Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Рассмотрим в связи с этим величину я(Л), отлнчаюшуюса от 1;Г тем, что в ней сделана замена гс — ЛзУ (т. е. линейные размеры системы изменены в Л раз: Ь ~ ЛЬ): 1Г(Л) = (ЛзУ) / ( В . / ехр ~ — — ~~ Ф((г; — гт() Иг~ ... Ыгн. 1з1г! Так как'в каждом составляющем эту величину одномерном интеграле при замене переменной интегрирования л, — Лгп параметр Л уходит нз пределов интегрирования:, ф . хе Х ! Г 1 à — Г у( " *и " ) "* = — Г ( " Л*и ") й!. Парная корреяяцооннпя функция о хирекюерисглоко сися)ены 373 (Г(Л) = —, / ехр 2( — - ~ Ф(Л(г( — г)!) ~ Вг( ...
((Гк. (Г) 2<2 Далее, В(З(Л) ~ (;)((1+а)зр)-д(У) ~ (З(~ ЕЗПУ)-(7(У) ~ а ~ =2-2 О а а О т. е. н пОэтОН)  — — = — — — ! ~--) ~ Ф (Л)г; — г !)~ )г, — г !е ' 2(Г(...2!Гк, (Г) Выражая стоящее в правой части среднее по распределению (ек(г„..., гк) от величины 23 с помощью корреляционной функции Р2(г„гз) и переходя к интегрированию по переменным К = г) — гз и гз, получаем в пределе )у - оо, е = сопи, приведенный в 51, п.б) — 3) результат Зя Р— = 1 — — / м Ф(м)г'2(м) Вм. В ЗВО,) О Задача 4. Выразить дмсперсию плотности числа частиц равновесной системы через парную корреляционную функцию. Решекоа Сначала рассмотрим вопрос, как дисперсия алдитивной динамической величи- ны (т.е. типа й) выражается через корреляционные функции.
Имеем Я(г„...,гк) = ~ А(г;), (<(<к й~ = ~ ~ А(2;)А(Г2) = ~ А~(г() + 2 ~ А(г;)А(г)), (<(кк (<)як (<'кк (с!<) ск т. е. квадрат величины типа х2 склапывается из величин адпитивного и двухчастичного типов, поэтому при определении дисперсии этой величины (АР = (щ - ф)2 = ~Аз- ())() нам будут необходимы две функции: одночастичная г((г) (в пространственно однородном случае Р((г) = 1) н парная Р2(г„г2). Рассмотрим теперь равновесную систему типа газа, характеризуемую параметрами (В, КК), внутри которой мысленно выделим область, имеющую макроскопический обь- ем Ц.
Ввеля функцию ) 1, если точка г находится внутри Гы '( О, если точка г находится вне Уы имеем дяя точного числа частиц, находящихся в УО, фОрМУлУ адаптивного динамического типа )УО = ~' 1(г() (с(ск Учитывая, что у'(г) = у(г) н что функция /(г), стоящая под интегралом по г. сужает область интегрирования от величины У до 5~, для дисперсии величины )УО сразу имеем в соответствии с формулами $1, п.б) — Г 1 ГГ /(У Л У, 1ГГ (22))ГО) = — / 22Г+ — Д Г2(!Г( — Г2!)иг(АГ2 — 1 — / 22Г/ = — + — Я (с2(!Г( — Г2)) — !)аг(игз.
е е2» е е е2 (ГО) ()Ь) (мй (н) 374 Задачи а дополнипельные вопросы к алове 3 Полагая )ге макроскопическим объемом (т.е. считая з/г» » К, ), получаем, производя, как в задаче 1, переход к переменной К = г, — гг и интегрируя по гм « — 2 !'о Г 1 Г »'» 1 з (»г!«е) = — ~1+ — / (Рз(22) — !) «!К/ = — 1+ — / (Рг(К) — 1)4яЛ дК о где г»/е = Г«ге — среднее число частиц в области Ь;. Чтобы получить формулу для дисперсии плотности числа частиц и = !уе/»(, в равновесной системе, достаточно положить в написанном выше выражении ге = 1 см'. 1» Задача 5.
Показать, что сечение борновского рассеяния частиц на равновесной статистической системе выражается через парную корреляционную функцию. Решеное. Мы убедились на материале $1, п. 6) и рассмотренных выше задачах, что парная корреляционная функция играет исключительно важную роль в приложениях: если бы мы имели в своем распоряжении точное выражение для функции Рз(22), то все проблемы неидеаеьных систем типа газ — жидкость, включая микроскопическую теорию фазовых переходов, бьши бы уже решены. Так как этого по с их пор еще не произошло, то заранее ясно, что наивно возлагать серьезные наделим на вдруг кем-то открываемую возможность легкого и универсального расчета функции Г,(22), В свете сказанного немаловажный интерес приобретает возможность экспериментального определения Рз(К), причем не косвенного ее опрелеления по интегральным термолинамическим характеристикам системы, а полученного с помощью микроскопического возлействия на систему, позволяющего по ее реакции на зто возмущение «измерить» корреляционную функцию.
