Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Здесь тоже каждый узел находится в поле окружающих его соседей, которых в трехмерных системах может быть более десятка (напомним, что число только ближайших соседей в гранецентрированной кубической и гексагональной плотной решетке равно 12), и поэтому корреляция какого-либо узла с одним из своих соседей смазывается его корреляцией с полем, создаваемым всеми остальными. На языке функций распределения эта физическая ситуация записывалась в нулевом (или главном) при- ближении как условие распадения двухчастичной функции распределения Рз(гн г!) на произведение одночастичных Р1(г~)Р~(гз). В нашей задаче мы запишем это условие как распадение среднего от произве- дения спиновых переменных (о;о ) на произведение средних (о;)(о ), где угловыми скобками обозначено среднее арифметическое по узлам всей решетки для каждого ее микроскопического состояния (ан сгп.,., о;:ч).
На языке введенных нами величин Я = (волу) и Х = (о!), характеризующих ближний и дальний порядок, или величин 1»г.„+ и М., это приближение запишется как гдг Я = Х или — 2!Г+ „— — !1Г+. с Принимая эту аппроксимацию, мы можем характеризовать энергию микроскопиче- ского состояния системы (он вы, он) только одним «квантовым числом» Хл лгс1 1 1с ,К = — — Я вЂ” 7УЬХ, = -!У ~ — А'+ ЬХ, 2 а так как величина Х = (2д㫠— ЛГ)/ЛГ определяется только числом !ч', то степень вырождения этого энергетического уровня определяется простым комбинаторным множителем — числом способов выбрать задание !чГ«узлов из общего их числа йГ: дг! лХ! ы(Х)— (2 ( + )) (2 ( ))! который с использованием формулы Стирлинга К! = (К/е) можно записать в виде дгн ы(Ь)— ~К ~РЧз!!ил!~К ~!нгй!г-д! !+Х !+Х 1 — Ь ! — Ь) = ехр -йг — !и — — йГ 1и 2 2 2 2 344 Глава 3, Оиатоолоческав механокл неодеальных равновесных воплем Тогда статистическая сумма Я запишется как однократная -хув т- ( ) -х<ьггв ~~; м.гц (ю, век) ь ь где 1с з Ь 1 + Х 1 + Х 1 — Х 1 — Х ю(Ц = — Х,'+ -Х, — )и — — !и —, 28 8 2 2 2 2 и для расчета ее главной асимптотики мы можем использовать теорему о макси- мальном слагаемом (см.
гл, 1, задачу 24), или метод перевала. Обозначая точку, в которой функпия гв(Х) имеет экстремум, гв'(Хь) = О, буквой а = Хв, получаем для величины а уравнение с1 Ь 1 !+а 1 1 — а О = — а+ — — — !и + — !и —, 8 8 2 2 2 2 или 2 — а+ — =!и —. Если взять экспоненту и перегруппировать члены, то это уравнение примет вид в =1Ь вЂ” в+— Для улельной свободной энергии (в расчете на узел решетки), намагничения, энтропии и внутренней энергии имеем 1 = -8 !и Я = -8гв(а) = -8 1и 2 сй ~ — а+ -) + — а, 1/У /сХ Ь'| сХ 'Л8 8) 2 ду 1+а 1+а 1 — а 1 — а в = — — = — — !и — — — !и —, д8 2 2 2 2 М ду с1 — = — — =а, е= 1 — 8в= — — а~ — Ьа.
дйг дЬ ' 2 Уравнение для равновесного значения параметра дальнего порядка а, имеющего, как мы только что установили, физический смысл намагничения М/ф!У), совпадает с уравнением полуфеноменологической теории молекулярного поля Вейсса, его исследование и расчет намагничения и теплоемкости мы уже провели с достаточной полнотой в термодинамической части курса (см. том 1, задача 63, рис, 129-131).
Поэтому ограничимся здесь только некоторыми замечаниями. 1. Согласно полученному решению в точке 8в = с1 в системе при Ь = О происходит фазовый переход от упорядоченного состояния а;6 О в неупорядоченное а = О. Но это не переход Л-типа, а только переход 2-го рода с конечным скачком теплоемкости ХьС = 3/2 (при Ь ~ О этот скачок сглаживается и расплывается) и равной нулю теплоемкостью С = О во всей области 8 > 8в.
2. Использованное нами приближение (а;о" ) = (а;)(а ) является по своему характеру качественным, сделанным из общих физических соображений, и, как во всяких теориях, использующих идеологию самосогласованного поля, опенка этого приближения, которую можно сделать лишь после того, как построено улучшенное приближение, весьма сложна. Следует отметить, что получающиеся в этой схеме результаты в области 8 сС 8в и в случае 8 ~ 8в при Ь ,-6 О полностью согласуются с результатами низших приближений, полученных с помощью регулярных методов в задачах 27 и 28.
5 2. Введенце в спюл»шсл»яческую теорию дцслрел»ныл сис»лем 345 3. Чем больше число с, т. е. число узлов, с которыми взаимодействует какой- либо данный узел решетки, тем концепция самосогласоваиного поля представляется более обоснованной. Полученное приближенное решение является точным, если число с возрастает до максимального своего значения с = д7 — 1 й Лг, т. е.
