Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 89
Текст из файла (страница 89)
)) — Лг.' и(.'),7 >,7' вдави от критической точки ведет себя как обычная модель Гейзенберга, в которой Фу = -Р((г;о ). Но прн приближении к В„когда начинают работать предста- вления Каланова — Вильсона, многократное масштабное преобразование усиливает роль взаимодействия л-компонент спинов, превращая в пределе исходную систему в изинговскую (в которой с самого начала было У = О), и мы получаем, что крити- ческое поведение такой гейзенберговской системы полностью идентично поведению изинговской системы. Для практического решения поставленной задачи н для выявления ее матема- тических особенностей Вильсон, обобщая процедуру последовательных масштабных преобразований, рассмотрел величину 1, как непрерывную, что позволило ему вместо дискретной последовательности 1 - 1 — 21 — 4Ь вЂ” ...
рассмотреть бесконечно малое преобразование 1, — (!+ с)ц где с сК 1. При этом обобщении процедуры масштабных преобразований соотношения типа (ь) полностью сохраняют свой вид: /(Х (Ь),...,Х„(Ц) = 1 /(Хп...,Х„), Л,(Х, (Ц,..., Х„(Ц) = 1 'Л,(Хп..., Х„), а изменение параметров Х; можно записать как Х;((1+ )а) — Х((1) = ' е1+... = с(/((Х (ц,,Х,(ц), Вху(б) откуда следует система дифференциальных уравнений Вх;(ь) = -(/((Х)(1), ", Хч(Ц), 1= 1, 2,, и. Если предположить, что, как это уже написано выше, функции 1/; не зависят от 1 непосрелственно, то написанные уравнения, называемые уравнениями ренормввнза- ционной группы, приводят в частном случае к знакомым нам результатам Каданова.
Действительно, рассматривая ситуацию вблизи критической точки, в которой пара- метры Х; принимают значения Х;, разлагая функции Н, в ряды по отклонениям (с) Х((1) — Х; и ограничиваясь линейным членом, получим в частном случае, когда () Н((хп..., Х„) = Ц(Х(), достаточно простые уравнения вх;(ц В1 1 = -(Х;(Ь) — Х,')вь Учитывая, что при Ь = 1 величины Х;(Ц совпадают с параметрами исходного гамильтониана Н/В, Х((1) = Х;, получим, решив эти уравнения, х((ц — х() = (х; — х('))1"'. В рассмотренном нами ранее случае Х, = К = 1/В, Хз = Ь = р,Н/В. Учитывая, что критическое значение магнитного поля равно нулю.
Ь, = О, что 1В,— В 1 К-К, = — — ' =--т, В В, В ' и персобозначая показатели'в, = р, вз —— х, мы приходим к знакомым формулам т(1) =з1", Ь(Ь) Ь1*, э 3. Полуфеноменолоеическал теория корреляционных зффектое 367 которые в сочетании с формулой («) дадут все те результаты, которые мы получили ранее. Естественно, что это только частный случай. В более общем варианте рассмотрение сильно усложняется. Вильсону удалось получить дифференциальные уравнения ренормализационной группы не лля дискретной изинговской системы, а лля модеяи, в которой спины размазаны в пространстве с некоторой плотностью о(г)— модель Гинзбурга — Ландау, в которой плотность гамильтониана !»(г) (Н = ! й(г) ог) включает члены, пропорциональные оз(г), о«(г) и (Зуо(г))з.
Но и для этой системы нелинейных уравнений получить решение не удается. Их анализ показал, что если отнестись к параметру размерности системы о = 1, 2, 3 как к непрерывному параметру (наглядную интерпретацию нецелой размерности пространства оставим на откуп писателям-фантастам), то эти уравнения можно решить в виде разложения в'ряд по степеням отклонения размерности Й от значения и' = 4 (это значение является точкой поворота), т. е. по е = 4 — и', и получить соответствующие ряды лля всех критических показателей а, )У, 7, б, я, н, г). Случай е = О (т.е. д = 4) соответствует результатам для классических моделей.
При е = ! (трехмерные системы) величины критических показателей весьма близки к ожидаемым (их величины мы приводили ранее). При е = 2 (двумерные системы) «ряды» по е выглядят, конечно, не очень убедительно. Существуют и другие методы исследования уравнений ренормализацнонной группы, например, разложение по степеням !7р«при больших значениях собственного момента и т.д. д) Общие замечания В заключение отметим некоторые общие особенности рассмотренного выше подхода. Прежде всего, в отличие от материала, который излагался в предыдуших главах, теория, краткий обзор которой мы сделали выше, являясь равновесной, не вытекает сама собой из метода Гиббса (мы использовали лишь, общие представления о статистической сумме и т. п.), поэтому она и названа полуфеноменологической.