Один из таких метолов, рассмотрению которого посвящена данная задача, связан с измерением дифференциальных сечений рассеяния разреженных пучков довольно быстрых частиц: на статистической системе (это могут быть не только частицы, но и электромагнитное излучение во всем диапазоне частот), причем условие «быстроты» налетающих на систему частиц связано с использованием лля описания результатов рассеяния первого борновского прибли-. жения во временной квантовомеханической теории возмущений (этому условию, в частности, удовлетворяют пучки медленных нейтронов, наиболее эффективно используемых лля экспе,, риментов подобного типа).
Не перегружая изложение техническими подробностями (лалекц. не маловажными в экспериментах подобного типа), рассмотрим эту проблему на схематически идеализированном уровне, позволяющем выделить основной для нас результат — связать сечение рассеяния с фурье-образом корреляционной функции. Пусть потенциал взаимолействия и(г) налетающей на систему частицы с частицей, составляющей статистическую систему, известен (в конце коннов, он может быть опрелелен в отдельном эксперименте). Представим его в виде разложения Фурье: 1 и(г) = / е "~ДГ2р ий, (Г« = I и(г)е'и!«иг. (27гд) 3 Введем макроскопическую величину р(г), карактеризуюшую плотность числа частиц системы, и ее фурье-представление р«: Р(г) = ~~~ б(г — г;), Р = / Р(г)еьхй Иг = ~~ еччл, / Р(г) йг т Ре — 11Г, ь< йьй л !< <и Тогда потенциал взаимодействия налетающей частицы со всей системой 1»г частиц гг(г) запишется как и(г)»« ~ п(г — г,) =, З/ ййГГ«е ' ~ ~~, е' Л, 1 ! <! < л ь« йл т.е.
целиком выразится через фурье-характеристики взаимодействия 1Г«и плотности числа частиц р«.' сг(г) = — яде "~ у«р«. (2хй)' 1 З'! . Парная корреляционная функция и карпкглеригщини гиспземы 375 В соответствии со схемой процесса рассеянна, представленной на рис. 146, подсчитаем отдельно матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями. полагая, что состояния падающей и рассеянной частицы соответствуют свободным. т.
е. описываются плоскими волнами, а статистическая система переходит из состояния и в состояние п'. Г, р„г) ! Г рг! /ро,п) = — ехр 4 а — у)п) - )р, и') = — ехр га — у)п'). (гяй)аГа г( й )з ' (2яй)зГа г( й )ь Имеем (Ро,п)(Г)Р,п') = Г азг ехР 1( — а — + а — )1 о( азй ехР а — а — З(Го(м(Р (и'). (2яй)з/ ( й й)(2яй)з / ( й) о Учитывая, что интеграл по переменной г собирается в б-функцию, выражающую закон сохранения импульса, — / 0г ехр 1 -(р — ро — ц)г~ = б(р — ро — й), (2агй)з / (й получим (р,п)ЩР, п') =, оа(п)ра(п ) а2хй) !о=в-и Прежде чем выписать выражение для квантовомеханической вероятности перехода в единицу времени налетающей частицы ро в результате ее рассеяния на статистической системе в состояние, лежащее в интервале (р,р+ ор), воспользовавшись для этою известной формулой для скорости квантовых переходов (см.
также том 3, гл. 5, 6 8), учтем следующее: сама система находится в смешанном состоянии, опре- Рис. 146. Схема процесса рассеяния частицы ма статистической системе и диаграмма векторов ро, р и импульса отдачи иа статистическую систему Ч=Р Ро Е = — — — = Ео — Ео' Р Р 2ап 2ш Тогда аГЕ = — йр, р= 2ап ~ — +Е) = р(Е) ап ' 'з2т деляемом каноническим распределением Гиббса ш„, Р а)=Р— Ро т. е. мы должны умножить вероятность элементарного перехода )ро, и) -ь )р, п') на ш„— вероятность об- Ро наружить систему в начальном чистом состоянии (и) и просуммировать по всем и; конечное состояние системы )и') может быть любым.
и так как мы его не фиксируем, вероятность элементарного перехода должна быть просуммирована по и'; энергии начального и конечного состояний (для определенности мы полагаем, что налетающая и рассеянная частицы являются нерелятивистскими) равны соответственно Е„+ роз/(2пз) и Е„+ рз/(2пз). Тогда искомая вероятность будет равна г 2 ш(ро-р)бр=~ м.~~ — )(ра,п)ГГ)р,п)! б ~Ем+ — -ń— — ) бр. 2а., з г' Р Ро 2па " 2ап Заметим, что, описывая процесс рассеяния в рамках низшего приближения временной квантовомеханической теории возмущений, мы должны полагать, что условия эксперимента (которые мы в принципе можем создавать и регулировать сами) удовлетворяют условиям применимости 1-го борновского приближения. Заметим еще, так как написанная формула характеризует вероятность рассеяния частицы (а не вероятность ее прохождения сквозь систему), то естественно ее ограничение случаем р 4 ро (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
