Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 79
Текст из файла (страница 79)
138), можно принять приближение самосогласованного поля, причем и «нулевом» порядке вообще пренебречь индивидуальными корреляциями частиц друг с другом н использовать мультипликативную аппроксимацию Гз(гн гз) = Р~(г~)Р~(гз)(1 + в(гн гз)) й Р~(гДГ~(гз). Тогда, подставляя в интегральный Член уравцения для Г~(г~) величину Гз(гн гз) = 9(1г~ — гз~ — (а — Ь)Я(г~)У~(гз), где мы ввели стандартное обозначение'для единичной ступенчатой функции 1 при 22>0, О(ц! = 0 при Я<0, ораву'цояучаем замкнутое уравиение относительно одйочасгичной функцци распре- ' деления ВГ(г) ! 0 Г, д + — Г!(г~) — / гэ11г~ — гз(- (а-'Ь)1Ф(г! — гз)Г!(гз) Иг! = О, лга, бга / ! ! 328 Вава 3.
Ояоеистичесноя нехонихо неидеальных равновесных сиппен интегрируя которое относительно 1п 2г~(г!), получаем, обозначая константу интегри- рования как 1пС, 1 Г 1п (СР~(в~о = — — — / 9[!в~ — гз[ — (а — Ь)[Ф(г~ — гз)Ж~(гз) дгь в / Подставляя функцию е1(г) в виде суммы по узлам решетки (К;) дельтообразных функций Ь(г — К;) н рассматривая область г вблизи Кв = О, получим самосогласованное уравнение уже дня отдельной функции Гь(г) в виде 1пСьь(г) = — — ~~) / дг'9[[в — ~г[ — (а — Ь)!Ф(г — г') ! Г , сь(г' — К,) д и Если теперь ввести потенциал самосогласованного ноля, создаваемого как бы размазанными в соответствии со структурой функции Гз(ьх -К) соседями рассматриваемой частицы, находящейся в окрестности точки Кв, , Гь(г' — К;) К(г) = ~ ~, 'зг дг' Е[[г — г'[ — (а — ЬИФ(г — г') !=1 то полученный выше результат — интегральное уравнение для функции Гь(г),— можно представить в виде больцмановской экспоненты 1 ( и(г) 1 Г сь(г) Ь(г) = — ехр1 — — 21, ! — Иг=! (представившаяся здесь возможность записать интегральное уравнение в виде физически осмысленной конструкции, характерной для классической функции распределения, не единственна, см., например, задачу 12, а также п.д) — 2).
Заметим ради общей проверки, что если Гь(г — К;) = и 6(г- К;), то в соответствии с формулой для а(г) получаем естественный результат и(г) = ~У Ф(г — К;), гав т.е. поле, создаваемое пространственно локадизованными соседями в окрестности узла Кв = О. К сожалению, пробиться аналитическими методами к решению написанного нами интегрального уравнения для !з-функции оказалось невозможным — это сложное нелинейное интегральное уравнение, в которое включена определенная геометрия кристаллической решетки и искомая функция в котором не сферически симметрична даже в случае центрального взаимодействия Ф(гн гз) = Ф([г~ — гз[) (например, типа Ленарда-Лжонса или просто твердых сфер), входящего в зто же уравнение. В подобной ситуации обычно используют какие-либо упрощающие предположения о структуре решения и прибегают к помощи ЭВМ.
Например, полагают, что коллективное поле К(г), определяющее статистическую размазанность Гь-функции, можно представить в виде разложения в ряд по г = (х, у, х) в окрестности [г[ < Ь/2 точки г = О, в которой из общих соображений симметрии функция К(г) должна иметь минимум: К(г) — ГГО+ ~ Ьа(г ) + 2 (при [г[ ° ЬГ2 функция и(г) представляет собой практически вертикальные стенки, возникновение которых связано с непроницаемостью частиц друг в друга как 329 Э !. Клягсяческае идеальные сдплемы жестких сфер диаметром де = 2тд). Ограничиваясь в разложении потенциала п(г) талька выписанным «гармоническим» приближением, соответствующим, по сушеству, модели Эйнштейна (см.
гл. 2, 54, п. 6)), и полагая д/Ц, < 1 (т.е. амплитуда колебаний атома не достигает в среднем вертикальных границ т Ь; см. рис. 138), мы сразу решаем вопрос об энергии и теплаемкости системы: в соответствии с теоремой о равнораспределении (см. гл. 1, задача 44) имеем сразу вне зависимости от значений параметров а, Ь, Ге и т.д. откуда, естественно, следует и закон Дюломга и Пти с = де/дд = 3. Однако все эти параметры, как это видно по рис. 138, существенно входят в Р~(г), а следовательно, и в Рз(гн гз), и поэтому после расчета термодинамического потенциала (этот расчет делается уже на машинах) мы получаем возможность определить их (например, постоянную решетки а) из условия минимума термодинамическога потенциала Гиббса. Производя полобные машинные эксперименты, можно ввалить в систему разные типы пространственных решеток (й,) и, сравнивая затем значения химических потенциалов, выявлять условия сосуществования фаз с различной кристаллической структурой; можно учитывать дальнейшие члены разложения в фумкции й(г) (т е.
