Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Произведем в заключение оценку томас-фермиевского радиуса (она была взята нами «в долг» и использована в гл.2, 42, п.в)-3). Полагая и 6 1022 см 3, е ~ 4,8.10 !и СИЕ, сг 6 104 1,38 1О !ь эрг, получаем, что гтг =!/ктг 0,5.10 ! см = 0,5 А, т.е. зто фактически размер атома (даже первой боровской орбиты), чю, кспьти, для нас не является особенным сюрпризом, так как та же модель Томаса — Ферми с успехом используется в квантовой механике для оценки размера и строения электронной оболочки, окружаюшей положительно заряженное ядра атома (образно пьворя, в соответствии со сделанной выше оценкой единичный протон +е, внесенный в вырожденную зарядово-компенсированную электронную плазму, «обрастая» зкранируюшей его электронной оболочкой, становится нейтральным атомом водорода, находящимся в основном состоянии и имеющим боровский размер 0,53 А).
2) Использования метода Боголюбова Запишем в качестве исхолного момента рассмотрения первое уравнение цепочки Боголюбова с учетом двух сортов частиц. Если в случае однокомпонентной системы, рассмотренной нами в п. в), сумма 2; — '-~) давала в уравнении член 3<24л 13> — (ф-"'-2, то теперь при аналогичном суммировании необходимо учесть, чю иидеке у может попасть на частицу сорта + или — (каждого сорта — по 2т/2 частиц), и поэтому инте!ральный член уравнения для парной корреляционной функции Р,ь(!г! — г2!) (точнее, уравнений для Р, Р н Р„. ) несколько усложнится: Маь((г! Г2() 1 ОФ«ь((г! ! 2() да +д 6!а «ь(>! 2>)+ ! 1 аф„(~г, — г3~) + — — / й3 — з Рм«(г„г2> гз) = О.
де 2 дг с=+,- 1 Заметим теперь, что введенный нами в предварительном рассмотрении малый параметр, характерный для систем с кулоновским взаимодействием: 3 ( 4!ге 2Х 322 г' означает не только малость средней энергии кулоновского взаимодействия частиц лруг с другом по сравнению со средней их кинетической энергией: е' 3 — « — 23, а 2 но также и то, что сам кулоновский потенциал, записанный в безразмерных переменных Л = 24/ги и й, = д,/(3/4яяе), также пропорционален этому малому параметру: — фаь(Щ = — = = и => и >уаДь >2«йь д 4!гезгз Я Уг. что сразу приводит к переоценке слагаемых в написанном уравнении цепочки: интегральный член, первоначально пропорциональный 1/е, становится основным, т. е. !1ъ«м 320 Глава 3. Спотисгличвсхоя нвхонихо нвидвояьных равновесных сис~пви наряду с первым членом начинается с нулевого порядка по параметру е, в то время как стоящий перед ним второй член — поправочным, пропорциональным е и выше.
В связи с этим, строя решение цепочки уравнений в виде формального разложения по степеням удельного объема е (используемого вместо безразмерного малого параметра е = е/г~р), мы должны выделить его не только в функциях Р,ь, Раы и т.д., но и в членах, содержащих отношение Ф,ь/В, для чего удобно представить его в виде — Фаь(22) = сРы(Ю, Ф ь(Л) =— 1 Чайь В ВеВ С учетом принципа ослабления корреляций Рссь(Н)~д Р Рь 1 Р ь ~ Р ьР Р ь и т.
д., который вследствие действия самосогласованного поля реализуется уже при Я > гр, само решение для корреляционных функций удобно представить в виде, в котором выделена нетривиальная часть корреляций, являющаяся поправкой по параметру е к нулевому приближению — мультипликативному самосогласованному расщеплению высших корреляционных функций через функции более низкого ранга: Раь = РаРь+ еУаь = 1 + еУаь1 2 Р ь = Р РьР + еУ ьР + еУ Рь + еУь Р + е У ь = 1 + е(У ь + У + Уь ) + е У.ь где новые корреляционные функции У,ь, У,ы и т.д.
