Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Тогда, положив (см. задачу 34) б 2. Вееделие в ститистичесяую теорию дискретных сиовеи 351 Естественно, что лля реального осуществления этой программы выбор гамильтониаиа Но должен быть сделан так, чтобы величина 2о = Зре л'/в и срелние по распределению е лив считались бы до конца.
Те же соображения используются лля выбора Но и при построении теории возмущений, поэтому сравним варнационную оценку термодинамического потенциала У' с той, которая получается по термодинамической теории возмущений (см. дополнение к задаче 36) в случае (Н1)о(В < 1.
Ограничиваясь первой высокотемпературной поправкой, имеем ! Яр~ ) г!тедвгв~Н, е-ле(вте-леlв) ЗГ = З~~ — В 1и (У(1))о = У~ — В 1п 1 о В яр е-див + Произвола циклические перестановки под знаком шнура и учитывая, что е л Гв и е~л"Гв перестановочны друг с другом, получим !Р =:Ж+ (Н~)о + .. сд Ж+ (Н )о = Ф, т. е, в высокотемпературной области варнацнонная оценка смыкается с оценкой свободной энергии по термодинамической теории возмущений. В области В - 0 имеем, обозначая минимальное собственное значение оператора Но буквой Ео (т. е Но!0) = Ео!0)) и буквой йо — степень вырождения этого уровня, Бр е ' ~ = йое ' ~ 1 + — ехр г~ — ~ + ...~ - йое -л,~в -л,гв Г' й1 Г Ж вЂ” Ео1 ~ -л,гв йо 1 В! Поэтому вариационная оценка свободной энергии системы г при В -+ О, которая в соответствии с П1 началом термодинамики должна стремиться к низшему энергетическому уровню Е системы Н = Н, + Н„приобретает вид известного вариационного приема в квантовой механике Е < Е,+(0(Н,(0) = (0(Но+ Н,(0), и в этом смысле статистическая вариационная оценка йг может считаться обобщением на случай не равных нулю температур квантовомеханической оценки энергии основного состояния системы.
В промежуточной области температур вариационная оценка является, естественно, интерполяционной. Ее успех во многом зависит от того, как выбран оператор Но и какие в него включены вариационные параметры (в теории возмущений гамильтониан Но таких параметров вообще не включает). Так как зти параметры затем опрелеляются из уравнений минимизации, решения которых могут оказаться и не бесконечно гладкими функциями температуры и других термодинамических параметров, то появляется возможность описать (хотя и в вариационном приближении) фазовые переходы 1-го и 2-го родов, которые могут происходить в изучаемых системах именно в области промежуточных температур.
Напомним, что для того, чтобы получить разрывную функцию, рассчитывая ее с помощью регулярного метода (в нашем случае с помощью низко- или высокотемпературных разложений), необхолимо отсуммировать бесконечную последовательность членов ряда. Выбор структуры оператора Но допускает, конечно, произвол, разумно регулируемый дополнительными физическими соображениями, но практически операторная структура Но предопределена: она выбирается той же, что у соответствующего типа идеальной системы (по той простой причине, что ицых задач точно мы решать 12мк,н 352 Глава 3.
0потисогичеснол мехононо неидеальных.равновесных систем не умеем). Однако при этом эти свободные состояния берутся с новыми весами, играющими роль нового, эффективного спектра возбуждений (или эффективных полей типа молекулярного), которые определяются наилучшим образом с помощью уравнений минимизации, и учитывающими определенную часть эффектов взаимодействия частиц рассматриваемой системы. В следующем разделе этого параграфа мы в качестве примера используем вариационный метод для исследования дискретных систем (И.А. Квасников, 1956). Вообще же он может быть применен и при рассмотрении непрерывных систем типа газа и даже в квантовой статистике, например в теории сверхпроводимости, где в качестве вариационных параметров выступают коэффициенты в-о-преобразования операторных амплитуд, при этом варьирование по ним фактически означает, что в вариационную проблему включается не только определение наилучшим образом спектра возбуждений системы, но и наилучший «поворот» для пространства функций, описывающих эти возбуждения нал новым основным состоянием системы.