когда каждый узел одинаково взаимодействует со всеми остальными узлами решетки. Ввиду того, что температура фазового перехода Вв является неадаитивной термодинамнческой величиной, имеем .7 В =с1=т=7»7 — =,7 дг т.е. интенсивность взаимодействия узлов обязана быть малой величиной 1 =,7/Ж, .7 = сопи (получается бесконечно слабое взаимодействие с бесконечно большим радиусом действия).
Тогда, лобавляя к изначальному изинговскому гамильтониану сумму с 1 = 7' (н одновременно вычитая ее), имеем в прелеле бесконечного радиуса действия 1(1, 7) 1 ...7 17/ Ж = — — ~~» 1(», 7)»т,»ту — Ь ~~» е; — Вг = — — — — '( ~~» в;) — 1» ~~»»тп 1еу » » что соответствует форме Л (7), которую мы рассматривали выше как приближенную в смысле Брегга — Вильямса лля реальной решетки с конечным взаимодействием соседей, расположенных лруг по отношению к другу в ближайших координационных сферах (слагаемое У/2 несушественно, так как в пределе Лг — со выпадает из всех удельных величин).
Несколько другим способом точный расчет статистической суммы лля этой откровенно модельной системы будет произведен в задаче 29. г) Приближение Бете Как это часто бывает в теоретической физике, основное достоинство приближения (у нас сейчас речь идет о приближении Брегга — Вильямса), заключаюшееся и в его эффективности, и в достаючной простоте (как математической, так и смысловой), включает в себя и основной его недостаток. Так, концепция самосогласованного поля, продикювавшая нам приближение (»тгв ) = (гг;)(»т ) нли Я = 7~, сделала статистическую задачу решаемой (причем достаточно просто), но лишило па)»аметр Я своей изначальной независимости. Это, в частности, привело к тому, что~ при В > Вв, когда 1 = О, ближнее упорядочение (т.
е. эффекты типа поляризацио»1йых) в системе отсутствует полностью, что с физической точки зрения выглядит неправдоподобно. Более того, любая аппроксимация Я = Я(7) в случае Ь = О дает Я = сопи, что для теплоемкости системы при В > Вв означает С = де/дв = О. Используя же регулярный метод — высокотемпературное (В/Вв » 1) разложение для статистической суммы изинговской системы, мы получили в задаче 27, что С й» (1/2с)(с7/В) ~ О. ч Путь преодоления (хотя бы частичного) этого обшего лля теорий, основываюшихся на концепции молекулярного поля, недостатка ясен: необходимо учесть динамические корреляции каждого узла решетки с его ближайшими соседями, причем.здесь речь идет не об исправлении изинговского гамильтониана, в котором все эти корреляции полностью отражены для каждого заданного микроскопического состояния (»т»,»тз...,ем), а в аппроксимации его таким выражением, в котором энергия системы определялась не набором гт; = ~1, а лишь олним значением параметра 1.
т. е. 7»" =,тг"(7) (так как степень вырождения такого энергетического уровня ы(Ь) нам известна, то расчет статистической суммы уже можно будет, как это мы делали в п. 6), провести на уровне оценки ее максимального слагаемого). 346 Глава 3. Гпотосточеская механико неодеальных равновесных состем Расплата за реализацию подобной программы наступает мгновенно: так как аппроксимация Я = Я(1 ) лишает параметр Я самостоятельного значения, то он должен зависеть не только от Б — единственного в нашем случае микроскопического параметра, но и от других, уже макроскопических параметров системы, в частности от температуры.
А это сразу приводит к зависимости гамильтониана от температуры, что не соответствует исходным положениям механики (уровни энергии Е„начинают зависеть от д) и гиббсовской статистики (если Е„= Е„(()), то нарушается формула Гиббса — Гельмгольца Р = дэ — '"к = Е„). Бете в своем варианте проведения программы учета ближних корреляций узлов решетки (Н.А. Ве(йе, !935; К.
Ре!ег!э, 1936) частично обошел эту трудность, оперируя только с функциями распределения больцмановского типа. Конечно. это лишь качественный подход, но он привел к успеху. Идея этого подхода заключается в следующем. Рассматриваются какой-либо узел решетки (ь и группа окружающих его узлов 3' (в первом приближении Бете — его ближайшие соседи, во втором приближении Бете — его соседи из двух ближайших к нему координационных сфер и т.д.).
Вероятность какой-либо конфигурации чисел сг в узлах этой группы определяется конструкцией из больцмановских факторов ехр ( — 1(у, (ь)/д), учитывающих на равновесно-статистическом уровне динамическое взаимодействие центрального узла (в со своими соседями и внешним полем (если оно имеется), а влияние остальных узлов решетки, не входящих в данную группу, — как действие некоторого эффективного поля на внешние узлы группы. Величина этого поля неизвестна, и Бете, рассчитывая на получение качественного результата, обусловленного наличием ближнего порядка в системе, предложил в качестве дополнительной процедуры определять ее из требования равенства вероятности обнаружить узел решетки в состоянии вз = + ! лля центрального узла (в и вероятности обнаружить в любом из узлов т' окружаю-' щей его группы то же значение ву = +1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