ангармонические члены), которые дадут температурную поправку к теплоемкости и коэффициент температурного расширения (см. для аналогии гл. 2, задачу 40), можно включить в рассмотрение помимо исходного взаимодействия Ф;, = Ф(гп г,) также и тройное Фбь, подобрав для него соответствующую модель, и т.д. (включая уже ме относящиеся к программе данной части курса попытки перейти к кинетическому описанию с целью учесть коллективные колебания самих узлов решетки и обобщения на квантовый случай).
Заметим только, что когда в исследование, которое не удается провести ма аналитическом уровне, помимо общих полуфеноменологических представлемий о характере приближения вводится много предположительных сведений о структуре решения, потенциале Ф;., решетке (К;), решетке и т.д., а потом все это все равно уходит куда-та в машйну, мевально симпатии начимают склоняться к более достоверным результатам, получаемым в духе борковской идеологии, на которой мы кратко остамавились в обсуждении материала гл.
2, э4, и. б) методами молекулярной динамики, эначительмо более машиноемкими, но ме требующими всех этих наводящих и не всегда тщательно обоснованных предположений. Аналогичные результаты в рамках приближения самасогласованного поля можно получить и несколько другим путем, рассматривая классический кристалл в низкогемпературном приближении д/Ц, < 1 (но д Ъ дп) и строя решение для Р, и Рз в виде температурного разложения (С. В. Тябликов, 1947; И. И. Ольховский, 1973) в котором члены, следующие за нулевым, содержат все более угочняемую информацию о тепловом движении в системе.
Тогда первое уравнение цепочки Боголюбова дает в нулевом и первом порядках 1 дФ(г, — гз) Ф! дг. Р (г, гз)=0, е От,' 1 ОФ(г1 — гз) и! ОР11,!(г~) лги „Рз (гмгз)+ ' „= О, Ю д, От, 330 Глава 3. Статиататсяал нашвилл «аидеальиых рааиааесных систем а мультипликативное его расцепленйе Рз(гп г») = Р»(г1)Р»(гз) (мы для кратности опустим здесь функцию 6[]г1 — гз] — (а — Ь)] дает соотношение Рз (гц гз) = Р» (г!)Р~ (г2)» 1о> , 1о1 1о1 Рз (гц Г2) = Рф (г!)Е~ (Г2) + РГ (г»)Р1 (Г2). Нулевое приближение угадывается практически сразу: Р~ (г1) = ~б»(г~ — К,), Рз (гцгз) = ~~~ 2Ь(г1 К;)Ь(гз — К ), »яу гле при пренебрежении тепловым движением сх(г — К;) = в б(г —. К;) в допредельном физическом понимании б-функции, а условие 1 ~ у — это результат действия не написанной нами Гз-функции, запрешаюшей двум частицам находиться в одном узле. Это приближение мало что дает: так как Н, = у Иг| багз Ф(г~ — т») ~~» а б(г~ — К;) б(гз - К ) = ,.1 бГ()У- 1) Г 3 »»»у 1 ;;= — ) Ф(К вЂ” Кг) = дг — ~~', Ф(К1) = дага 1 »П хло то во внутренней энергии Р = Йо + Й1 появляется только сдвиг обшего уровня отсчета энергии и нет вклааа от колебаний самих узлов.
Этот вклад, который, как мы знаем, в классической статистике пропорционален первой степени Ю, может появиться только при учете первого приближения дяя функции Рд (или первого приблИжения лля функции 4). Чтобы получить это приближение наиболее рациональным способом, обратим внимание, что фигурируюшая у нас сх-функция — это сосредоточенная около нуля своего аргумента почти дираковская функция, действие 'которой можно записать, в условном одномерном варианте как (У(х) — некоторая достаточно гладкая в области х = 0 функция) »»»о +С»» з Г(х) сх(х) бх = Г(0) + ху'(0) + — у."(0) +... в б(х) Их = 2 !— = ау(0) + О+ ут(0)е — х' +.... ,2 Если 'ограничиться только гармоническим приближением, положив Ь(х) *ь С'х ехр(-1ох9(26)), то хт = ОГх и мы получаем' температурное» разложение лля сх-функции, вклады от которого соответствуют температурному разложений функции Р~(г), В виде Ь(х) = аб(х)+д — б"(х)+..., 2Ф где мы учли действие производных от б-функции: / 1(х) б "1(х) бх = ( — 1)" ~1Ю(х) б(х) Их = ( — 1)" У1Ю(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
