Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Считая эту часть распределения Гиббса во(р, о) достаточно уже нами изученной, рассмотрим оставшуюся координатную часть — К-частичную плотность функции распределения гол(д) по координатам Ф частиц. Прежде всего величина 1 ( 1 14г,...аг во(гн..., гл) 4г~ ... гл = — ехр — — Н(р, д) по исходному своему смыслу определяющая вероятность обнаружить такое состояние системы, когда ее частицы распаложены в дифференциально малых обьемах (гп г~ + г(г~),..., (го, го + Иго) = (д д+ ад), в общем слУчае не РаспаДаетсл на сомножители, содержащие обозримое число аргументов, и поэтому функция гол(д) явпяется скорее общим символом, чем удобным рабочим инструментом теории.
Однако с ее помощью можно ввести функции распределения, зависящие от аргументов 298 Глава 3. Ггяая2ися2ичесноя меконино ноидеояьнык ровновеснык сипаем только нескольких частиц: одночастичную функцию распределения Р1(г() = У и)»(д) ог2 .. ° ог») (1') такую, что величина -'-((() — '-'- определяет вероятность обнаружить частицу систе- мы в объеме (г1, г) + )2Г1) (так как все 2() частиц системы одинаковы и функция и)»(г(,...
) г») не изменяется при перестановке индексов частиц, то вместо г) в напи- санных выше выражениях может стоять любое из г,, где ! < 2 < !() ); двухчастичную функцию распределения (называемую часто парной корреляционной Функцией) «2(Г() Г2) У и)»(ч) ))Гз... )(Г») (г) ), - м)Ф'~ )~ ) м)) ) системы в объеме (г), г, + )2Г1), а другую — в объеме (г2, г2+ )2Г2); и воо ще в-час- тичную (в = 1, 2, 3,...) функцию распределения Р (г), ..., г ) = У" в)»(о) )(г +1 ...
)(Г» (\)) (целесообразность введения в определение «; фактора У' станет понятной нескольх свойств Отметим сразу несколько необходимых нам в дальнейшем общих сво ств введенных нами функций, 1. Нормировка. Это чисто Формальное свойство: из определений корреляцион- ных функций и нормированности исходной функции м»(р, д) следует )(Г1 )(Г1 ОГ2 Р((г!) !) ( Р2(Г1)12) 2 (г) (Г) а также интегральные связи типа Нгг Р)(г,) = Р2(г1, г2) —, У' (\)) 2.
Условие ослабления корреляций. Прежде чем сформулировать это уже физи- ческое свойство корреляционных функций, установим уровень отсчета корреляции частиц так, чтобы по численной величине Р, можно было бы судить о физическом качестве этих корреляций. Если бы наша система была идеальной, т.е. представля- ла бы собой совокупность !(Г не взаимодействующих друг с другом классических материальных точек (все Ф((г( — г 1) = О), то мы бы имели (2 = ! и в)» = 1/У», откуда следовало бы, что все корреляционные функции Р,(г„..., г,) = ) = 1. Это значе- ние Р, соответствует случаю отсутствия каких-либо корреляций частиц друг с другом: ни одно нз расположений частиц не является предпочтительнее какого-либо другого. В неидеальной системе величина Р, может принимать любые допустимые веро- ят т нос ным смыслом этой величины значения, причем если расположение г,',..., г, еп д- таково, о чт Р ) 1, то мы можем говорить, что зта конфигурация частиц боле ре- почтительна, чем безразличное их расположение, когда Р, =, если менее предпочтительное, а если Р, = О, — то вообще не реализуемое расположение Г(,...,Г».
299 в 1. Классическое идеальные сислммы Рис. 132. Разведение двух групп частиц из совокупности ф = гп, ..,г, на расстояние, значительно превышающее ра»диус корреляции, после кото(юго они станоеятся статистически независимыми Рис. 131. Область координатного проСтранства, находясь в которой части.цы статистической системы оказыва'ют влияние на величину корреляции' группы частиц занимающих полоквние О» = го,г» В статистических системах величина корреляции существенно определяется двумя факторами: динамическим — видом взаимодействия частиц Ф(1г; — г 1) и статистическим — функция Р, через тип отражает структуру смешанного состояния термодинамически равновесной системы, поэтому через п»л величина л, будет зависеть от температуры д, а после интегрирования по г,+н..,,гл и от других неаддитивных характеристик системы, таких, как плотность числа частиц и = !/е, и т.л.