Эта теория включает достаточное число предположений. Мы отмечали это на каждом этапе ее посяедовательного обобщения. В теоретической физике апелляция к' естественности» интуитивных предположений всегда была делом достаточно спорным. Оформить же математически какую-либо идею, цридать ей надлежащий лоск' — это уже дело техники (особенно в наш аек всеобщей компьютеризации). Теория в отличие от микроскопической определяет не сами физические характеристики (например, теплоемкость С„= С„(б, о)), а лишь их особенность (например, С„° г «), выражаемую степенной функцией от г = (б — 8,)/9, (при этом случай а = О не означает отсутствие особенности, а включает также особенности типа !и г н других конструкций, которые слабее г ' и которых теория не различает; существующий помимо Л-выброса конечный скачок теплоемкости и другие ее особенности также выпадают из рассмотрения).
Годится ли изложенный в этой главе подход в качестве фундамента будущей теории фазовых переходов н критических явлений или, может быть, это лишь ее современная «облицовк໠— сказать трудно: развитие научных представлений, как убеждает нас история, к сожалению, не прогнозируется, И наконец, чисто логический аспект ситуации. Метод Гиббса в равновесной статистической физике предстаяляет собой замкнутый аппарат, полностью укомплектованный в аксиоматическом отношении и однозначно определяющий математическую программу исследований.
Он ие содержит бессмысленных расходимостей, об устранении которых надо договариваться по,дороге, и'других неприятностей, так характерных дяя полевых теорий. В него не надо вкладывать заранее придуманных решений яля уравнений состояния' и корреляционных'функций — он сам выдает эти результаты, точно соответствующие рассматриваемой равновесной системе. 363 Глава 3. Стотвапочесхол махалина невдеальвых ровнавкных соолем Математика — дело тонкое, и если мы навязываем аналитическую структуру решения проблемы в какой-либо локальной области значений аргументов (например, степенную конструкцию для теплоемкости вместо реализуемой на самом деле букингемской), то для того, кто знаком с теорией функций, становится понятным, что вся исходная схема исследований поставленной математической проблемы ломается (включая исходные уравнения), — «угаданное» решение удовлетворяет совершенно другой схеме и другим уравнениям. Изложенный в 5 3 подход основывался на целой последовательности дополнительных предположений.
Совместимы ли они с методом Гиббса или нет — этот вопрос остался открытым. Если да, — то надо воздать хвалу исследовательской интуиции, если же нет, — то от метода Гиббса остаются лишь осколки. Так стоит ли ради кратковременного публичного успеха уничтожать эфесский храм Артемиды? 5 4. ОбСУ)ИДЕНИЕ Последняя глава посвящена самому сложному разделу равновесной теории— теории неидеальных статистических систем. И дело здесь не только в математической сложности используемых методов (их в наших «некоторых вопросах теории» было не так уж и много), а в основном в том, что в отличие от материала предшествующих глав исследования неидеальных систем не доведены до конца. Во-первых, мы сами остановились на полпути к современному состоянию теории, возложив оставшуюся его часть на специальные курсы: для общего курса она слишком сложна в формальном отношении и весьма неоднозначна в идейном.
Во-вторых, сама теория неидеальных систем не'располагает окончательными решениями. Мы привыкли к тому, что в учебных пособиях изложение любого вопроса доводится до ответа, и квк-то даже избаловались этим. Действительность в этом отношении достаточно беспощадна: майеровские суммы полностью не суммируются, удовлетворительных интегральных уравнений для функции Рг(В) никто не написал, трехмерная модель Изинга не считается и т.д., а в итоге — микроскопической теории фазовых пере..
ходов пока нет. Естественно, возникают сомнения: может быть эти суммы вообще не суммируются, может быть прямые численные методы молекулярной динамики целесообразнее методов решения явно неточных интегральных уравнений, может быть трехмерная задача Изинга точно вообще не решается и т.д.? Конечно, хотелось бы иметь научно обоснованное решение всех этих проблем, ио научное мышление развивается не по заранее утвержденному плану нли проекту, а как живой организм, и куда разовьется его новая ветвь и сколь мошна она буп дет — это прогнозируется в лучшем случае лишь в общих чертах.
Как показывают многочисленные примеры истории, это положение сохраняется не только по отног шению к научным разработкам, но н по отношению к приклапным и инженерным вопросам, где, казалось бы, теоретически все заранее ясна Даже великим архип гекторам (ни Василию Баженову, ни Филиберу Делорму), создававшим не тольку в мыслях, но в виде чертежей и расчетов свои гениальные проекты, не удавалоС~ довести их до реального воплощения, они оставили нам величественные рувим и засыпанные землей фундаменты. Но подобный финал, сколь драматично по отно; шению к авторам он бы ни выглядел, не означает сигнала к прекращению поисково; нерешенные (точнее, не решаемые имеющимися в настоящий момент средствами) проблемы всегда были и останутся резервом научного прогресса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