уже ищутся в виле разложений У., = У,' +,У,' + „, (01 Щ Мы используем здесь эту идею, соединив ее с приемом, позволяющим сохранить правильное представление о парной корреляционной функции и на малых' расстояниях порядка размеров ионов: будем искать решение цепочки Боголюбова в виде Ф ь(~г~ — гз~) 1 Р~ь(~г~ — гз!) = С~ь(!г~ — Г29 ехр В Фаь+ Фас+ Фьс1 Р,ь,(гп гм гз) = С,ь,(гп гп гз) ехр В где Ф,ь — некоторая пока неизвестная функция, имеющая физический смысл потенциала эффективного взаимодействия, которой мы впоследствии можем распорядиться по своему усмотрению и от которой мы будем требовать только свойства иметь тот же порядок по е, что и исходное взаимодействие Ф,ь, т.е.
В Фаь(хс) = евсаь(хс) (в случае Ф,ь — — 0 зта процедура сведется просто к переобозначению искомых корреляционных функций), при этом процедура разложения корреляционных функций Р,ь, Р,ь, и т. д. по малому параметру е (или по формальному параметру е) переносится автоматически на новые нензвестцые функции С„, С,ь, и т.д. Это внесение элементов теории систем с короткодействием (см. и. 2) в нашу задачу с кулоновским взаимодействием (С.
В.Тябликов, В. В.Толмачев, 1957) является, конечно, интерполяционным приемом, идея котбропь использовалась также и в других сходных ситуациях. 321 5 1. Классические идеальные сисаеиы Подставим теперь функции Р,ь и Г,ь„выраженные через С,ь и С,ь„в уравнение Боголюбова и сократим все слагаемые на ехр(-Ф,~/У). Имеем, не выписывая аргументов гсч дсаь ! д 1 ! У ! УФ„( Ф„+Фы1 + (Фаь Фаь) Саь + ( с!ГЗ ' ~, Саьс ехр ~ дг~! У дг~! ' ' ' У е,з' 2 'ь-а дга У =О, Положим Сь = 1 +од ь См = 1+и(даь+У +Уь)+и Уаь и ограничимся расчетом только первой поправки к функции С,ь. Тогда, учитывая, что Фьс+ Фас ехр ~ ~ = ехр ( — ивы + ЗЗЗас) = 1 — е(льы + зЬ ) +..., У получаем, опуская члены порядка эз и выше, дуаЬ (З(саЬ СраЬ) ( "д,. +" дга 1 1 д!У„ с! с -Š— '*!1+ ь.
'-с-;-~)- !с +с-З+"!=с 2 дг'," с Заметим, что так как для кулоновского взаимодействия ! дуь 1 — Š—" = -(р:+ Ф.-) = О, 2 дг' 2 с=а,- то в подынтегральном чяене выпадут два слагаемых в квадратных скобках (!+ идаь), не содержащих аргумента гз (т.е. индекса с). Далее, в интегральный член входит выражение ! др«(!Г -гз0 Угз -, ', '. (Уа(~г -гз~)-Фас(~г -гз!)) = -З с —,Е "с".'"'!а.'с-с.('с с Однако в нашем случае функции У.„УЗ и ф., являются четными функциями г, са * =сзссас*'. а» ° саас = (д4 /дг) (х/г) является нечетной функцией х, и написанный интеграл есть просто нуль.
Записывая оставшуюся часть интегрального члена в виде 1 дуз (!г, — гз!) с!Гз ' Л~~ а (Уьс(!ГЗ Гз!) злы()ГЗ Гз!)) д„а =/с'- К !ю ("> — сьй 1 др„(!К вЂ” Г0 2 дг!а с= а, где мы обозначили г = гз- гз, К = г! — гз, получаем окончательно уравнение первого приближения д д д Г 1 —, Уь(В)+ —, (Льь(В) -З(ссь(В)) + — / Уг — ~~ь ср„(~К-г!) (У~(~) -ЗУьс(~)) = О с 322 Глава 3.
Етввистичесноя неленина неидеальных равновесны» систем или, интегрируя по И, 1 ры(В) + (1Ьаь(В) фы(В)) + яг ' — ~~~ Фы(~К вЂ” г~) (рм(г) — Фы(г)) = О, с причем мы положили константу интегрирования равной нулю, так как при  — со должно иметь место д(В) - О, Ф вЂ” О и Ф - О. И вот теперь распорядимся имеющимся у нас произволом: выберем функцию Ф,ь так, чтобы решение для Ры(В) имело бы вид больцмановского распределения, но с эффективным потенциалом Ф,ь(В): Ф ю(В) 1 Ры(В) =1 ехр т.