Именно последнее обстоятельство, связанное с наличием теплового движения в равновесной статистической системе, как мы уже указывали ранее, объясняет тот факт, что после проведения статистической предельной процедуры зтг — со, г/зьг = сопят, какие-либо конкретные сведения о границах системы или свойствах ее приграничного слоя полностью выпадают из рассмотрения. Конечно, корреляционная функция — это уже не макроскопическая величина, и принцип термодинамической аддитивности отражается на ней лишь косвенно, однако нельзя не заметить, что в величину Р,(гн...,г,) = Р,(у,) (мы обозначили группу из фиксированных в координатных аргументов как»у,), определяемую заданным взаимным расположением группы координат о„при сворачивании функции ц»л по переменным г,ьп...,гм существенный вклад дацут только те их значения, которые при интегрировании попадут в область, непосредственно окружающую группу д, (этим и объясняется появление зависимости 3; от плотности числа частиц), причем интервал, на который граница этой зоны отстоит от группы о, (рис.131), называемый радиусом корреляции, не зависит от макроскопических размеров всей статистической системы, а определяется теми же неаддитивными термодинамическими параметрами, что и корреляционная функция Р, (мы полагаем, естественно, что группа о, лежит внутри системы и не соприкасается с приграничным слоем).
Если равновесную систему разделить на макроскопические части, например, разрезать ее по линии АА' (см. рис. 131), так что вся группа о, целиком останется в одной из них и при этом не сомкнется с пограничным слоем перегородки, то величина Р, этого совершенно,не почувствует, так как подобная операция эквивалентна просто изменению формы сосуда (см.
том 1, гл. 1, 51), не являющейся термодинамическим параметром системы. Рассмотрим теперь ситуацию, когда группа о, = г„...,г, разделена на две подгруппы ом и оп (в, + вз — — в), удаленные друг от друга на макроскопическое А А 300 Глава 3. Спатистичвсаы механика неиЪеальных равнавесных систем расстояние, т. е.
расстояние )В», — а,!~, значительно превышавшее.радиус'корреляции (рис.!32) и соизмеримое уже.с размером всей системы Ь 2/Г'. Эти группы 2 частиц статистически независимы (при делении системы на части они даже могут попасть в разные подсистемы, каждая из которых представляет совершенно не зависимую от другой макроскопическую систему), а это значит, что в соответствии с исходным вероятностным смыслом величины рд она в данной ситуации р» распадается на произведение вероятностей Ъам ддн Ъам Ъдн м+м уэ+! о у! о у! 1 где Ъдм = Ъг! ... Ъгхи Ъдо = Нгн !.! ...
»(Г,. Таким образом, мы приходим к формулировке статистического принциаа ослабления корреляций: при раздвнжении групп аргументов в-частичной функции распределения по координатам частиц Р, на расстояние, значительно превышаюшее радиус корреляции, она распадается на произведение корреляционных функций меньшей частичности Р„и Р„(в, + вз = в): Рп„о(д„, »й,Цлч г, ~ Рнрп)Р (»й!). В простейшем случае двухчастичной функции (в = 2) имеем Р2(2!, Г2)~ь „~ Р!(г!)Р!(Г2). С формальной математической точки зрения такое подчинение корреляционных функций их асимптотическому поведению эквивалентно введению для них граничных условий. 3.
Свойства, связанные с учетом пространственной однородности. В пространственно однородном случае функция Р,(д,) зависит только от взаимного расположения ее аргументов д, = г!,..., г„обшнй их сдвиг на некоторую произвольную величину га не изменяет величины этой функции: Р2(г! $..., Г!) = Р8(г! — ГО,... 3 гз — ГО). Если в рассматриваемой системе нет выделенного направления (при сделанном нами выше выборе гамильтониана оно именно так и есть), то аналогичное утверждение имеет место и по отношению к поворотам всей группы аргументов !2,. Из этого обшего требования имеем, в частности полагая га — — г!, что Р,(г!) = Р!(г! — г,) = Р,(0) = сопя! = 1, т.е.
одночастичная Функция в случае пространственно однородной системы типа газа или жидкости не несет информации о системе, что Р2(г!~ Г2) = Р2(0 Г2 Г!) Р2(!Г! Г21)з т.е. парная корреляционная функция Р2 зависит не от шести аргументов, а только от одного — расстояния межлу частицами»» = !г! — Г2!, и т.д. Условие ослабле-. ния корреляций для парной корреляционной функции в случае пространственно однородной системы будет иметь вид граничного условия Р2(В) ~л — Е 5 1.
Классачесхие одеяльные сиолеиы б) Связь корреяяционных функций с характеристиками системы В рассматриваемом нами варианте равновесной статистической теории характеристики системы — зто средние величины, рассчитанные с помошью распределения Гиббса. Прежде чем останавливаться на конкретных примерах, рассмотрим несколько обших соотношений дхя средних значений от величин различной динамической конструкции. Если динамическая величина имеет вид суммы, перебнраюшей асе частицы системы по одной, й(гн...,ги) = ~~~ А(гг), ! (г(Ф то мы будем называть ее динамической величиной аддитивного типа (примером такой величины в пространственно неоднородном случае может служить потенциальная энергия взаимодействия частиц с внешним полем сг = 2' ,Гу(гг)), если 1к!ки частицы перебираются парами, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
