной, и мы получаем нетвердеющую ферми-жидкость (точнее, почти идеальный фермн-газ, так как прн и = п„имеем е„м/е „» 0,2 < 1, см. гл. 2, В 2, п. в)-3). В этом отношении мы имеем ту же ситуацию, что и с нетвердеющим вплоть до В = О жидким Не 4 (см. гл. 2, з2, и. г) — 4). Наконец, для простейшего возбужаенного состояния осцнллятора. когда и „= 1, имеем при плотности и = по йы йы с = — +%и = 3 —, л~ = Зло и я~ = о/Зло со О,ВВ4а, 2 2' т.е.
твердой фазм в возбужденном состоянии люке прн минимальной плотности по уже, по-видимому, не возникает. она может существовать лишь при В « йы ег, котла таких возбужденнык узлов решетки очень мала. 1> Глава 3 Статистическая механика неидеальных равновесных систем (некоторые вопросы теории) Статистическая теория равновесных неидеальных систем — это один из самых сложных разделов не только статистической механики, но и теоретической физики вообще. Ситуация здесь сложилась довольно своеобразная. Исходные выражения для статистической суммы Я(в, У,2!!), термодинамических потенциалов и т.д. имеются, вся статистическая теория с самого начала замкнута, не требует дополнительных операций по устранению нефизических вкладов, вычитания расходимостей и т.
п., нет необходимости производить корректировку и подправления в установленной (см. том 1 и том 2, гл. !) аксиоматике и т.д. Но величины, подобные Я(в, !г,Ф), аналитическими методами не считаются точно (кроме идеальных систем). Конечно, раз есть исходные общие формулы, то естественно возникают и приближенные методы расчета, с помощью которых можно определять поправки к результатам, полученным для идеальных систем или идеализированных точно решаемых моделей. Однако природа наградила разумную часть человечества совершенно ненасытной жажлой к углублению познания: нам мало поправок, мы хотим получить новое качество — теорию фазовых переходов, критических явлений и многое другое, что совершенно не свойственно идеальным системам.
В то же время, с самых общих физических позиций ясно, что малого параметра разложения, который имел бы динамическую природу и который работал бы именно в этой области качественных изменений состояния системы, просто не существует. Можно разрабатывать технику низко- или высокотемпературных (в отношении к величине эффективного взаимодействия частиц системы или узлов решетки) разложений в теории дискретных систем, или низко- и высокоплотностных (в единицах удельного критического объема) разложений в теории газов— это добротные регулярные методы. Но в критической области используемый в них малый параметр достигает порядка единицы, и «разложение» по нему теряет свой исходный здравый смысл. Общие трудности теории неидеальных систем понятны и с формально-математической точки зрения.
В области фазовых переходов рассчитываемые величины имеют особенности (разрывы или сингулярности этих функций или их производных). Описание их с помощью нескольких членов регулярного ряда не представляется возможным — конечное число совершенно гладких поправочных членов не содержит этих особенностей, их может содержать лишь бесконечная сумма слагаемых. Однако заранее известно, что отсуммировать весь ряд целиком (т. е. точно решить задачу) мы не можем (исключая, конечно, редкие счастливые случаи). Более того, неясно, каков математический смысл этих рядов, являются ли они регулярными, или асимптотическими, или еше какими-либо (и вообще сходятся ли они к тем величинам, которые они аппроксимируют в первых своих членах). Когда исследуется несколько членов разложения — это не так важно, так как эти вопросы еше не возникают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