Оценка потенциала Зг с помощью варнационного принципа — это, конечно, приближенный метод, и как всякий приближенный метод он имеет недостатки. Основной нз них заключается в том, что, не являясь регулярной процедурой, аариационная оценка не дает возможности, оставаясь в рамках метода, оценить степень точности получаемых результатов, особенно в той области, где регулярные методы неприменимы ввиду отсутствия для их разработки удобного и реалистического малого параметра. Именно в этой наиболее интересной области результаты вариационной оценки носят в общем случае лишь качественный характер. 2) Применение к исследованию изииговской ферромагнитной системы Рассмотрим, как н в предыдущих пп. 6)-г) настоящего параграфа, дискретную систему, характеризуемую гамильтонианом 1 Н= — — ~~ 1(1,1)о;оу — Ь~~~,оп о 1 где 1 и у пробегают значения (1, 2,..., Ф).
В соответствии с физическими представлениями об эффективном молекулярном поле и общими требованиями, предьяаляемыми к оператору Но, выберем НО Ь У ос» где Ь вЂ” неизвестная величина, общая для всех узлов решетки, которая будет использоваться в качестве вариацнон ного параметра задачи. Выбор дня Не структуры гамнльтониана идеальной системы магнитных моментов, взаимодействующих только с внешним полем, — этосвоеобразное нулевое приближение вариационного подхода.
Сразу имеем, обозначив Ь/О = )у, для нулевой суммы Во = П Е О" = (2 СЬ Р) »ю «;=я! для среднего значения величдны ог— о; ео' 1 В1пяо о': о —, — — — гйр Н Н)У Э 2. Введение в опглппопичеотую теорию диснретных пкглеи 353 и для средней энергии системы— э ВО э~э Ф'=Й = — ЬГЬгг- -Мс1гг =ЬГ~-Ьгг — — гг 11, 2 (' где мы обозначили, введя эффективное значение 1 и число ближайших соседей с, ~~, 1(э, з) = Фс1 = ЬГВо. Учитывая, что 1 Н, = Н вЂ” Н = (-Ь+ ВЯ,') тг; — — ~~ 1(э',1)тг;тгу г гэ и что при сделанном выборе Но среднее от произведения спнновых операторов распадается на произведение средних, е;~т = в;сгу = тгэ, получаем для верхней границы удельной свободной энергии 1 в,, в, — гу = -В! и 2 сй |У + ( — Ь + ВР)о' — — тг = -В 1и 2 сй |У + (-Ь + ВВ) !Л )У вЂ” — гй Д Ьг 2 2 минимизация которой по параметру )у В ! 1 Во 1 — — ту = -В !Ь,В + ( — Ь + ВВ) — + В ! Ь 15 — — 2 !Ь )У вЂ” = О ВР 1У сЬ эр 2 сп э)У дает уравнение Во ,В = — + — !Л,В.
В В Учитывая, что !!э р = сг, что позволяет исключить параметр )У из обоих частей этого равенства, получаем уже знакомое нам уравнение теории молекулярного поля Вейсса гамильтоннана Но. Здесь много возможностей, рис. $$5. Выделение групп Бете и но мы сдержим нашу фантазию и для построения плоской квадратной рощетне. Крук- первого вариационного приближения намеренно нани обозначены центральные уэлы, огРаничимсЯ выбоРом такой констРУкции дла Но, ъэинаии — Узлы, состалллюатие их которая полностью соответствовала бы идеям пер- окРужение вого приближения по Бете (тем самым мы сможем оценить это полуфеноменологнческое приближение). Как и в п. г) этого параграфа, ограничимся дпя простоты случаем Ь = О (внешнего поля нет).
"+ Вотг о =!1т В (оно и его следствия подробно исследованы в термодинамической части курса, см. том 1, задачу 63). Таким образом, простейший (из физически осмысленных) выбор гамильтониана Но привел нас к статистическому обоснованию приближения Брегга — Вильямса, эквивалентного, как мы только что показали, простейшему способу вариационной оценки свободной энергии изинговской системы. Для улучшения приближения Брегга — Вильямса необходимо, как это ясно из предыдушего„ использовать другую, более сложную структуру +++ +4- --++ +++ 354 Глава 3. Стшпиопичесяол механико неидеальных роонооосньи свален Итак, возьмем за основу построения Но первую группу Бете.
Это — центральный узел !ь, взаимодействующий со всеми своими с ближайшими соседями, образующими его окружение, а взаимодействие последних с остальной системой учитывается как взаимодействие с некоторым эффективным полем й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