е. чтобы функция у.ь(В) = О прн всех В. Это требование является условием для определения функций ~,ь(В), которые в силу полученного выше уравнения должны удовлетворять системе 1 Фы(В) Раз(И) — Иг ' ~~~ Фаь(~В г()ры(г)> с где сочетание индексов (аЬ) имеет четыре возможности: ++, +-,— — — + — —. Факти- чески это не четыре, а лишь одно уравнение, так как по смыслу задачи Р„(В) =-Ф.(И), Ф,.(В) =-Ф+(В), поэтому, полагая, например, аЬ = ++, получаем ь.(н-м„се- /~'-,'Н„(н- Рм,~.~+м, О»- Рм,-("и, или, объединяя два слагаемых в подынтегральном выражении, Ф,.(В) =Ф.',(В) -' ' йр„(~В-г))Ф,.(г). Это линейное интегральное уравнение простейшего вила, именно уравнение Фред- гольма с разностным ядром.
Запишем его относительно исходных потенциалов Ф, и Ф, опуская индекс (++): Г Ф(В) = Ф(В) — — / Иг Ф(~ — ~~)Ф(~), '! в ./ и",для решения этого уравнения (точно так же, как это в аналогичной оптации делается в задаче б) перейдем к сопряженному й-представлению, полагая ( Ф(В) Ф аналогична). Умножим уравнение для Ф на е ат и проинтегрируем шклов слагаемое по К. Тогда, прелставяяя подынтегральные функции (, '— г~) Ф(т) 'в' виде 'интегралов йуурье:н е66ирая отдельные сомножители в' унебйь(ь Фьыфь- (" "а' а" 1'," "жа-и'"'" — ', ае "К ""' Фиф~. Ф-1:; Млоасичааиое идеальные сестемы . Интеграл по переменной ж дает дельта-функцию б(!г — !г'), по г — дельта-функцию б(Ы' — !г"), поэтому уравнение алгебраизуется, и мы получаем Ф»- Ф» = Ф» — — Ф», Ве т.е.
интегральное уравнение оказывается решенным (в !г-представлении): Ф» 4яе~ 4яез ! + Ф»/Ве !и + 4яез/(Ве) йз + нз (мы учли здесь, что Ф(2!) = ез/2! ° Ф» = 4яез/!гз, н обозначили, как и в п. 1, и' = 4яе'/(Ве)). Переходя к координатному представлению (см. п. 1), получаем знакомый уже нам дебаевский результат ег Ф(Щ = — е 2! Восстанавливая зарядовые индексы, получаем для эффективного потенциала Ф, обеспечивающего в первом приближении по е для функции С,» решение С.» = 1 (В~» = О), выражение 2 Ф (2!) = — е д=~ — 'е сдь „е е» которое нами было получено и обсуждено в предварительном качественном рассмотрении проблемы. Корреляционные функции У,» в этом приближении имеют вид (см.
рис. 135) ехр!(- е , )т, при В>2га, ) ВВ» .л) О," при 2!.< 2га, Таким образом, мы сравнительно несложным путем получили довольно красивую и достаточно просто физически осмыслиааемую формулу Лля парной корреляционной функции во всей области изменения ее аргумента О < 2! < оо.
Однако сразу необходимо отметить н определенную условность полученного результата. Тк области О < 22 < 2ге результат Е,»(Л) = О является точным для систем из ионов конечных размеров. Поведение Р,ь(2!) в области 2! > 2г» отражено лишь качественно: во-первых, исходная модель взаимодействия частиц Ф,»(Л) была весьма грубой именно в этой области; во-вторых„при решении интегрального уравнения для Ф„(т.е. фактически для Г.» = ехр (-Ф,»/В)) мы как бы нечаянно забыли о существовании ббласти Я < 2ге и интегрировали по всему пространству ж, что и позволило нам довольно простым способом решить задачу до конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
